（试题 试卷 真题）【解析版】北京市顺义区2013年中考数学一模试卷

北京市顺义区2013年中考数学一模试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1（4分）（2013顺义区一模）3的倒数的相反数是（）ABC3D3考点：倒数；相反数专题：计算题分析：利用相反数，倒数的概念及性质解题解答：解：3的倒数为，的相反数是故选：B点评：此题主要考查了相反数，倒数的概念及性质相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，熟练应用定义是解决问题的关键2（4分）（2013顺义区一模）据2013年4月1日CCTV10讲述栏目报道，2012年7月11日，一位26岁的北京小伙樊蒙，推着坐在轮椅上的母亲，开始从北京到西双版纳的徒步旅行，圆了母亲的旅游梦，历时93天，行程3 359公里请把3 359用科学记数法表示应为（）A33.59102B3.359104C3.359103D33.59104考点：科学记数法表示较大的数.分析：科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数解答：解：3 359=3.359103，故选：C点评：此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值3（4分）（2013顺义区一模）下面四个几何体中，俯视图为四边形的是（）ABCD考点：简单几何体的三视图.分析：俯视图是指从物体上面看，所得到的图形解答：解：A、圆柱的俯视图是圆；B、三棱锥的俯视图是三角形；C、球的俯视图是圆；D、正方体的俯视图是四边形故选D点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形4（4分）（2013顺义区一模）我区某一周的最高气温统计如下表：最高气温（）13151718天 数1123则这组数据的中位数与众数分别是（）A17，17B17，18C18，17D18，18考点：众数；中位数.分析：根据中位数和众数的概念求解把数据按从小到大排列，第4个数为中位数；18出现的次最多，为众数解答：解：18出现了3次，次数最多，故众数为28；共7个数据，从小到大排列为13，15，17，17，18，18，18，第4个数为17，故中位数为17故选B点评：本题为统计题，考查了众数与中位数的意义中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数为数据中出现次数最多的数5（4分）（2013顺义区一模）下列计算中正确的是（）Aa2+a3=2a5Ba2a3=a5Ca2a3=a6Da2+a3=a5考点：同底数幂的乘法；合并同类项.分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加的性质，合并同类项的法则对各选项分析判断后利用排除法求解解答：解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、a2a3=a5，正确；C、应为a2a3=a5，故本选项错误；D、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误故选B点评：本题主要考查同底数幂的乘法的性质；合并同类项的法则，不是同类项的不能合并6（4分）（2013顺义区一模）如图，ABCD，点E在BC上，BED=68，D=38，则B的度数为（）A30B34C38D68考点：平行线的性质.分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出C，再根据两直线平行，内错角相等列式求解即可解答：解：BED=68，D=38，C=BEDD=6838=30，ABCD，B=C=30故选A点评：本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键7（4分）（2013顺义区一模）若x，y为实数，且，则的值为（）A1B1C2D2考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；有理数的乘方.分析：根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可解答：解：根据题意得：解得：则=（1） 2010=1故选A点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为08（4分）（2013顺义区一模）如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（）ABCD考点：动点问题的函数图象.专题：几何图形问题；压轴题分析：按等量关系“阴影面积=以AB为直径的半圆面积以AP为直径的半圆面积以PB为直径的半圆面积”列出函数关系式，然后再判断函数图象解答：解：设P点运动速度为v（常量），AB=a（常量），则AP=vt，PB=avt；则阴影面积S=+t由函数关系式可以看出，D的函数图象符合题意故选D点评：本题考查的是面积随动点匀速运动时变化的关系，关键是列出函数关系式，再与函数图象对照二、填空题（本题共16分，每小题4分）9（4分）（2013顺义区一模）分解因式：3ab212ab+12a=3a（b2）2考点：提公因式法与公式法的综合运用.专题：计算题分析：先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解完全平方公式：a22ab+b2=（ab）2解答：解：原式=3a（b24b+4）=3a（b2）2故答案为3a（b2）2点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底10（4分）（2013顺义区一模）一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为考点：概率公式.