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与三角形“四心”相关的向量结论濮阳市华龙区高中 张杰 随着新课程对平面几何推理与证明的引入，三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。平面向量作为平面几何的解题工具之一，与三角形的结合就显得尤为自然，因此对三角形的相关性质的向量形式进行探讨，就显得很有必要。本文通过对一道高考模拟题的思考和探究，得到了与三角形“四心”相关的向量结论。希望在得出结论的同时，能引起一些启示。 问题：设点在内部，且有，则与的面积的比值是_. 分析： 设，则， 则点为的重心. 而 ，. 探究：实际上，可以将上述结论加以推广，即可得此题的本源。 结论： 设点在内部，若，则证明： 已知点在内部，且 设：，则点为DEF的重心， 又， 说明: 此结论说明当点在内部时，点把所分成的三个小三角形的面积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关系式前面的系数之比。应用举例：设点在内部，且，则的面积与的面积之比是： A2：1 B3：1 C4：3 D3：2 分析：由上述结论易得：，所以，故选D 当把这些点特定为三角形的“四心”时，我们就能得到有关三角形“四心”的一组统一的向量形式。引申：设点在内部，且角所对应的边分别为 结论1：若为重心，则 分析：重心在三角形的内部，且重心把的面积三等分.结论2 ：为内心，则 分析：内心在三角形的内部，且易证SBOC：SCOA：SAOB=结论3： 为的外心，则 分析： 易证SBOC：SCOA：SAOB=sin2A：sin2B：sin2C. 由结论3及结论：为的外心，为的垂心，则可得结论4。 结论4：若为垂心，则 即 证明：对任意有，其中为外心，为垂心， ， 则由平面向量基本定理得：存在唯一的一组不全为0的实数，使得， 即，由结论3得： 所以有：， 所以可得： 化简后可得： 应用举例：例1：已知为的内心，且，则角的余弦值为 。分析：由结论2可得，所以由余弦定理可得：例2：已知的三边长为，设的外心为，若， 求实数的值。分析： ，整理后即得：. 由结论3可得：，又易得， . 点评：此题的通用解法应该是构造与基底相关的如下方程组： 解方程组可得结果。 例3：设是的垂心，当时，求实数的值. 分析： 由结论4可得：. 而，整理后得： 由，可得， .而， 解得，. 点评：此题的通用解法应该是仿例2的点评，构造与基底相关的方程组。 通过这样的思考、探究，不仅得到了与三角形的“四心”相关的有用结论，更为重要的是对提高发现问题和解决问题的能力有很大帮助，正契合了新课标对学生
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