矩阵在线性方程组中的应用

矩阵在线性方程组中的应用矩阵在线性方程组中的应用 摘 要 矩阵和线性方程组都是高等数学的重要教学内容 在高等数学教学中利用矩阵解线 性方程组的方法基本上是所知的固定几种 利用矩阵初等变换 克拉默法则 高斯 若 尔当消去法 但是解一个线性方程组有时需要几种方法配合使用 有时则需要选择其中 的最简单的方法 而对于一些特殊的线性方程组的解法很少有进行归类 讲解 我们希 望可以通过对本课题的研究 总结和归纳用特殊矩阵解几类特殊线性方程组的解法 关键词 矩阵 线性方程组 齐次线性方程组 非齐次线性方程组 1 MATRICES IN THE APPLICATIONS OF THE SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS ABSTRACT Matrices and system of linear equations are important content of advanced mathematics We often use several fixed methods to solve system of linear equations in advanced mathematics such as Matrix transformations Cramer s Ruleand Gauss Jordan elimination method But sometimes we need to choose one of the most simple ways or we need to use several methods to solve system of linear equations For some special solution method of system of linear equations there are few classification and explanation in detail We hope that we can research summarizes and induces solution method of some special system of linear equations with special matrices KEY WORDS matrices system of linear equations homogeneous system of linear equations nonhomogeneoussystem of linear equations 2 目目 录录 中文摘要 I 英文摘要 II 目 录 III 引 言 1 1 矩阵和线性方程组的概述 1 1 1 矩阵的概念 1 1 2 线性方程组的概念 2 1 3 线性方程组解的情况 3 2 矩阵在线性方程组中的应用 3 2 1 克拉默法则 3 2 2 高斯消元法 5 2 3 非齐次线性方程组新解法的解题步骤 6 2 4 直接通过矩阵变换及运算求出方程组的解法 7 2 5 利用追赶法解线性方程组 9 2 5 1LU分解 9 2 5 2 追赶法 10 2 6 利用分块矩阵求解非齐次线性方程组 12 2 7 用加边矩阵求解非齐次线性方程组 14 3 结 论 17 参考文献 17 致 谢 19 0 引 言 矩阵的概念最早在19世纪由英国数学家凯利提出 在数学史上 研究过矩阵论的著 名数学家有许多 在文献 1 中介绍了英国数学家西尔维斯特于1852年对矩阵的合同发现 著名的 惯性定理 在文献 2 中英国数学家凯莱发表了重要文章 矩阵论的研究报告 对矩阵的基本理论进行了系统的阐述 当然还有许多数学家对矩阵的发展做出了伟大 的贡献 随着时代的不断发展 矩阵已经在各个领域得到了广泛的运用 是一种非常常用的 用具 在数学领域中作为解决线性方程的工具之一 前人对此已经做了大量的的研究 1693年 微积分的发现者之一德国数学家莱布尼茨建立了行列式论 1750年 瑞士数学 家克莱姆其后又定下了克拉默法则 又称克莱姆法则 1800年 高斯和威廉 若尔当 建立了人们熟知的高斯 若尔当消去法 线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组 在文献 3 中了解到线性方程 组在线性代数的教学中非常重要 行列式 矩阵 向量组的线性相关性 线性空间的基 变换 坐标变换等 都和线性方程组有着非常密切的联系 矩阵和线性方程组都是高等数学的重要教学内容 矩阵和线性方程组是相辅相成的 在高等数学教学中利用矩阵解线性方程组的方法基本上是所知的固定几种 对于一些线 性方程组的特殊解法很少有进行归类 讲解 本文主要研究用特殊矩阵解一些线性方程 组的方法 通过认真阅读本课题相关文献 如陈祥云的 矩阵的初等变换及其应用 辛奎东的 关于线性方程组新解法的探索 刘红旭的 利用分块矩阵求解非齐次线性 方程组 杨可的 用加边矩阵求解非齐次线性方程组的尝试 等等 分析 总结和归 