高中数学第一章直线多边形圆1.3圆与四边形1.3.1圆内接四边形学案.docx

1.31圆内接四边形课标解读1.了解圆内接四边形的概念2掌握并灵活运用圆内接四边形的性质定理与判定定理及其推论.图1311圆内接四边形的性质定理及推论(1)圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的对角互补如图131，四边形ABCD内接于O，则有：AC180，BD180.(2)推论图132圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角如图132，CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：CBED.2圆内接四边形的判定定理及推论(1)判定定理：如果一个四边形的内对角互补，那么这个四边形四个顶点共圆如图133，若AC180，BD180，则四边形ABCD内接于O.(2)推论：如果四边形的一个外角等于其内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆如图133，若CBED，则四边形ABCD内接于O.图1331判定四点共圆的方法有哪些？【提示】(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等)图1342如图134，在四边形ABCD中，若ADBACB，那么A，B，C，D共圆吗？为什么？【提示】A，B，C，D共圆假设A，B，C，D不共圆，其中C点在圆外C1处设AC1交O于E点，连接BE，A、B、E、D四点共圆，ADBAEB.又知AEB是BEC的一个外角，AEBACB，ADBACB，这与ADBACB矛盾假设不成立同理若C1(C)点在O内，则有：ACBADB，与ADBACB矛盾因此A、B、C、D共圆.圆内接四边形的性质图135如图135，在RtABC中，ACB90，在AB上截取PAAC，以PC为直径的圆分别交AB、BC、AC于D、E、F.求证：.【思路探究】先利用PC是圆的直径，得到PFBC，再利用圆内接四边形的性质，得到DFPC，最后利用平行线分线段成比例证明结论【自主解答】连接DF、PF.PC是直径，PFAC.BCAC，PFBC，.四边形PCFD内接于O，ADFACP，APAC，APCACP.ADFAPC.DFPC，.1在本题的证明过程中，都是利用角相等证明了两直线平行，然后利用直线平行，得到比例式相等2圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系已知四边形ABCD内接于圆，DEAC，交BC的延长线于E，求证：ABCEADCD.【证明】如图，连接BD，DEAC，EACB.ACBADB，ADBE.在ABD与CDE中，ADBE，BADDCE，ABDCDE.故ABCEADCD.圆内接四边形的判定图136如图136，在ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且APBC于P.求证：E、D、P、F四点共圆【思路探究】证明本题可先连接PF，构造四边形EDPF的外角FPC，证明FPCC，再证明FPCFED即可得出结论【自主解答】连接PF，APBC，F为AC的中点，PFAC.FCAC，PFFC，FPCC.E，F，D分别为AB，AC，BC的中点，EFCD，EDFC，四边形EDCF为平行四边形，FEDC，FPCFED，E，D，P，F四点共圆1本题证明的关键是如何使用点E、D、F是中点这一条件2要判定四点共圆，多借助四边形的对角互补或外角与内对角的关系进行证明图137如图137，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根，(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若A90，且m4，n6，求C，B，D，E所在圆的半径【证明】(1)如图，连接DE，在ADE和ACB中，ADABmnAEAC，即.又DAECAB，从而ADEACB.因此ADEACB.所以C，B，D，E四点共圆(2)m4，n6时，方程x214xmn0的两根为x12，x212，故AD2，AB12.如图，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于A90，故GHAB，HFAC.从而HFAG5，DF(122)5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5.圆内接四边形性质与判定的综合运用图138如图138，已知ABC中，ABAC，D是ABC外接圆劣弧上的点(不与点A ，C重合)，延长BD至E.(1)求证：AD的延长线DF平分CDE；(2)若BAC30，ABC中BC边上的高为2.