专题：应用题分析：让白球的个数除以球的总数即为所求的概率解答：解：因为个袋子中装有6个黑球3个白球，共9个球，所以随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=11（4分）（2013顺义区一模）如图，扇形的半径为6，圆心角为120，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为2考点：圆锥的计算.专题：压轴题分析：易得扇形的弧长，除以2即为圆锥的底面半径解答：解：扇形的弧长=4，圆锥的底面半径为42=2故答案为：2点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长12（4分）（2013顺义区一模）如图，边长为1的菱形ABCD中，DAB=60度连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使D1AC=60；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使D2AC1=60；，按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n1考点：菱形的性质.专题：压轴题；规律型分析：根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AC1，AC2的长，从而可发现规律根据规律不难求得第n个菱形的边长解答：解：连接DB，四边形ABCD是菱形，AD=ABACDB，DAB=60，ADB是等边三角形，DB=AD=1，BM=，AM=，AC=，同理可得AC1=AC=（）2，AC2=AC1=3=（）3，按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n1故答案为（）n1点评：此题主要考查菱形的性质以及学生探索规律的能力三、解答题（本题共30分，每小题5分）13（5分）（2013顺义区一模）计算：+4sin60（3.14）0考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值.分析：分别进行负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式的化简等运算，然后按照实数的运算法则计算即可解答：解：原式=3+412=2点评：本题考查了实数的运算，涉及了负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式的化简等知识，属于基础题14（5分）（2013顺义区一模）解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集.分析：本题可根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集若没有交点，则不等式无解解答：解：，解不等式，得x3，（2分）解不等式，得x1，（14分）把不等式的解集在数轴上表示出来，如图所示（5分）不等式组的解集是1x3（7分）点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断15（5分）（2013顺义区一模）已知：如图，CA平分BCD，点E在AC上，BC=EC，AC=DC求证：A=D考点：全等三角形的判定与性质.专题：证明题分析：首先根据CA平分BCD，得ACB=DCE，又知BC=EC，AC=DC，即可证明ABCDEC，结论即可证明解答：证明：CA平分BCD，ACB=DCE，在ABC和DEC中，ABCDEC（SAS），A=D点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，此题难度一般16（5分）（2013顺义区一模）已知a2+3a2=0，求代数式的值考点：分式的化简求值.分析：首先把括号内的分式进行通分，进行加法运算，然后把除法转化成乘法，进行乘法运算，然后把已知的式子变形为a2+3a=2，代入化简以后的式子即可求解解答：解：原式=【+】=，a2+3a2=0a2+3a=2原式=点评：分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值17（5分）（2013顺义区一模）如图，已知A （4，a），B （2，4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的交点（1）求反比例函数和一次函数的解祈式；（2）求A0B的面积考点：反比例函数与一次函数的交点问题.专题：几何图形问题；压轴题；数形结合分析：（1）A （4，a），B （2，4）两点在反比例函数y=的图象上，则由m=xy，得4a=（2）（4）=m，可求a、m的值，再将A、B两点坐标代入y=kx+b中求k、b的值即可；（2）设直线AB交y轴于C点，由直线AB的解析式求C点坐标，根据SAOB=SAOC+SBOC求面积解答：解：（1）将A （4，a），B （2，4）两点坐标代入y=中，得4a=（2）（4）=m，解得a=2，m=8，将A（4，2），B（2，4）代入y=kx+b中，得，解得，反比例函数解析式为y=，一次函数的解祈式为y=x2；（2）设直线AB交y轴于C点，由直线AB的解析式y=x2得C（0，2），SAOB=SAOC+SBOC=24+22=6点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式运用数形结合的方法求图形的面积，做此类题要根据图形的特点，将所求三角形的面积问题划分为两个三角形求解18（5分）（2013顺义区一模）某商店销售一种旅游纪念品，3月份的营业额为2000元，4月份该商店对这种纪念品打8折销售，结果销售量增加30件，营业额增加800元，求该种纪念品3月份每件的销售价格是多少？