纳用特殊矩阵解线性方程组的解法 1 1 矩阵和线性方程组的矩阵和线性方程组的概述概述 1 11 1 矩阵的概念矩阵的概念 由个数 排成个横行个竖列的数表 称为mn1 1 ij aimjn mn 111 1 n mmn aa aa 1 行列矩阵或级矩阵 简称矩阵 数位矩阵的元素 矩阵常简单记为或或mnm n ij aAB 或简记为 等 C mn A m n A 1 21 2 线性方程组的概念 线性方程组的一般形式如下 1 11 112211 21 122222 1 122 nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb 1 其中表示个未知量 是方程组的个数 则表示方程组的系数 称为常 12 n x xx nm ij a i b 数项 假如所有的常数项都等于 0 即为 i b 1 11 11221 21 12222 1 122 0 0 0 nn nn mmmnn a xa xa x a xa xa x a xaxax 2 则方程组 1 2 称为齐次线性方程组 否则称为非其次线性方程组 线性方程组 1 1 的解是数域的一个有序数组K 12 n c cc 当未知量分别用代入时 1 1 中的每个方程都成立 12 n x xx 12 n c cc 这里将方程组 1 1 记为矩阵形式 11121 2122 12 n mmmn aaa aa A aaa 1 2 m b b B b 在此处把称为这个线性方程组的系数矩阵 假如再将常数项添加进去 让它称为矩AB 2 阵的最后一列 111211 212222 12 n n mmmnm aaab aaab aaab 称其为此线性方程组的增广矩阵 记为 A 1 31 3 线性方程组解的情况 在求解线性方程组时 首先需要讨论线性方程组解的情况 它可能无解 可能存在 唯一解或者可能存在无穷多组解 在这里 我们讨论线性方程组解的情况 以及它的通 解表示形式 对于一般情况下的线性方程组 1 1 将它的增广矩阵化为行阶梯矩阵 这个阶A 梯形矩阵在适当调动前列的顺序之后可能有两种情形 n 或者 1112111 22222 1 0 00 0000 00000 00000 rn rn rrrnr r ccccd cccd ccd d 1112111 22222 0 00 00000 00000 00000 rn rn rrrnr ccccd cccd ccd 其中 在前一种情况我们判定为原来方程组无解 而在后一 1 0 1 2 0 iir cir d 种情形方程组有解 我们对后面一种情况进行讨论 a 若 则原方程组 1 1 有唯一解 rn b 若且 则原方程组 1 1 有无穷多组解 这无穷多组解可以用一般解来表示 rn 其中自由变量有个 主变量有 个 nr r 3 2 2 矩阵在线性方程组中的应用矩阵在线性方程组中的应用 2 2 1 1 克拉默法则 在这里简单介绍了利用克拉默法则解线性方程组 克拉默法则 如果含有个方程的元线性方程组 nn 2 1 11 112211 21 122222 1 122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 的系数矩阵的行列式 11121 21222 12 det0 n n nnnn aaa aaa A aaa 则方程组 2 2 有唯一解 并且 det 1 2 det j i B xjn A 其中是将系数行列式的第列元 换成常数项后的行det j Bdet Aj 12 jjnj aaa 12 n b bb 列式 下面运用克拉默法则解一个简单的线性方程组 例 2 1 1 解线性方程组 1234 124 234 1234 258 369 225 4760 xxxx xxx xxx xxxx 解 2151 1306 det 270 0212 1476 A 而 4 1 8151 9306 det81 5212 0476 B 2 2851 1906 det108 0512 1076 B 3 2181 1396 det27 0252 1406 B 4 2158 1309 det27 0215 1470 B 所以即原方程组的解为 312 12 detdetdet 3 4 1 1 detdetdet T TT n BBB x xx AAA 3 4 1 1 T 例 2 2 2 当下述方程组有非零解时 取何值时 a 123 123 123 2220 2140 2410 axxx xaxx xxax 解 该齐次方程组有非零解 当且仅当其系数矩阵的行列式 222 det2140 241 a Aa a 所以 222 det214 241 a Aa a 2 24 3 3 6 25 a aaa a 由上可知 当齐次方程组有非零解时 36aa 或 2 22 2 高斯消元法 高斯消元法也是一种常用的解线性方程组的方法 对于含有个方程 个未知量的元线性方程组mnn 11 112211 21 122222 1 122 nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb 