1992年全国大学生数学模型联试题的解.doc

1992年全国大学生数学模型联试题（1992年11月27-29日）A题 施肥效果分析某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N），钾（K），磷（P）。某作物研究所在该地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表格所示，其中ha表示公顷，t表示吨， kg表示公斤，当一个营养素的施肥量变化时，总将另二个营养素的施肥量固定在第7个水平上，例如N做实验时，P与K 的施肥量分别取为196kg/ha与372kg/ha.土豆：NPK施肥量(kg/ha）产量（t/ha) 施肥量（kg/ha）产量（t/ha)施肥量（kg/ha）产量（t/ha)0 346710113520225933640447115.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8430.75024497398147196245294342 33.4632.4736.0637.9641.0440.0941.2642.1740.3642.730479314018627937246525825118.9827.3534.8638.52 38.4439.7338.4343.8742.7765.22生菜：NPK施肥量(kg/ha）产量（t/ha) 施肥量（kg/ha）产量（t/ha)施肥量（kg/ha）产量（t/ha)028568411216822428033639211.0212.7014.5616.2717.7522.5921.6319.3416.1214.1104998147196294391489587685 6.399.4812.4614.3317.1021.9422.6421.3422.0724.53 0479314018627937246555865115.7516.7616.8916.2417.5619.2017.9715.8420.1119.40试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面作出估价。本题是由北京理工大学应用数学系叶其孝建议的，可参看Tony Barnes, Estimating fertilizer roquirements of vegetable crops, Mathematical ModellingA Source Book of Case Studeies,Edited by I.D.Huntley and D.J.G.James, Oxford University Press, 1990,341356.全国一等奖论文本题用回归模型解决，让我们看一个例子。例 对8个学生调查其智商iq和课后复习某门课时间t，该门课考试成绩g，得下表试建立由智商和复习时间预测该课程考试成绩的公式。表 8个学生学习成绩iqtg10510751101279120668116385122169l13087911420981021576这个问题中，学生考试成绩g受他的智商iq和复习某门课时间t影响，3个变量g,iq,t间存在密切关系。但是它们的关系不是确定性关系而是相关关系。对本例我们假设分数是可连续取值的，并且认为：智商越高，成绩越好；复习时间越多，学习成绩越好；并且假设智商与复习时间对考试成绩的影响是线性的。但每个人会遇到其它方面的影响，如精力旺盛与否，学习积极性，亲友对该课程知识的介绍，报纸杂志对该课程的介绍等。因此g与iq及t的关系只能是相关关系，于是对一般的学生成绩建立数学模型 用计算机软件却可以方便地完成回归计算，SAS的REG，RSREG，ORTHOREG和GLM过程都可以用来作回归。其中REG过程具有许多功能，例如模型选择、回归诊断等，所以一般情况下总用REG作线性回归。REG过程主要有两个语句：PROC REG语句和MODEL语句，其功能如下（1）PROC REG语句用以调用REG过程，同时可以加上若干选项，其中DATA用以说明线性回归所用的数据集，如果没有这一选项，就用最新产生的数据集作回归。 （2）MODEL语句中有等号，等号前的变量被指定为响应变量，等号后的变量被指定为自变量。 对于上例可以采用如下SAS程序data score;input iq t g;cards;105 10 75110 12 79120 6 68116 13 85122 16 91130 8 79114 20 98102 15 76;proc reg data=score;/*调用reg过程*/model g=iq t;/*解释变量是iq和t,应变量是g*/run;执行程序后计算机打出2个数表：方差分析表（表头Analysis of Variance），参数估计表（表头Parameter Estimate）。以下分别介绍这2个表所反映的信息。 Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr F Model 2 596.11512 298.05756 32.57 0.0014 Error 5 45.75988 9.15198 Corrected Total 7 641.87500 Root MSE 3.02522 R-Square 0.9287 Dependent Mean 81.37500 Adj R-Sq 0.9002 Coeff Var 3.71763表的上半部分是方差分析表，即表，SourceDFSum of SquaresMean SquareF ValuePrFModel2596.11512298.0575632.570.0014Error545.759889.15198.Corrected Total7641.87500.第1列指出各行平方和来源：第2行是回归平方和；第3行是残差平方和；第4行是前两行之和。第2列（DF）表示自由度，分别是2，5和2+5=7；第3列是平方和:SSR=596.11512,SSE=45.75988,SST=SSR+SSE=641.87500。第4列是平均平方和298.05756=596.11512/2，9.15198=45.75988/5。