转动惯量.doc

3.5转动惯量教学目的 能够熟练掌握推导动量矩的表达式，能够求导出刚体对定点的转动动能，理解和掌握刚体的转动惯量的定义及定义式，牢记并能熟练运用平行轴定理，了解刚体的惯量张量及惯量椭球，能够运用惯量椭球消去惯量积。重点刚体的动量矩，刚体的转动动能，转动惯量，惯量张量和惯量椭球，惯量主轴极其求法。教学过程一、刚体的动量矩在质点动力学和质点组动力学重，我们都曾遇到动量矩定理，并把它作为三大基本定理之一。在刚体动力学重，大量篇幅是研究刚体的转动问题。因此，就经常要用到动量矩定理。在还没有研究动量矩定理在刚体动力学中的作用以前，让我们先来研究一下，在转动问题中，动量矩的表达式是怎样的？图3.5.1假设刚体在某一时刻以角速度作定点转动。在它里面，取任一质点，它的质量是，速度为（未画出）。如对定点的位矢是（图3.5.1），则此质点对定点的动量矩为而整个刚体对的动量矩为刚体中各质点对同一点的动量矩的矢量和：（3.5.1）因为 故 即 （3.5.2）式（3.5.2）告诉我们，动量矩一般并不与角速度共线。在平动中，动量与线速度总是共线的。在定点转动中，只在惯量主轴上，才与共线参看本节中的（4）及（5）。现在来求在一般情况下动量矩的分量表达式。把动量矩矢量和角速度矢量都分为沿三正交坐标轴，（原点在）上的分量，则因故得在方向上的分量为（3.5.3）同理（3.5.4）（3.5.5）及 （3.5.6）关于，和以及、和的物理意义，我们下面还要作进一步的讨论。利用式（3.5.5）与式（3.5.6）所引入的符号，（3.5.3）和（3.5.4）两式可简写为（3.5.7）二、刚体的转动动能现在来求刚体对定点的转动动能，由图（3.5.1），知把式（3.5.7）中的，和的表达式代入上式，就得到（3.5.8）三、转动惯量刚体的转动动能也可写为 （3.5.9）式中为的位矢与角速度矢量之间的夹角，为自至转动瞬轴（即矢量的作用线）的垂直距离（图参看3.5.1），而称为刚体绕转动瞬轴的转动惯量。在研究刚体转动时，恒有这一表达式出现，式中是刚体上某一质点的质量，为至转动瞬轴的垂直距离，而求和则遍及整个刚体。这个表达式代表一个新的物理量，是转动时物体的一个属性，代表物体在转动时惯性的量度，和平动时的质量相当。转动惯量的表达式中包含距离（或坐标）的二次方，而执行的表达式中，则包含距离（或坐标）的一次方，所以计算时有很多相似之处。对质量均匀分布或按一定规律分布，且形状规则的刚体，转动惯量的求法也和质心的求法一样，把求和改为定积分。对质量分布不均匀或形状不规则的刚体，两者都智能通过实验求出。虽然转动惯量和质心在计算上有相似之处，但物理实质则迥然不同。在平动中，质量可认为是集中在物体的质心上。而在转动中，转动惯量反映物体转动时惯性的大小。但是，我们也可认为，刚体按一定规律分布的质量，在转动中等效于集中在某一点上的一个质点的质量，此点离某轴线的垂直距离为，刚体对该轴线的转动惯量与该等效质点对此同一轴线的转动惯量相等，即（3.5.10）或 （3.5.11）式中的叫做刚体对该轴线的回转半径。回转半径虽为一等效的量，但在计算中常被采用以简化问题，因为这样一来，质量在算式中就可以被约去。物体的转动惯量，一方面决定于物体的形状（或质量分布的情况），另一方面又决定于转动轴的位置，即对之求转动惯量的那条轴线的位置。所以转动轴不同，即使是同一物体，转动惯量也不同。但是对两平行轴而言，如果其中有一条通过物体的质心，那么物体对某一轴线的转动惯量，等于对通过质心的平行轴的转动惯量，加上物体的质量于两平行轴间垂直距离平方的乘积，即（3.5.12）式中是对某轴线的转动惯量，为对通过质心并与上述轴线平行的轴线的转动惯量，为两平行轴线间的垂直距离。