Riemann积分和Lebesgue积分性质的比较.doc

Riemann积分和Lebesgue积分性质的比较第30卷第3期2010年3月湖北广播电视大掌掌报JournofHuBeiTVUniversityVo1.30,No.3March.2010.159160Riemann积分和Lebesgue积分性质的比较掾秋岔(肇庆科技职业技术学院,广东肇庆526100)内容提要本文主要对Riemann积分和Lebesgue积分进行归纳总结,并着重比较了这两种积分性质上的异同,以及它们在极限,微分等方面的应用.关键词Riemann积分:Lebesgue积分;口积函数中图分类号O15文献标识码A文章编号1008.7427(2010)03.0159.02Riemann积分是通过特殊和式(即Riemann和)取极限来实现,但是,由于Riemann积分存在着很大的局限性,引进了Lebesgue积分,Lebesgue积分是Riemann积分的推广.本文归纳总结了这两种积分,并着重比较了这两种积分在性质上的异同,以及它们在极限,微分等方面的应用.1.预备知识定义1.1:(Riemann积分概念)请读者参考文献1.定义1.2:(Lebesgue积分概念)请读者参考文献】.定义1.4124:设fix)的定义域EcR”可分为有限个互不相交的可测集巨,巨,E:rJE,使在每个历上都等于某一常数Ci,则称J)i=I为EJ:的简单函数.特别地,当每个目是长方体时,称斯)为E上的阶梯函数定义1.521:(下方图形)设fix)是ER上的非负函数,则”中的点集(,z)IE,0z<_厂(),称fix)为在E上的下方图形,记为G(E.定义1.6:(1)设X为一非空集,F为X上的代数.称二元组合(咒F)为可测空间.(2)设/t为可测空间(,)上的测度.称三元组合(X.F.)为测度空间为了研究Riemann积分的一些性质,我们给出了n维Euclid空间R”中常义Riemann积分的种等价定义,它通过阶梯函数积分取极限来实现.具体说来,定义如下:定义17:设PcR是任一闭长方体,P,:PR是任一函数,如果VS>O,(P)(P)表示P上阶梯函数全体的集合,使得(),()(),P,f()一()<P则称,在P上Riemann可积.2.两种积分的?陛质比较Riemann积分和Lebesgue积分这两种积分除了线性关系,不等式性质外还有其他一些重要性质,下面由本人归纳并总结这两种积分在性质上的异阔.2.1绝对可积性性质2.1.1it:设fix)在,纠上R可积,则)I在,上也R可积,且l,()Il,()()注意:这个性质的逆命题一般不成立.例2.1.1,fl,是有理数1一l,x是无理数显然,)在f0,1】上小是R可积(类似于狄利克雷函数);但l()I;1,lr()j在O,l】上R可积.性质2.1.2:设几)在可测集E上可测,则)在E上L可积Ir()j在E上L可积,且有f,()dJl,().证明:.,()在可测集E上可测,则f(x)l在E上也可测,又)在E上L可积【,+)dr<+.且【_厂()dx<+o.,()出+,一()出<+oo(,()一f()Jf(x)ldx<+.收稿日期2009.12-20.?.I()I在E上也L可积.此夕,-If(x),()I,()I(E),.?.一J厂()=(-It),)dxJ厂)上式即为Ii:(x)dxlJ厂)2.2区间可加性22.1区间的有限可加性性质2.2.1.1:设在【口,纠上R可积,则对Vcfn,b1,)在【n,c与c,上都R可积,且If(x)dx=If(x)dx+If(x)dx性质2.2.1.2121:设_,()在可测集E上L可积,则r)在E上任一可测子集A上也L可积,如E=AUB4与B皆可测,且AnB=,则,()出:,()出+工,()?注意:在性质2.2.1.i和性质2.2.1.2中只假定等式右边两个积分存在,就可以推出左边积分也存在.2.2.2区间的可列可加性由性质2.2.i.1可知R积分对区间有有限可加性,但不一定有可列可加性,即如果口l,口2,】,【口,】,是一列除端点外两两不相交的区间,且U“,】:,】,由)在,】,an,b.,-A2R可积,不一定推出曲在d,剀上R可积._k设m):x.,()=Io,x=0显然)在区间,121123,-?