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第17讲优化问题与导数的综合应用 学习目标 了解应用导数解决实际问题的基本思想 掌握应用导数求解的实际问题的基本题型 拓展导数应用的范围 提升通过构造函数解决不等式 方程等问题的能力 d c d d 1 知识要点 1 优化问题与实际问题相关的利润最大 用料最省 效率最高等问题通常称为优化问题 2 导数在优化问题中的应用 3 导数与不等式 1 不等式的证明可以通过构造函数等价转换为探究函数值的大小 然后应用导数讨论函数的单调性 从而实现不等式的证明 2 含参数不等式的恒成立问题 通过分离变量 构造函数等价转换为函数最值问题 然后应用导数求函数最值 4 导数与方程方程根的存在性问题等价转换为函数极值和单调性问题研究 然后应用导数及数形结合确定方程根的存在性和个数 点评 导数作为一个工具在解应用题时有非常重要的作用 复习中应将导数的应用提升一个高度 本例将实际问题与抛物线 导数的几何意义结合考查 有助于训练学生思维和创新意识 点评 导数既是解决函数单调性 极值 最值的工具之一 也是不等式证明的工具 如本例 通过构造函数 通过应用导数探究单调性而实现不等式的证明 点评 超越方程 或 恒成立 问题 通常是由方程或题设恒成立条件通过适当变化 依据变式的结构特征构造函数 应用导数分析求解 点评 导函数在某区间上的正负代表了原函数单调性的增减 相反 已知单调性 可推导出导函数在区间上的正负 1 有关超越型不等式的证明 方程根的探究 构造函数应用导数推理求解是有效方法之一 也是近几年高考中压轴题的常见命题方法之一 2 利用导数解决生活中的优化问题的思路是 阅读审题引入建模解模回归实际 3 在解决生活中的优化问题时应注意 实际问题的意义 建立函数模型后还应根据实际问题情境确定函数的定义域 命题立意 本题主要考查导数的运算 利用导数研究函数的单调性 解不等式 函数的零点等基础知识 考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法 1 若函数f x 在区间 a b 内的导数恒为正 且f b 0 则函数f x 在区间 a b 内有 a f x 0b f x 0c f x 0d f x 0 b 解析 由已知f x 在 a b 内递增 由x a b 得f x f b 0 2 某公司在甲 乙两地销售一种品牌车 利润 单位 万元 分别为l1 5 06x 0 15x2和l2 2x 其中x为销售量 单位 辆 若该公司在这两地共销售15辆 则能获得的最大利润为 a 45 606万元b 45 6万元c 45 56万元d 45 51万元 解析 设在甲地销售x辆 则在乙地销售 15 x 辆 总利润为l x 则l x l1 l2 5 06x 0 15x2 2 15 x 0 15x2 3 06x 30 l x 0 3x 3 06 令l x 0 有
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