这个关系叫做平行轴定理。利用这个定理，计算工作可以大为简化。关于这个定理的证明，可参看普通物理中的有关章节。四、惯量张量和惯量椭球对质量均匀分布（或按一定规律分布），且形状规则的刚体，我们可把（3.5.5）和（3.5.6）两式改写为定积分形式（一般是重积分），即 (3.5.13)（3.5.14）式（3.5.13）中的、和是质点离轴、轴和轴的垂直距离的平方（图3.5.2），故，和就叫做刚体对轴、轴和轴的轴转动惯量，至于、和则因含有两个坐标的相乘项，所以叫做惯量积。图3.5.2通过空间某一点，我们可以作出无数轴线，根据上面的讨论，知同一物体绕不同的轴线转动时，转动惯量也将不同。这样，对通过点的许多轴线，如果需要知道绕这些轴线的转动惯量，就得计算好多次。是不是也有类似如平行轴定理那样的简单公式呢？我们说：这个公式也是存在的，我们现在就来推导这个公式。结合（3.5.8）和（3.5.9）两式，并因，故得（3.5.15）式中，为任一转动瞬轴相对于坐标轴的方向余弦。故只要一次算出三个轴转动惯量和三个惯性积，则通过点的任一轴线的转动惯量就可以由式（3.5.15）算出，只要把该轴线的方向余弦代入式（3.5.15）即可。三个轴转动惯量和六个惯性积（由于对称关系，实际上也只有三个是互相独立的）作为统一的一个物理量，来代表刚体转动是惯性的量度，可以排成下列矩阵的形式（3.5.16）并且把它叫做对点而言的惯量张量，而这一惯性矩阵的每个元素（轴转动惯量和惯量积）则叫做惯量张量的组元，也叫惯量系数。利用矩阵乘法，亦可得出式（3.5.15），因而（3.5.17）利用式（3.5.16），我们还可以把式（3.5.7）写为（3.5.18）由于惯量系数都是点坐标的函数，所以如果取用静止的坐标系，那么刚体转动时，惯量系数亦将随之而变，这显然是很不方便的。因此，通常都选取固连在刚体上、并随着刚体一同转动的动坐标系，这样，惯量系数都将是常数。动坐标系的原点和坐标轴只需固定在刚体上即可，坐标轴的取向则完全可以任意选取。因此，我们可以利用这一性质，来同时消去转动惯量中惯量积，以使问题更为简化。为了消去惯量积，一般是采用下面所介绍的方法。如果我们在转动轴上，截取一线段，并且使，为刚体绕该轴的转动惯量，则点的坐标将是，因为通过点有很多转轴，按照上面所讲的方法，就应有很多的点，这些点的轨迹方程将是利用及式（3.5.15）（3.5.19）这是中心在点的二次曲面方程，一般来讲是一闭合曲面，因为不等于零（时，将趋于无限大）。故式（3.5.19）代表一中心在点的椭球，通常叫做惯量椭球。如果为刚体的质心(或重心)，则所作出的椭球，叫中心惯量椭球。按式（3.5.19）画出椭球后，就可根据的关系，有某轴上矢径的长，求出刚体绕该轴转动时的转动惯量。五、惯量主轴及其求法利用惯量椭球虽然可以求出转动惯量，但我们的主要目的并不在此。我们的主要目的，时如何利用它来消去惯量积。我们知道：每一椭球都是三条相互垂直的主轴。如果以此三主轴为坐标轴，则椭球方程中含有异坐标相乘的项统统消失（实际上是它们前面的系数等于零，而这些系数正好就是惯量积）。惯量椭球的主轴叫惯量主轴，而对惯量主轴的转动惯量叫主转动惯量。并改以，表之，因为惯量积已全部等于零，无需再用两个下角标。如果取点上的惯量主轴为坐标轴，则惯量椭球的方程将简化为（3.5.20）此时系数，就是点上的主转动惯量，而惯量积，则统统等于零。故选惯量主轴为坐标轴，问题就能得到简化。这时，刚体的动量矩的表达式（3.5.7）和转动动能的表达式（3.5.8）也将简化为（3.5.21）求