高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2.1 拋物线及其标准方程课件 北师大版选修21.ppt

2拋物线2 1拋物线及其标准方程 学课前预习学案 2 如果在所画图形中 将x轴和y轴互换 在新坐标系中 拋物线对应的方程是什么呢 3 根据课本p70图3 11所示的拋物线的画法 你能说出拋物线是满足什么条件的点的轨迹吗 提示 1 略 2 y2 2x 3 到一个定点与到一条定直线的距离相等 1 抛物线的定义平面内与一个定点f和一条定直线l l不经过f 的距离相等的点的轨迹叫做 定点f叫做抛物线的 定直线l叫做抛物线的 抛物线 焦点 准线 强化拓展 1 抛物线的定义中有 一动三定 一动点设为m 一定点f为焦点 一定直线l叫做抛物线的准线 一个定值即点m与点f的距离和它到定直线l的距离的比为1 2 抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价性 故二者可相互转化 这是在解题中常用的 2 抛物线的标准方程 2 数形不同点 对称轴为x轴时 方程的右端为 2px 左端为y2 对称轴为y轴时 方程的右端为 2py 左端为x2 注意 形如y ax2 x by2不是拋物线的标准方程 在应用时需将其转化为标准方程 开口方向与x轴 或y轴 的正半轴相同 焦点在x轴 或y轴 的正半轴上 方程的右端取正号 开口方向与x轴 或y轴 的负半轴相同 焦点在x轴 或y轴 的负半轴上 方程的右端取负号 答案 a 答案 c 答案 4 讲课堂互动讲义 思路导引 1 的开口方向确定 可设定方程求p 2 的开口方向不确定 应分别设不同形式的方程求解 3 先求直线与坐标轴的交点即焦点 再求方程 方法二 当焦点在x轴上时 设抛物线的方程为y2 nx n 0 又抛物线过点 4 8 所以64 4 n 即n 16 抛物线的方程为y2 16x 当焦点在y轴上时 设抛物线的方程为x2 my m 0 又抛物线过点 4 8 所以16 8m 即m 2 抛物线的方程为x2 2y 综上得 抛物线的标准方程为y2 16x或x2 2y 名师妙点 求抛物线方程的方法 1 定义法直接利用抛物线的定义求解 2 待定系数法尽管抛物线标准方程有四种 但方程中都只有一个待定系数 一是利用好参数p的几何意义 二是给抛物线定好位 即求抛物线方程遵循先定位 后定量的原则 3 统一方程法对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2 ax a 0 a的正负由题设来定 也就是说 不必设为y2 2px或y2 2px p 0 这样能减少计算量 同理 焦点在y轴上的抛物线的标准方程可统一设为x2 ay a 0 解析 1 令x 0得y 5 令y 0得x 15 抛物线的焦点为 0 5 或 15 0 所求抛物线的标准方程为y2 60 x或x2 20y 思路导引 先根据拋物线的标准方程形式 求出p 再根据开口方向 写出焦点坐标和准线方程 思路导引 解答本题可根据圆与圆外切 圆与直线相切的定义探寻动点p的几何性质 根据点p满足的几何性质求点p的轨迹方程 进而确定点p的轨迹 圆p与圆a外切 pa r r 1 r6分 圆p与直线l相切 则 pd r pd 1 r pa pd 即点p到点a的距离与到直线l 的距离相等 9分 点p的轨迹是以点a为焦点 以直线l 为准线的抛物线 其方程为y2 8x12分 名师妙点 1 本题采用 定义法 求动点轨迹 先将动点p满足的条件转化 分析 确定其符合拋物线的定义 并且其方程应为标准方程 从而通过求p的值得出轨迹方程 2 根据拋物线的定义 拋物线上任意一点到焦点的距离都等于到准线的距离 两个距离间的转化应用很广泛 3 圆心在拋物线y2 2x上且与x轴及拋物线的准线都相切 求该圆的方程 名师妙点 解决实际应用问题的关键是转化为数学问题 首先考虑建立恰当的直角坐标系 使拋物线方程为标准方程 以简化计算 再利用拋物线的知识解决问