求ABC外接圆的面积【思路探究】(1)利用圆内接四边形的外角等于内对角求解；(2)ABC外接圆的圆心在BC边的高上，通过作辅助线求解【自主解答】(1)如图，A，B，C，D四点共圆，CDFABC.又ABAC，ABCACB，且ADBACB，ADBCDF.又由对顶角相等得EDFADB，故EDFCDF，即AD的延长线DF平分CDE.(2)设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AHBC，连接OC，由题意OACOCA15，ACB75，OCH60，设圆半径为r，则rr2，得r2，外接圆的面积为4.1在解答本题时用到了圆内接四边形的性质，垂径定理等知识，综合性较强2此类问题考查知识点较为丰富，往往涉及圆内接四边形的判定与性质的证明和应用，最终得到某些结论的成立图139(2012周口调研)如图139，在ABC中，CD是ACB的平分线，ACD的外接圆交BC于点E，AB2AC.(1)求证：BE2AD；(2)当AC1，EC2时，求AD的长【解】(1)证明：连接DE，ACED是圆的内接四边形，BDEBCA.又DBECBA，BDEBCA，即有，而AB2AC，BE2DE.又CD是ACB的平分线，ADDE，从而BE2AD.(2)由条件得AB2AC2，设ADt，根据割线定理得BDBABEBC，即(ABAD)BA2AD(2ADCE)，(2t)22t(2t2)，即2t23t20，解得t或t2(舍去)，即AD.图1310(教材第24页练习第2题)已知：如图1310，在ABC和ABD中，CD.求证：A，B，C，D四点共圆(2013课标全国卷)如图1311，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF，B，E，F，C四点共圆图1311(1)证明：CA是ABC外接圆的直径；(2)若DBBEEA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值【命题意图】本题考查了几何证明的相关知识，考查了推理论证的能力及运算求解的能力【解】(1)证明因为CD为ABC外接圆的切线，所以DCBA.由题设知，故CDBAEF，所以DBCEFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以CFEDBC，故EFACFE90，所以CBA90.因此CA是ABC外接圆的直径(2)连接CE，因为CBE90，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE.由DBBE，有CEDC.又BC2DBBA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.而CE2DC2DBDA3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为.1如图1312，ABCD是O的内接四边形，延长BC到E，已知BCDECD32，那么BOD等于()图1312A120B136C144 D150【解析】BCDECD32，ECD72，BOD2A2ECD144.【答案】C2下列说法正确的个数有()平行四边形内接于圆；梯形内接于圆；菱形内接于圆；矩形内接于圆；正方形内接于圆A1个 B2个C3个 D4个【解析】根据圆内接四边形的判定定理知，正确【答案】B图13133如图1313所示，四边形ABCD内接于O，若BOD110，那么BCD的度数为_【解析】ABOD11055，BCD18055125.【答案】125图13144如图1314，两圆相交于A，B，过A的直线交两圆于点C，D，过B的直线交两圆于点E，F，连接CE，DF，若C115，则D_.【解析】如图，连接AB，C115，ABE65，DABE65.【答案】65一、选择题1在圆内接四边形ABCD中，ABCDmnpq，则有()AmpnqBmnpqCmpnq D不能确定【解析】根据圆内接四边形的对角互补知C正确【答案】C图13152如图1315，AB为O的直径，P为O外一点，PA交O于D，PB交O于C，连接BD、AC交于E，下列关系中不成立的是()AADBACB90BAEDPCPAEBDPACDBP【解析】AB为O的直径，BDAP，ACBP，ADBACB90，EDPECP90，E、D、P、C四点共圆，AEDP，A，B，C，D四点共圆，PACDBP，而PAEB无法确定【答案】C图13163如图1316，在O中，弦AB的长等于半径，DAE80，则ACD的度数为()A30 B45C50 D60【解析】连接OA，OB，BCDDAE80，AOB60，BCAAOB30，ACDBCDBCA803050.【答案】C图13174如图1317，AB是O的弦，过A、O两点的圆交BA的延长线于C，交O于D，若CD5 cm，则CB等于()A25 cm B15 cmC5 cm D. cm【解析】连接OA，OB，OD，OAOBOD，OABOBA，ODBOBD.C，D，O，A四点共圆，OABCDO，CDOOBA，CDOODBOBAOBD，即CDBCBD，CDCB，CD5 cm，CB5 cm.