江苏省南京市2019届高三上学期综合模拟数学试题（解析版）

南京市2019届高三第一学期综合模拟试题（一）一填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。1.已知集合，则_.【答案】【解析】【分析】化简集合A，由交集运算即可求解.【详解】因为，所以，故填.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于中档题.2.复数为虚数单位）的共轭复数为_.【答案】【解析】【分析】根据复数的乘法运算可求z,写出其共轭复数即可.【详解】因为，所以 ，故填【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数，属于中档题.3.某水产养殖场利用100个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示，则该养殖场有_个网箱产量不低于50 kg【答案】82【解析】【分析】根据频率分布直方图，可求出不低于50kg的频率，然后再根据频率即可求出结果.【详解】由频率分布直方图，可知不低于50kg的频率为：（0.040+0.070+0.042+0.012）50.82，所以网箱个数：0.08210082.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，以及频率的基本概念，考生熟练掌握相关概念是解决本题的关键.4.已知四边形为梯形, ,为空间一直线,则“垂直于两腰”是“垂直于两底”的_条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个).【答案】充分不必要【解析】因四边形为梯形,，则两腰必相交，由线面垂直的判定定理和性质定理可得“垂直于两腰”一定有“垂直于两底”，但反之，则不一定成立，故选“充分不必要”5.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 【答案】9【解析】:试题分析：由题意可得，a是在不断变大的，b是在不断变小，当程序运行两次时，a=9,b=5，ab,跳出程序，输出a=9;考点：算法的流程图的计算此处有视频，请去附件查看】6.甲、乙、丙、三本书按任意次序放置在书架的同一排上，则甲在乙前面，丙不在甲前面的概率为_.【答案】【解析】【分析】三本书任意放共有种不同放法，由甲在乙前面，丙不在甲前面知甲的位置固定，乙丙排序即可，共有2种不同的放法，即可求出其概率.【详解】三本书任意放共有种不同放法,由甲在乙前面，丙不在甲前面知甲的位置固定，乙丙排序即可，共有2种不同的放法故甲在乙前面，丙不在甲前面的概率为，填.【点睛】本题主要考查了排列的应用，古典概型，属于中档题.7.已知等差数列的前项和为，则的值为_【答案】24【解析】【分析】首先根据等差数列的前项和公式和等差中项，即可求出的值，再根据等差数列的通项公式和，即可求出，进而求出的值.【详解】因为，所以，132，即11132，所以，12又，所以，18，因为，所以，可求得：24【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的前项的公式，熟练掌握通项公式和等差数列的前项的公式是解决本题的关键.8.将函数的图像向左平移()个单位弧，所得函数图象关于直线对称，则_【答案】【解析】【分析】由题意利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得的值【详解】将函数的图象向左平移（）个单位弧，可得y=5sin（2x+2+）的图象，根据所得函数图象关于直线对称，可得2+2+=k+，求得=，kZ，令k=1，可得=，故答案为【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.9.在矩形中，已知，点E是BC的中点，点F在CD上， 则的值是_.【答案】【解析】试题分析：建立如下图所示的平面直角坐标系，由得：，解得：所以，所以答案应填：考点：平面向量的数量积【此处有视频，请去附件查看】10.已知棱长为1的正方体，是棱的中点，是线段上的动点，则与的面积和的最小值是_【答案】【解析】分析】由题意，就是求到与距离和的最小值，由于在平面上的射影为，故问题转化为正方形中上的点到距离和的最小值【详解】由题意，就是求到与距离和的最小值，由于在平面上的射影为，故问题转化为正方形中上的点到距离和的最小值，设关于的对称点，则 由余弦定理，所以与的面积和的最小值是，故填.【点睛】本题主要考查了正方体的性质，余弦定理，学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.11.已知椭圆和圆,若上存在点,使得过点引圆的两条切线,切点分别为,满足,则椭圆的离心率的取值范围是 .【答案】【解析】【详解】试题分析：连接OP， ， ， ， 考点：求椭圆离心率范围点评：求离心率问题关键是找到关于的齐次方程或不等式12.已知正实数，满足，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】构造与已知条件有关的等式关系x+y=，利用基本不等式的性质即可解决【详解】x0，y0，2x+y0，2x+3y0，x+y0， +=1，x+y=，那么：x+y=（x+y）1=（+）=（1+）=1，当且仅当2x=y=时取等号所以：x+y故x+y的最小值为故答案为【点睛】本题考查了整体思想的构造和转化构造出与已知条件的形式利用基本不等式的性质求解属于中档题13.已知定义在上的函数满足，且，则方程在区间上的所有实根之和为_.【答案】【解析】【详解】作函数图象，由图象得【点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.14.设函数（）若存在，使，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】存在, 使，等价于，化简的解析式，判断的单调性，讨论的单调区间与区间的关系，求出在上的最小值，令最小值小于或等于零解出即可.【详解】存在, 使，当时,在上单调递减；当时,，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增， (1) 若，即时，在上单调递增,解得； (2)若，即时，在上单调递减，在上单调递增，解得，综上，的取值范围是，故答案为.