考点：分式方程的应用.分析：等量关系为：3月份营业数量=4月份营业数量+30，进而求出纪念品3月份每件的销售价格解答：解：设该种纪念品3月份每件的销售价格为x元，根据题意，列方程得=30，解之得：x=50 经检验x=50是所得方程的解答：该种纪念品3月份每件的销售价格是50元 解法二：设3月份销售这种纪念品x件，则4月份销售（x+30）件，根据题意，列方程得=，解得：x=40，经检验x=40是所得方程的解答：该种纪念品3月份每件的销售价格是=50（元）点评：此题考查了分式方程的应用，找到相应的关系式是解决问题的关键四、解答题（本题共20分，每小题5分）19（5分）（2013顺义区一模）已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，BDDC，ABD=45，ACD=30，AD=CD=2，求AC和BD的长考点：解直角三角形.分析：通过解直角三角形求出DE长，求出EVC，即可求出AC，过点A作AMBD，垂足为M，求出AM，ME，即可求出BD解答：解：BDDC，BDC=90，ACD=30，AD=CD=2，DEC=60，DAC=ACD=30，DE=CDtan30=2=2，EC=2DE=4，ADE=30，AE=DE=2，AC=AE+EC=2+4=6，过点A作AMBD，垂足为M，AEB=DEC=60，AM=AEsin60=2=，ME=AEcos60=2=1，ABD=45，BM=AM=，BBM+ME+DE=+1+2=3+点评：本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解直角三角形的应用，主要考查学生的计算能力20（5分）（2013顺义区一模）如图，已知ABC，以AC为直径的O交AB于点D，点E为的中点，连结CE交AB于点F，且BF=BC（1）判断直线BC与O的位置关系，并证明你的结论；（2）若O的半径为2，cosB=，求CE的长考点：切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质.分析：（1）连接AE，求出EAD+AFE=90，推出BCE=BFC，EAD=ACE，求出BCE+ACE=90，根据切线的判定推出即可（2）根据AC=4，cosB=求出BC=3，AB=5，BF=3，AF=2，根据EAD=ACE，E=E证AEFCEA，推出EC=2EA，设EA=x，EC=2x，由勾股定理得出x2+4x2=16，求出即可解答：（1）BC与O相切证明：连接AE，AC是O的直径E=90，EAD+AFE=90，BF=BC，BCE=BFC，E为弧AD中点，EAD=ACE，BCE+ACE=90，ACBC，AC为直径，NC是O的切线（2）O的半为2AC=4，cosB=，BC=3，AB=5，BF=3，AF=53=2，EAD=ACE，E=E，AEFCEA，=，EC=2EA，设EA=x，EC=2x，由勾股定理得：x2+4x2=16，x=（负数舍去），即CE=点评：本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力21（5分）（2013顺义区一模）某课外实践小组的同学们为了解2012年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理，月均用水量x（t）频数（户）频率0x56 0.125x10m 0.2410x1516 0.3215x2010 0.2020x254n25x302 0.04请解答以下问题：（1）表中m=12，n=0.08；（2）把频数分布直方图补充完整；（3）求该小区用水量不超过15t的家庭占被调查家庭总数的百分比；（4）若该小区有1500户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20t的家庭大约有多少户？考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表.分析：（1）根据月用电量是0x5的户数是6，对应的频率是0.12，求出调查的总户数，然后利用总户数乘以频率就是频数，频数除以总数就是频率，即可得出答案；（2）根据（1）求出的频数，即可补全统计图；（3）把该小区用水量不超过15t的家庭的频率加起来，就可得到用水量不超过15t的家庭占被调查家庭总数的百分比；（4）把该小区月均用水量超过20t的家庭的频率加起来，再乘以1500户，就可得到该小区月均用水量超过20t的家庭大约的户数解答：解：（1）调查的家庭总数是：60.12=50（户），则月用水量5x10的频数是：m=500.24=12（户），月用水量20x25的频率n=0.08；故答案为：12，0.08（2）补全的图形如下图（3）该小区用水量不超过15t的家庭的频率之和是0.12+0.24+0.32=0.68，即月均用水量不超过15t的家庭占被调查的家庭总数的68%（4）根据题意得：（0.08+0.04）1500=180（户），答：该小区月均用水量超过20t的家庭大约有180户点评：本题考查了频率分布直方图，用样本估计总体，解题的关键是读懂频数分布直方图和利用统计图获取有关信息，在解题时必须认真观察、分析、研究统计图22（5分）（2013顺义区一模）如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则BME=CNE（不需证明）小明的思路是：在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE，HF，根据三角形中位线定理和平行线性质，可证得BME=CNE问题：如图2，在ABC中，ACAB，D点在AC上，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若EFC=60，连结GD，判断AGD的形状并证明考点：三角形中位线定理；等边三角形的判定与性质.