首先用初等行变换先把上面方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵 然后写出该阶梯形 矩阵所对应的方程组 逐步回代 即可以求出方程组的解 因为它们为同解方程组 所 5 以也就得到了上面方程组的解 这种方法被称为高斯消元法 例 2 2 1 解方程组 1234 1234 1234 1234 21 5320 342 221 xxxx xxxx xxxx xxxx 解 先写出增广矩阵 再化成阶梯形矩阵 即 AB AB 112111121111211 153200411104111 311420477500666 221110433100222 11211 04111 00666 00000 根据最后一个增广矩阵可以得出其表示的线性方程组为 1234 234 34 21 41 666 xxxx xxx xx 将最后一个方程乘 再将项移至等号的右端 得 1 6 4 x 34 1xx 将其代入第二个方程 解得 2 1 2 x 再将 代入第一个方程组 解得 2 x 3 x 14 1 2 xx 因此 方程组的解为 14 2 34 1 2 1 2 1 xx x xx 其中可以任意取值 4 x 6 2 3 非齐次线性方程组新解法的解题步骤 在文献 7 中介绍了非齐次线性方程组新解法的解题步骤 1 约化阶梯形矩阵 2 写出对应的方程组 3 把上面每个方程中下标最小的变量用其他变量表示 其它缺失的变量相应的补 齐 4 写出方程组解的向量形式 例 2 4 1 解线性方程组 12345 12345 2345 12345 7 3232 22623 543312 xxxxx xxxxx xxxx xxxxx 解 1 首先约化阶梯形矩阵 1111171011516 3211320122623 0122623001000 5433112000000 A b 然后对增广矩阵进行初等变化 化为简化的阶梯型矩阵则 A b 35 r Ar A b 原方程有无穷多个解 2 写出对应的方程组 1245 2345 3 516 22623 0 xxxx xxxx x 3 把上述每个方程中下标最小的变量用其它变量表示 其它缺失的变量补齐 1245 2345 3 44 55 165 23226 0 xxxx xxxx x xx xx 4 写出方程组的解 7 12 1615 2326 000 010 001 xcc 2 4 直接通过矩阵变换及运算求出方程组的解法 下面介绍直接通过矩阵变换及运算求出方程组的解法 首先对增广矩阵进行初等变 换 零拓展矩阵和转解运算 再直接求出齐次方程组的基础解系和非齐次方程组的特解 进而求出非齐次方程组的通解 定义 1 8 对于矩阵增加个维行向量而生成的新矩阵称做的拓展矩阵 若增加 m n Aqn m n A 行向量都是零向量 则生成的新矩阵称为的零拓展矩阵 若增加的行向量组成一个单 m n A 位方阵则生成的新矩阵称为的单位拓展矩阵 m n A 定义 2 8 在矩阵中 若 有 则称为广义上三角矩阵 m n Aji 0 ij a m n A 定义 3 8 设是广义三角矩阵 在中 若 而 构造成一个新矩阵 m n A m n A 0 kk a 0 0 i k a 当 有 当 令 则定义 m nij m n Bb 0 ii ijij ba 0 i i 0 0 i k b 000 i ji jj kkj baaajk 为归零运算 或称转解运算 生成的矩阵称为归零矩阵 或转解矩阵 m m B 定理 1 8 设实数域上非齐次线性方程组 1 1m nnm AXB 对进行零拓展 使其成为 对进行初等变换 R AR Arn 1 m nm AB 1n n C 1n n C 使其成为对角线上的元素只取 1 和 0 的广义上三角矩阵 若而时 ij c 1n n C 1 ik c jk 则进行行行交换使得所在的行变为中的第行 令0 ij c 1 ik c 1n n C k 则矩阵中元素只取 0 或 1 值 若当说对应的第 1 1 1 0 nnn nn nn PCE 1n n P ii p i i k k p 列为零向量 则所有说对应的第列向量就构成 i k 1 2 ir 1 jj k k p i k 1 2 jnr 方程的基础解系 而第列向量则是方程组的特解 1 0 m nn AX 1n 1 1m nnm AXB 定理 2 8 对于方程组 2 1 说对应的增广矩阵进行拓展和初等变换 得到满足定理 1 8 的 当时 而时 做转解运算生成转解矩阵 1 1 1 1 0 n nn nn nn nn CPCE 0 ii p 0 ki p 使得当时 有 则所对应的列向量的全体即为 1m m P 0 ii p 0 ki p 1 2 kn 1 jj p 方程组的基础解系 矩阵中的第列向量乃是的特解 1 0 m nn AX 1n n P 1n 1 1m nnm AXB 经过若干次转解运算存在满足定理 1 条件的转解矩阵 1n n P 1n n P 例 2 5 1 求解方程组 134 1234 134 