上皆咖积,另外把点0和1看成特殊区间,f(x)在R上亦可积,上述区间是一列除端点外两两不相交的区间,且它们所成之并集为O,1,但m)在【O,1上显然不R可积.而在勒贝格意义下,有以下定理:定理2.2.2.1.:(积分区间的可列可加性)设m)在可测集E上L可积,且E:IlE,其中各日为互不相交的可测集,则出:反过来如果在每爪可测集耻可积,E:0巨,那么是否可以得出如.在上可积.我们说上述结论是成立的.定理?:若在每个可测集目上L可积E:0则)在E上也是L可积.证明)=U?.U?.,()在每个可测集Ei上L可积.?.()在E上L可积,又?.?()_厂()_o.,E).,()在吐也L可积.定弹证毕.160湖北广播电视大学学报第3期2.3逼近性质在Riemann积分中,有以下定理:定理2.3.1【:a,b】P是任一Riemann可积函数,则对于任意>0,存在连续函数g:d,R,使得,()一g(x)<证明:,()R(a,剀)(R(,纠)表示【n,bJ2(JR可积函数),则根据定义1.7,对g>0,j妒,(口,纠),(,6】)是表示口,上阶梯函数的全体).使得()s,()(),Vx,纠且c()一)出<要对于阶梯函数(),根据定义1.4,我们可以得出():ci,(口f,af+1),i=0,1,n一1,illin(ai+l-aimaxfq+广qIrnjng(x)=c;(a,a.,-8-1,f:0,1,.,n一2十(n一鲁:?,一1;(an-l,】则函数g:,6】_R是连续的,且rf,()一g(flS()一)d4+f(一)争i=1=号+Ici=1+(1).M,+号)+28Un-12n<三+2&/三+2.M=224M定理证毕.由定理2.3.1,可得出下列结论:推论2.3.1若,R(,剀),则存在连续函数列g(),nN,使得f,()=lira()dr推论2.3.2:若-厂R(【d,纠),【,】c(n,6),则lira:f(z+|lz)一,()=0证明:由f(日,61),及定理2.3.1可知,Ve>0,存在连续函数g:【n,b-&的e>0,存在L)中的简单函数g,使得0f-gld<定理2.3.3:设E是上的一个Lebesgue可测集,L(目,(L(表示E的L可积函数的全体),则对于任意的e>0,存在上具有紧支集的连续函数g,使得fIrg1<(注:称定义在上的实值函数,是具有紧支集的,若存在一个有界集DcR,使得当xEDc,():0,其中D=RD)推论2.3?3:若,L(E),JJ!im【l,+f)一f(x)ldx=02,4中值定理在Riemann积分中,有以下中值定理:定理2.4.1fl1:(第一中值定理)若,在【,上连续,则至少存在【,6】,使得f(x)dx=,()(6一口)定理2.4.1l1:(第二中值定理)设,-在,纠上可积(i)若函数g在,纠上递减,且占(o,则存在,纠,使锝If(x)g(x)ax=g()If(x)dx(ii)若函数g在【,纠上递增,且g()o,则存在,剀,使得c,(抛(圳:g(6)e,()dx推论2.4.2川:设函数,在上可积,若g为单调函数,则存在,6】,使得f.厂()g(x)dx:g(口)f,()+g(6)f,)ax在Lebesgue积分中,我们由非负可测函数积分的几何意义得到了一般可测函数积分的几何意义.定理2.4.3_2】:(非负可测函数积分的几何意义)设f(x,为可测集EcR上的非负函数,则当,(在E上可测时,Lf(x)dx=mG(E,)推论2.3.3f2】:设r()为EcR”上的可积函数,则Lf(x)dx=mG(E,f)一mG(E,f一)2.5可积范围我们已经知道函数Riemann可积的充要条件是函数的不连续点的全体成零测集,函数的连续点的全体所构成的集合必须是稠密集,粗略地说,黎曼积分理论是针对连续函数或”基本上”连续的函数而建立的而勒贝格积分理论较之黎曼积分理论有着明显的优点,它将可积函数类拓广为有界可测函数,即在勒贝格意义下,有定理2,5.1f21:设f(x)是可测集EcR(mE<oo)上的有界函数,则厂()在E上L可积的充要条件是f(x)在E上可测.