第5列是F值：32.57=298.05756/9.15198。第6列是自由度为2，5的F分布随机变量大于32.57的概率，这概率小于0.01等价于F大于0.99分位数点，因而线性关系是显著的。表的下半部分给出 Parameter Estimates Parameter Standard Variable DF Estimate Error t Value Pr |t| Intercept 1 0.73655 16.26280 0.05 0.9656 iq 1 0.47308 0.12998 3.64 0.0149 t 1 2.10344 0.26418 7.96 0.0005上表为参数估计表，即VariableDFParameter EstimateStandard Errort ValuePr|t|Intercept10.7365516.262800.050.9656iq10.473080.129983.640.0149t12.103440.264187.960.0005各列各行含义如下：第1列为变量，从中可见第2行是（intercept）, 第3行是(iq的系数),第4行是（t的系数）。第2列为自由度，各变量自由度都是1。第3列为参数估计值：=0.73655，=0.47308，=2.10344。第4列为标准误，。第5列为t值：，。第6列为n-m-1=5个自由度t分布随机变量大于这些t值的概率：P(T0.05)=0.9656,P(T3.64)=0.0149),P(T7.96)=0.0005。概率小于0.05表明变量的作用显著。由此可见智商和复习时间对得分的作用是显著的；而常数的作用是不显著的。常数反映教师的作用，由检验可以看出教师的教学效果是不好的。 让我们回到1992试题。查文献可知：土豆产量是N,P,K产量的二次多项式。于是建立回归模型用土豆-N,P,K数据代入，得SAS程序data npk;input n p k w;nn=n*n;pp=p*p;kk=k*k;np=n*p;nk=n*k;pk=p*k;cards; 0 196 372 15.18 34 196 372 21.36 67 196 372 25.72101 196 372 32.29135 196 372 34.03202 196 372 39.45259 196 372 43.15336 196 372 43.36404 196 372 40.83471 196 372 30.75259 0 372 33.46259 24 372 32.47259 49 372 36.06259 73 372 37.96259 98 372 41.04259 147 372 40.09259 196 372 41.26259 245 372 42.17259 294 372 40.36259 342 372 42.73259 196 0 18.98259 196 47 27.35259 196 93 34.86259 196 140 38.52259 196 186 38.44259 196 279 37.73259 196 372 38.43259 196 465 43.87259 196 558 42.77259 196 651 46.22;proc reg data=npk;model w=n p k nn pp kk np nk pk;run;执行後出现“Model is not full rank. Least-squares solutions for the parameters are not unique”说明模型不满秩，可用逐步回归筛选主要因子。采用程序data npk;input n p k w;nn=n*n;pp=p*p;kk=k*k;np=n*p;nk=n*k;pk=p*k;cards; 0 196 372 15.18 34 196 372 21.36 67 196 372 25.72101 196 372 32.29135 196 372 34.03202 196 372 39.45259 196 372 43.15336 196 372 43.36404 196 372 40.83471 196 372 30.75259 0 372 33.46259 24 372 32.47259 49 372 36.06259 73 372 37.96259 98 372 41.04259 147 372 40.09259 196 372 41.26259 245 372 42.17259 294 372 40.36259 342 372 42.73259 196 0 18.98259 196 47 27.35259 196 93 34.86259 196 140 38.52259 196 186 38.44259 196 279 37.73259 196 372 38.43259 196 465 43.87259 196 558 42.77259 196 651 46.22;proc reg data=npk;model w=n p k nn pp kk np nk pk/selection=stepwise;run;得到输出 Stepwise Selection: Step 7 Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr F Model 5 1588.02719 317.60544 52.46 F Intercept 34.21183 1.51322 3094.73186 511.15 .0001 nn -0.00032100 0.00003116 642.51487 106.12 .0001 pp -0.00020621 0.00004702 116.45852 19.24 0.0002 kk -0.00007747 0.00001300 215.00773 35.51 .0001 np 0.00037276 0.00005818 248.56345 41.05 .0001 nk 0.00030883 0.00003063 615.31969 101.63 .0001 Bounds on condition number: 10.342, 202.73由此可得回归方程若再加上市场价格就能寻求最佳施肥方案。练习题为了