【点睛】本题主要考查不等式有解问题以及利用导数研究函数的单调性、求函数最值，考查了分类讨论思想的应用，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为有解（即可）或转化为有解（即可）.二、解答题 ：本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，（1）求的值；（2）若点D在边上，求的长.【答案】（1） （2） 【解析】【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得，再由正弦定理可得，利用两角和的正弦公式即可求出（2）在中由正弦定理可得.【详解】（1） 设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得 ， 所以. 又由正弦定理得. 由题设知，所以. （2） 在中，由正弦定理得.【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，两角和正弦公式，属于中档题.16.如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面,点为棱的中点，求证：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理进行论证，即从线线平行出发，而线线平行的证明一般从平面几何条件寻求，本题利用中位线性质得（2）面面垂直的证明，一般利用线面垂直给予证明，即需证明平面而线面垂直的证明，需多次利用线面垂直的判定及性质定理进行转化论证试题解析：（1）连接与相交于点，连结因为四边形为矩形，所以为中点因为为棱中点，所以因为平面，平面，所以直线平面（2）因为平面，平面，所以 因为四边形为矩形，所以因为，平面，所以平面因为平面，所以平面平面17.某城市在进行规划时，准备设计一个圆形的开放式公园.为达到社会和经济效益双丰收.园林公司进行如下设计，安排圆内接四边形作为绿化区域，其余作为市民活动区域.其中区域种植花木后出售，区域种植草皮后出售，已知草皮每平方米售价为元，花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍. 若 km ， km（1）若 km ，求绿化区域的面积；（2）设，当取何值时，园林公司的总销售金额最大. 【答案】（1）绿化区域的面积为；（2）当时，园林公司的销售金额最大，最大为百万元. 【解析】【分析】（1）若 km，可得，进而求出,即可求绿化区域的面积（2）设，求出园林公司的总销售金额，利用导数可得结论.【详解】（1）在中，由余弦定理得，因为， 所以， 又因为、共圆，所以. 在中，由余弦定理得，将，代入化简得，解得（舍去）. 所以即绿化空间的面积为 （2）在、中分别利用余弦定理得 联立消去得，得，解得（舍去）. 因为，所以，即. 因为草皮每平方米售价为元，则花木每平方米售价为元，设销售金额为百万元. 令，解得，又，不妨设，则函数在上为增函数； 令，解得，则函数在上为减函数，所以当时， 答：（1）绿化区域的面积为 ；（2）当时，园林公司的销售金额最大，最大为百万元.【点睛】本题主要考查了利用数学知识解决实际问题，利用导数求最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.18.平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上一动点的直线，过F2与x轴垂直的直线记为，右准线记为；设直线与直线相交于点M，直线与直线相交于点N，证明恒为定值，并求此定值 若连接并延长与直线相交于点Q，椭圆的右顶点A，设直线PA的斜率为，直线QA的斜率为，求的取值范围【答案】（1） （2） 【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义可知，再根据离心率求，即可写出椭圆方程（2）求出M,N的坐标，利用两点间距离公式，化简即可求出为定值设点（），点Q，表示出 ，再利用点P在椭圆上，化为关于的函数，即可求出范围.【详解】（1）由题意知 ，则 ,又 可得 ,所以椭圆C的标准方程为. （2）M N 点（），点Q， ，= 点P在椭圆C上， ， = ，的取值范围是【点睛】本题主要考查了椭圆的方程及性质，圆的方程，直线与椭圆相交问题，斜率公式，两点间距离公式，考查了推理与计算能力，属于难题.19.已知数列、满足，其中，则称为的“生成数列”（1）若数列的“生成数列”是，求；（2）若为偶数，且的“生成数列”是，证明：的“生成数列”是；（3）若为奇数，且的“生成数列”是，的“生成数列”是，依次将数列，的第项取出，构成数列探究：数列是否为等比数列，并说明理由【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】试题分析：（1）解：，同理，；（2）只需按照定义证明即可，证明：，为偶数，将上述个等式中第2，4，6， ，这个式子两边取倒数，再将这个式子相乘得：，因为，所以根据“生成数列”的定义，数列是数列的“生成数列”；（3）因为，所以所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可试题解析：（1）解：，同理， 4分（写对一个得1分，总分4分）（2）证明：7分为偶数，将上述个等式中第2，4，6， ，这个式子两边取倒数，再将这个式子相乘得：9分因为，所以根据“生成数列”的定义，数列是数列的“生成数列” 10分（3）证明：因为，所以所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可 12分对于数列及其“生成数列”为奇数，将上述个等式中第2，4，6， ，这个式子两边取倒数，再将这个式子相乘得：因为，数列的“生成数列”为，因为所以成对比数列同理可证，也成等比数列即是等比数列所以成等差数列 16分考点：数列的综合应用，难度较大20.已知函数，其中是自然对数的底数（1）若曲线在处的切线方程为求实数的值；（2） 若时，函数既有极大值，又有极小值，求实数取值范围； 若，若对一切正实数恒成立，求实数的最大值（用表示）【答案】（1）.（2）【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得，又过过点(1,0)，因此可列方程组，解得（2）由题意得，导函数有两个不同的零点，即有两个不同的解，研究目标函数得在区间上为减函数，在区间上为增函数，因此先化简不等式：，再分别求证，（当且仅当都在处取到等号），最后利用不等式性质得试题解析： (1)