分析：连结BD，取BD的中点H，连结HF、HE，则HF是ABD的中位线，HE是BDC的中位线，从而判断HE=HF，从而得出1=2，判断AGF为等边三角形，求出FGD=FDG=30后即可得出结论解答：解：判断AGD是直角三角形证明：如图连结BD，取BD的中点H，连结HF、HE，F是AD的中点，HFAB，HF=AB，1=3，同理，HECD，HE=CD，2=EFC，AB=CD，HF=HE，1=2，EFC=60，3=EFC=AFG=60，AGF为等边三角形，AF=FD，GF=FD，FGD=FDG=30，AGD=90，即AGD是直角三角形点评：本题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23（7分）（2013顺义区一模）已知关于x的方程mx2（3m+2）x+2m+2=0（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根（2）若关于x的二次函数y=mx2（3m+2）x+2m+2的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数，且m为整数，求抛物线的解析式考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式.分析：（1）因为方程的类型不确定，所以要分两种情况讨论：当m=0时和m0时分别证明即可；（2）令y=0，则mx2（3m+2）x+2m+2=0，则可求出方程的解，即与x轴交点的横坐标，再根据已知条件即可求出m的值，进而求出抛物线的解析式解答：（1）证明：当m=0时，方程为2x+2=0，所以x=1，方程有实数根；当m0时，=（3m+2）24m（2m+2）=9m2+12m+48m28m=m2+4m+4=（m+2）20，所以，方程有实数根综所述，无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）解：令y=0，则mx2（3m+2）x+2m+2=0，解关于x的一元二次方程，得x1=1，x2=2+，二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数，且m为整数，所以m只能取1，2，所以抛物线的解析式为y=x25x+4或y=2x28x+6点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，熟悉根的判别式及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键24（7分）（2013顺义区一模）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F另一边交CB的延长线于点G（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立请说明理由：（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求的值考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质.专题：压轴题分析：（1）由GEB+BEF=90，DEF+BEF=90，可得DEF=GEB，又由正方形的性质，可利用ASA证得RtFEDRtGEB，则问题得证；（2）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、P，然后利用ASA证得RtFEIRtGEH，则问题得证；（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EMAB，ENAD，则可证得CENCAD，CEMCAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得GMEFNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案解答：（1）证明：GEB+BEF=90，DEF+BEF=90，DEF=GEB，在FED和GEB中，RtFEDRtGEB，EF=EG；（2）解：成立证明：如图，过点E作EHBC于H，过点E作EPCD于P，四边形ABCD为正方形，CE平分BCD，又EHBC，EPCD，EH=EP，四边形EHCP是正方形，HEP=90，GEH+HEF=90，PEF+HEF=90，PEF=GEH，RtFEPRtGEH，EF=EG；（3）解：如图，过点E作EMBC于M，过点E作ENCD于N，垂足分别为M、N，则MEN=90，EMAB，ENADCENCAD，CEMCAB，即=，NEF+FEM=GEM+FEM=90，GEM=FEN，GME=FNE=90，GMEFNE，点评：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质此题综合性较强，注意数形结合思想的应用25（8分）（2013顺义区一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点A，且经过B（1，0），C（5，8）两点，点D是抛物线顶点，E是对称轴与直线AC