中值定理与导数的应用.doc

第三章 中值定理与导数的应用31 中值定理重点；拉格朗日中值定理及其应用；难点：辅助函数的构造一、 罗尔中值定理罗尔定理：（1）f(x)在闭区间a,b上连续； （2）f(x)在开区间（a,b）内可导； （3）f(a)=f(b)则在（a,b）内至少有一点（a m，由于f(a)=f(b),所以M和m这两个数中至少有一个不等于f(a)(或f(b)。不妨设Mf(a)，于是存在（a,b）使f()=M，可以证明： ()=0。；二、 拉格朗日中值定理1、拉格朗日中值定理：（1）f(x)在闭区间a,b上连续；（2）f(x)在开区间（a,b）内可导；则在（a,b）内至少有一点（ab）,使f(b) - f(a)= ()(b-a)分析：构造辅助函数，使满足罗尔Th的3个条件，则有（a,b），使=0。将（1）移项得： ()(b-a)-f(b)-f(a)=0,显然 应取为： ()(b-a)-f(b)-f(a)，因此=f(x)(b-a)-f(b)-f(a)证明：令=(b-a)f(x)- f(b)-f(a)，显然f(x)满足罗尔Th的（1）（2）。，于是条件（3）成立，故存在（a,b），使=0，即：f(b) - f(a)= (b-a) ()。2、定理 若f(x)在区间I上的导数恒为零，则f(x)=C 证明：任取 3、应用中值定理证明不等式例1 证明当x0时,证：设f(x)=ln(1+x),显然f(x)在0，x上满足拉格朗日中值Th的条件。f(x)-f(0)= ()(x-0)，01时， 证：（1）设f(x) =arctan,由拉格朗日中值Th（不妨设ba）arctan a-arctan b= (arctan = (ba)aretan a-arctan ba-b (2) f(x) =,在1，x上应用拉格朗日中值Th （1，x） 故例3 当0x0)例6 （0,n为正整数）二、型未定式例7 例8 例9 求解：设，例10 求解：令，例11 求解：设，e三、洛必达法则与其他求极限的方法结合使用例12 计算 解： = 0 由此可得： 课堂练习：P171 1.1).3).5).7).9).11).13).15).2.3课后作业：P171 1.2).4).6).8).10).12).14).16).43.3 泰勒公式重点：泰勒中值定理及其应用难点：余项的估计1、 问题的提出 设在含有的开区间内具有直到(n+1)阶导数，试找出一个关于的n次多项式 （1）来近似表达，要求与之差是比高阶的无穷小，并给出误差-的具体表达式。令=，=，=得：=， =，=，.，= （2）2、泰勒中值定理如果函数在含有的某个开区间（a,b）内具有直到(n+1)阶的导数，则当x在（a,b）内时，可以表示为： （3）其中 （4）这里是与之间的某个值。3、 余项的估计如果对于某个固定的n，当在开区间（a,b）内变动时，总不超过一个常数M，则有估计式： （5）及由此可见 （6）4、 麦克劳林公式 =0时，在0与之间，令 （01） （01）（7） 或 （8）5、 例题分析例1 写出的n阶麦克劳林公式解： （01）取 当n=10时，e2.718282 例2 求的n阶麦克劳林公式解：其中 （01时， 证：令= （x1）从而当x1时,3.5 函数的极值及其求法一、 定义 设在区间（a,b）内有定义，是（a,b）内的一个点。如果存在的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点，均成立，就称是函数的一个极大值，同理可定义极小值。极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。二、必要条件Th1 设在处可导，且在处取得极值，那么=0证：不妨设是极大值 =0驻点的定义 使导数为零的点叫做的驻点。三、第一充分条件Th2 设在点的一个邻域内可导且（1） 如果当x取左侧邻近的值时，0；当x取右侧邻近的值时,0,则在取得极大值；（2） 如果当x取左侧邻近的值时，0，那么在取得极小值；（3） 如果当x取左右两侧邻近的值时，不变号，那么在处没有极值。例1 求的极值四、第二充分条件Th3 设在处具有二阶导且=0，0，则（1） 当0时，在处取得极小值。例2 求函数的极值例3 求函数的极值3.6 最大值、最小值问题设在（a,b）内的驻点为，则比较的大小，其中最大的便是在a,b上的最大值，最小的便是在a,b上的最小值。P192 下述情形：在一个区间.P193 还要指出，实际.例1例33.7 曲线的凹凸与拐点一、 定义 设在区间I上连续，如果对I上任意两点恒有那么称在I上的图形是（向上）凹的（或凹孤）同理定义凸孤。二、Th 设在a,b上连续，在（a,b）内具有一阶和二阶导数，那么(1) 若在（a,b）内0，则在a,b上的图形是凹的；(2) 若在（a,b）内0，则在a,b上的图形是凸的。例1 判定曲线的凸凹性。例2 判定曲线的凸凹性。三、拐点的定义连续曲线上凹孤与凸孤的分界点称为这曲线的拐点。例3 求曲线的拐点例4 求曲线的拐点及凹、凸的区间例5 问曲线是否有拐点例6 求曲线的拐点3.8 函数图形的描绘一般步骤：第一步 确定的定义域，并求、；第二步 求=0，=0在定义域内的全部实根，用这些根把函数的定义域划分成几个部分区间；第三步 确定在这些部分区间内，的符号，并由此确定图形的升降和凹凸，极值点和拐点；第四步 确定函数图形的水平，铅直渐近线以及其他变化趋势；第五步 算出=0，=0的根所对应的函数值，定出图形上相应的点；有时还需补充一些点。例1 画出的图形。例2 描绘的图形。例3 描绘的图形。3.9 曲 率一、 弧微分是x的单增函数由于单增，于是有，这就是弧微分公式。二、 曲率及其计