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足球构造中的数学问题足球运动被誉为当今世界第一体育运动，四年一度的世界杯足球赛吸引了数以万计学生的关注。但调查显示，尽管参加足球运动的学生中有95%知道足球是由黑、白两色皮革私合或缝制而成，但知道黑、白两色皮革的形状、块数的仅有28.2%和5.6%，至于足球的表面结构与正多面体的关系则很少有人知晓。为此，以中学学科知识为基础，我们开展了一次富有成效的研究性学习。一、走访调查通过走访足球生产厂家、体育用品商店、足球教练以及中学体育教师，我们获得了许多与足球有关的知识。1.球的外形。足球虽然是球体，但实际上是由黑、白两色皮革勃合或缝制成的多面体加工而成的。足球不得使用可能伤害运动员的材料，通常用皮革或其他适当材料制作。其中黑色皮为正五边形，白色皮为正六边形，表面之间具有下列特征:黑色皮周围都是白色皮;每两个相邻的多边形恰好有一条公共边;每个顶点都是三块皮的公共点，且为一黑二白。(图l) .2.相关数据。正式比赛用球，其大圆的圆周长在68cm至7Icm之间，球的质量应在396 g至453 g之间，充气后其压力应在600g/cm2至1100g/cm2之间。3.充气时的力学原理。当空气不断地充人球体内时，球内的空气质量不断增多，此时，球体内压强逐渐变大，可将球皮撑起(球体内部气体压力将平衡大气压力及球皮张力)。二、研究内容1.黑、白两色皮块数的计算。依中学数学教材，简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F有关系V+F-E=2(欧拉定理)。假设黑、白两色皮各有x，y块，则面数F=x+y；由于每条棱均为两个面的交线，以棱数E=(5x+6y)/2; 每个顶点均为三个面的公共点，所以顶点数v=(5x+6y)/3。由欧拉定理，有(5x+6y)/3+( x+y)- (5x+6y)/2 =2。 又因为每块白色皮对应的六边形中有三条边与其他白色皮相连，剩余三条边与黑色皮相接，故 6y/2=5x。 解可得x=12，y=20，皮有20块。即黑色皮有12块，白色皮有20块。此时，面数为32，顶点数为60，棱数为90。2.球体与正多面体的关系。由教材中的相关知识可知，每个面都是相同边数的正多边形，且以每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体称为正多面体。利用欧拉定理可以证明，正多面体只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。经过计算，上述五种正多面体的顶点数均不是60，因此，都不是足球表面的结构。要想得到有60个顶点的多面体，可以采用把正多面体的顶角截下来的办法。因为在截角时，每截下原来的一个顶角，便会产生更多的顶角。通过尝试，发现对正二十面体利用平截的方法截角，可以实现这样的设想:在每个顶点的棱边的1/3处将顶角截去，由于正二十面体有12个顶角，削3去这12个顶角后，可使这12个平截的地方变成12个五边形，且剩下的面全变成六边形(一共有20个)，最后得到一个由12个五边形和20个六边形组成的三十二面体。它的顶点数为60，棱边数为90，面数为32，此为足球表面的多面体结构(图2)。3.足球与C60。在中学化学教材中，碳的第三种同素异形体C60的分子结构被形象地称为“足球分子”。那么，C60的分子结构与足球有何关系呢?在C60被发现之前，人们对碳的同素异形体的认识仅停留在金刚石和石墨上。金刚石是由许多正四面体分子结构组成的，每个四面体由四个正三角形组成。它的硬度极高，折光率也高。石墨则是由许多六边形排成的平面层状分子组成的，层与层之间连接很弱。它的硬度很低，润滑性好。据资料介绍，1985年国外的几位科学家在一次实验中，偶尔发现了碳的第三种同素异形体C60。但它的分子结构究竟怎样，一直困扰着这几位科学家，因为不知其分子结构，就无法继续进行相关研究。他们中的一位科学家曾经参观过加拿大蒙特利尔万国博览会中的美国馆。美国馆是一座外形奇特的球形建筑，其球顶由正五边形和正六边形组成，整个建筑没有任何柱子或内部支撑物，参观者可以从各个角度对馆内景象一览无余。他们正是受该博览馆的启发，大胆地提出了C60的分子结构模型:由12个正五边形和20个正六边形构成的一个中空球体，即C60的分子结构酷像足球。因此称C60的分子结构为“足球分子”或“足球烯”(图3)。无独有偶，在1997年全国高校统一招生考试的化学试卷中，就有一道以此为背景的试题:1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家。C60是由60个碳原子构成的分子，它是一个形如足球的多面体，这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形。试计算五边形和六边形的个数。三、结论1.足球是由边长相等的黑色皮正五边形12块与白色皮正六边形20块翻合或缝制而成。在正二十面体的每个顶点的棱边的奋处进行平截，可得足球表面的多面体结构。由于C60的分子结构类似于足球的表面结构，因此，C60的分子结构又称为“足球分子”。2. 12块正五边形和20块正六边形拼成一个完美无缺的“三十二面体”球面，象征着参加世界杯决赛的32支队伍从五大洲、四大洋汇聚在一起，共同交流文化、切磋球技、展示风采，并以此促进足球运动的不断发展。足球在运动员脚下创造了无数奇