下面的定理则反映了这两种积分之间的一种必然联系:定理2.5.2:若,()在【n,上R可积,则它必同时L可积,且有相同的积分值()f_厂)dr:()f.f(x)dx但是定理2.5.2的逆是不成立的,例如在【0,l】上的狄利克雷函数,它在黎曼意义下是不可积的,因为它个连续点也没有,但它在【0,1】上是简单函数,因此在勒贝格意义下是可积的.2.6收敛条件在黎曼积分意义下,函数列满足一致收敛的条件,才能保证极限与积分交换次序,但是这一条件确实是过分强了.例如():一(011),n=l,2,.当n_o.时,()收敛但非一致收敛于=但此时仍有(尺)f()ax=o=(R)liraf,(x)出这就告诉我们,黎曼积分收敛定理中的一致收敛只是极限运算与积分运算互换的充分条件,而非必要条件.在勒贝格意义下,不必是一致收敛也能保证极限运算与积分互换.定理2.6.1L2J:(勒贝格控制收敛定理)设(1).()是可测集E上的可测函数列;(2l()lF().P于En=l,2,且F()在E上L可积;(3)()_厂()(依测度收敛)则F()在E上L可积,.1tlim【(力出=I?f(x)dx利用定理2,5.1,2.5.2,2.6.1能对黎曼积分收敛定理作一些适当的改进,改进后的定理是:定理2.62:设()(,2=1,2,),(及F(z)在,上R可积且1,H()处处收敛于l,();L21()IF()(下接92页)湖北广播电视大学学报第3期了坚实的基础的话,那么缺乏专家参与显然是目前国内白鲸研究面临的一个重要问题.事实上,我国并不缺少麦学专家和青年才俊.比如南京大学的杨金才教授便是对麦尔维尔研究成果突出的专家.杨金才教授不仅对麦尔维尔的小说作出了多方位多角度的精辟诠释,而且他的麦尔维尔与帝国主义更是我国第一部研究麦氏作品的专着,这部专着从文化和宏观政治学的角度对麦尔维尔的波利尼西亚三部曲泰比,奥穆和玛迪进行了细致的研究.该学术成果不仅深化了我国对麦尔维尔作品的研究,而且丰富了国际麦氏研究成果,是我国对麦氏研究作出的重要贡献.此外还有韩敏中和林元富等一批学者也为麦尔维尔的研究贡献了高质量的论文.仅靠上述专家学者对麦尔维尔作品的关注显然是不够的,我国的麦氏研究期待更多专家学者的参与.纵观国内近三十年的麦尔维尔研究成果,我们欣喜地看到国内学者做了许多非常有意义的工作.我国的白鲸研究在数量上呈现良好的递增态势说明越来越多的学者和研究人员开始将关注的目光投射这一美国甚至世界文学史上的奇葩.伴随着数量的增加,研究深度和广度也有了相应的大幅度的提高.当然这并非说明我国对麦氏的研究已经达到一个相当高的水平,事实上,我国的麦氏研究尤其是其经典巨着白鲸的研究依然任重道远.研究过程中的重复,研究向纵深方向推进,研究中将中国背景和中国关怀作为阅读出发点和指归及专家的积极参与和指引都是我国麦氏研究面临的问题.而这些问题的解决都将会对我国与国际麦尔维尔研究的对话与合作起到积极的推动作用,同时对于我国的美国文艺复兴时期的文学研究都有积极的作用.参考文献1劳伦斯.劳伦斯论美国名着M】.黑马译.上海:上海三联出书店,2006.2李伟荣.麦尔维尔在中国:译介和研究J】.企业家天地,2006,11.3周珏良.河,海,园红楼梦,莫比?迪克,哈克贝里?芬的比较研究fJ.文艺理论研究,1983,4.【4】刘学金.海上劳工鹿死谁手:比较分析自鲸和老人与海J.延边大学学报(社会科学版),1986,3.5】闻涛.人与自然的交响曲白鲸和鱼王的比较J】.河西学院学报,1988,2.6李赋康.略论美国小说的象征传统兼析红宇和白鲸的象征笔法J.山东外语教学,1989,1.7李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