【答案】C二、填空题5圆内接四边形ABCD为平行四边形，则cos Acos Bcos Ccos D_.【解析】四边形ABCD为圆内接四边形，AC180，BD180，又四边形ABCD为平行四边形，AC，BD，ABCD90，cos Acos Bcos Ccos D0，cos Acos Bcos Ccos D0.【答案】0图13186(2013信阳模拟)如图1318，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若，则的值为_【解析】由于PBCPDA，PP，则PADPCB ，.又，.，.【答案】三、解答题图13197如图1319所示，AB、CD都是圆的弦，且ABCD，F为圆上一点，延长FD、AB使它们交于点E.求证：AEACAFDE.【证明】如图，连接BD，ABCD，BDAC.A、B、D、F四点共圆，EBDF.又DEBFEA，EBDEFA.，即AEACAFDE.图13208如图1320，已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，B60，F在AC上，且AEAF.(1)证明：B、D、H、E四点共圆；(2)证明：EC平分DEF.【证明】(1)如图：在ABC中，ABC60，BACBCA120.AD、CE是角平分线，HACHCA60，故AHC120.于是EHDAHC120.EBDEHD180，B、D、H、E四点共圆(2)连接BH，则BH为ABC的平分线，得HBD30.由(1)知B、D、H、E四点共圆，CEDHBD30.又AHEEBD60，由已知可得EFAD.可得CEF30.EC平分DEF.图13219如图1321，BA是O的直径，延长BA至E，使得AEAO，过E点作O的割线交O于D、C，使得ADDC.(1)求证：ODBC；(2)若ED2，求O的内接四边形ABCD的周长【解】(1)证明：连接AC，OD是O的半径，ADDC，ODAC，又BCA90，BCAC，ODBC.(2)由(1)及EAAO，ED2，知，EC3.EDECEAEB3EA2，3EA223，即EA.CDECED1，BCODEA，四边形ABCD的周长为ADCDBCBA2.10如图，在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点为P.求证：APANBPBMAB2.【证明】作PEAB于点E.AB为直径，ANBAMB90，P，E，B，N四点共圆，P，E，A，M四点共圆，得AB(AEBE)APANBPBM，即APANBPBMAB2.直线、多边形、圆)圆与直线)圆与四边形圆内接四边形)射影定理的应用射影定理揭示了直角三角形中两直角边在斜边上的射影，斜边及两直角边之间的比例关系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的对应，分清比例中项，否则在做题中极易出错图11如图11所示，AD，BE是ABC的高，DFAB于F，DF交BE于G，FD的延长线交AC的延长线于H.求证：DF2FGFH.【证明】BEAC，ABEBAE90.同理，HHAF90，ABEH.又BFGHFA，BFGHFA，BFHFFGAF，BFAFFGFH.在RtADB中，DF2BFAF，DF2FGFH.直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系，即相交、相切、相离；其中直线与圆相切的位置关系非常重要，结合此知识点所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等问题是高考选做题热点之一，解题时要特别注意图12如图12所示，O是以AB为直径的ABC的外接圆，点D是劣弧的中点，连接AD并延长，与过C点的切线交于P，OD与BC相交于点E.求证：(1)OEAC；(2).【证明】(1)AB为O的直径，ACBC.D是的中点，由垂径定理得ODBC，ODAC.又点O为AB的中点，点E为BC的中点，OEAC.(2)连接CD.PC是O的切线，PCDPAC.又P是公共角，PCDPAC.得，得.D是的中点，CDBD，因此，.圆周角及其应用在圆中，连接同弧或等弧上的圆周角，是常用的辅助线，由此可得角相等；有直径或有垂直条件或证明垂直结论，经常根据图形适当作出直径上的圆周角. 图13如图13所示，AB是半圆直径，C为中点，CDAB于D交AE于F.求证：AFCF.【证明】法一连接AC，BC.AB是直径，ACBC.CDAB，BACD.，BCAE.CAEACD，AFCF.法二连接OC，AC，由于C为中点，O为圆心，则OCAE.CDAB，OCDOAE.OCOA，OCAOAC.DCACAE.AFCF.圆内接四边形的判定与性质圆内接四边形