1234 226 230 3618 491336 xxx xxxx xxx xxxx 解 对增广矩阵进行变换 4 4 1 102261022610226 21310011512011512 3016180070000700 419133601151200000 C 4 4 14 44 14 4 1 00226 001512 0 00800 00010 CEP 因此由定理 1 知方程组的解为 1234 2 5 0 16 12 0 0Xx x x xk 2 5 利用追赶法解线性方程组 本小节的解法是先把线性方程组的系数矩阵分解成为下三角阵和上三角阵的乘积 A 然后运用追赶法来求解线性方程组 为了把系数矩阵分解为一个下三角阵和一个上三角 阵的乘积 则需要运用LU分解法 也称为三角形分解法 2 5 1LU分解 9 令的前n 1 个顺序主子矩阵非奇异 那么就存在单位下三角阵 以及上三角阵 ALU 使得 ALU 并且这样的分解是唯一的 令矩阵有LU分解 即A 9 1112111121 2121222222 1 112 1 10 0 1 nn nn nn nnnnnnn aaauuu laaauu llaaau 将两端的第一行元素进行对比可以得出 11 1 2 kk uakn 将两端的第一列元素进行对比可以得出 1 1 11 2 3 k k a lkn u 将两端的第二行其余元素进行对比可以得出 2221 1 2 3 kkk ual ukn 将两端的第二列其余元素进行对比可以得出 21 12 2 22 2 3 kk k al u lkn u 则对于一般的用递推关系得出2 3 in 2 1 1 1 1 1 1 2 i ikikijik j i kikikjjiii j ual uki in lal uukiin 2 即可求出和 从而实现的三角分解 这一过程就是矩阵的LU分解 ULAA 2 5 2 追赶法 9 线性方程组的系数矩阵 先通过公式 2 2 进行LU分解 接着利用追赶法解出该线A 性方程组 是一个非常方便快捷的方法 追过程和赶过程是追赶法的关键所在 记 1111 22222 2 11 1 1 1 nn n nnn efrf defrf l ALU ff l der a 分解LU 11 re 对计算2 in 10 1 1 iii iiii ld r relf b 追过程 11 yb 对于计算2 in 1iiii ybly c 赶过程 nnn xyr 对于计算1 1 in 1 iiiii xyfxr 而对于线性方程组 1 1 中 可得该线性方程组的 Jacobi 迭代公式如下 1 111221 11 1 2221 12332 22 1 1 122 11 1 1 1 mmm nn mmmm nn mmmm nnnnn nn nn xba xa x a xba xa xa x a xba xa xax a 简记成 1 1 11 1 1 2 im mmm iiijjijj jj i ii xba xa xi a 下面我们通过具体的例子来了解用追赶法解线性方程组的解题过程 例 2 5 1 用追赶法解线性方程组 12 123 234 34 23 233 37410 252 xx xxx xxx xx 解 系数矩阵利用公式 2 3 对进行LU分解 2100 1230 0374 0025 A A 11 210021002100 2100 33111 23030301230 22222 0374 037402740214 0025 0025002500213 A 所以 21001000 31 100030 22 02100014 002100013 LU 追过程 解即 LyB 11 22 33 44 31000 3 91 1003 22 10 02101 2 00210 yy yy y yy yy 赶过程 解即 Uxy 11 22 33 44 21003 2 39 0301 22 1 00141 0 000130 xx xx x xx xx 即得线性方程组的解 2 6 利用分块矩阵求解非齐次线性方程组 通过文献 10 可以得知 假如是一个阶非奇异阵 把进An 1 2 ij Aai jn A 行分块 其中分别是和矩阵 如果 1112 2122 AA A AA 1112 2122 AA AA kk km m k m m 是非奇异方阵 则一定可以找到一个上三角分块 令 22 A 1 1222 0 k m IA A M I 12 其中 并且是非奇异阵 2122 0G MA AA 1 11122221 GAA A A G 根据上面的结论 得出用来求解个方程的非其次线性方程组是比较方便的 可以依n 以下过程求解 对于非齐次线性方程组 2 11 112211 21 122222 1 122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 3 把 2 3 写成矩阵方程为 AXB 此处为系数矩阵 假如是非奇异阵 即 那么方程组 2 A 11 22 nn xb xb XB xb A0A 3 有唯一解 把阶阵分块 并注意为非奇异阶阵 同时把和进行对应A 1112 2122 AA A AA 22 AXB 的分块 可以使 的行数等于的行数 的行数等于 11 22 XB XB XB 1 B 1112 AA 2 B 的行数 那么矩阵方程可以写成 2122 AAAXB 111211 212222 AAXB AAXB 把上面式子的两边分别左乘上三角分块矩阵 即可以得到 1 1222 0 k m IA A M I 2 1 1 11222 21222 2 0 GXBA A AAXB 4 其中 1 11122221 0GAA A AG 把方程 2 4 分解成为下面两个矩阵方程 1 111222 2112222 GXBA A A XA XB 2 5 根据初等变换的性质我们可以知道 2 4 和 2 5 是同解方程 13 由于 所以存在 且 再把代入中 0G 1 G 11 1112222 XGBA A B 1 X 2112222 A XA XB 得到 据此 得出 1 22222112222211 A XBA XXABA X 1 2 X X X 例 2 6 1 解非齐次线性方程组 12345 12345 12345 12345 12345 3422 2240 2326 3 2235 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 解 将方程写成矩阵方程并进行分块 有 这里 111211 212222 AAXB AAXB 11 31 1 1 A 12 142 224 A 21 23 11 12 A 22 311 111 231 A 先求出的逆矩阵 计算 22 A 1 22 121 777 312 14147 5111 14147 A 1 1222 12119 777 9172 777 A A 方程左乘 得到 1 1222 0 k m IA A M I 1 2 3 4 5 2346 0000 77 40115 1000 77 233116 111113 122315 x x x x x 解矩阵方程 解得 1 2 2347 0 77 40115 1 77 x x 1 2 2 5 x x 2211 62313 2 3116 5 5123 BA X 14 故 3 1 4222211 5 121 4 777 13 3123 6 141472 3 15111 214147 x xABA X x 所以所求方程的解为 1 2 3 4 5 2 5 4 3 2 1 2 x x x x x 2 7 用加边矩阵求解非齐次线性方程组 在文献 11 中主要介绍利用加边矩阵的初等变换 把非其次线性方程组解的判定和 解的结构融于一体 在方程组有解的基础上 直接找出唯一解或者导出基础解系和原方 程的一个特解 个方程个未知数的非其次线性方程组的一般形式是 mn 2 6 11 112211 21 122222 1 122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 其中至少有一个不为 12 m b bb 0 方程组 2 6 的向量形式为 2 7 1 122 nn x ax ax a 式子中是维向量 2 7 式子说明假如有一组个数满足 12 n a aa mn 12 n k kk 1 122 nn k ak ak a 那么维向量即为方程组 2 6 的一个解向量 令方程组 2 6 的系数矩n 12 n k kk 阵为 增广矩阵为 作的转置矩阵 并将的每行顺序记为 据AAA T A T A 12 n a aa 此作出的加边矩阵 T AD 15 112111 122222 12 12 m m nnmnn m aaaa aaaa D aaaa bbb 矩阵中即为 2 7 中的 对矩阵用初等行变换求秩 这里D 12n a aa 12n a aa D 对所在的行进行初等变换时有如下限制 a 所在的行不与其他行交换 b 其余任意行不作加上或者减去所在行的倍数的初等变换 c 所在行可以作加上或者减去其余行的倍数的初等变换 即在整个变换过程中 所在的行一直保留在矩阵的最后一行 假设原方程 2 6 系数矩阵的秩 对于用初等变换求出秩 最后化出下列矩阵 0r D 1121111 1 22222 1 1 1 1 1 0 0 00 00 00 01 2 n rmkk k n rmkk k n rrmrrkk k n rkk k n mkk k n jj j k ii ccccs a cccs a ccs a i sa s a s a cir 其中0rn 1121111 1 22222 1 1 1 1 1 1 0 0 00 00 0 01 n rmkk k n rmkk k n rrmrrkk k n rkk k n mkk k n rmjj j k ii ccccs a cccs a ccs a ii sa s a NNs a ci 其中 1 2 rm rNN 至少有一个不为0 说明 说明 根据线性方程组解 i r Ar Ar ii 1r Ar r Arr Ar A 的判定定理 中有解 中无解 我们