数理方程.doc

离散化数值分析法在CFD数值模拟计算中的应用辛亚男 2011200177摘要：利用数学方法进行化工优化设计以及求解实际问题有着非常重要的意义，模型建立的好坏对求解问题的难易程度以及真实程度在一定程度上起到了决定性的作用。成为化工计算过程中的关键性环节。关键字：离散化 求解方法 中心差分 上风方案 幂函数 混合方案1.数学方法在化工中的重要作用数学是科学的基础，是现代科学和工程技术的核心。虽然数学研究和数学教育的兴旺发达，并不会自动地带来先进的科学技术和强大的化学工业，但后者要先进和强大，则离不开数学的繁荣与发展。数学不仅可以使国家繁荣富强，而且被越来越多地用于各种生产实践。自19世纪末戴维斯提出Chemical Engineering的概念以来，化学工程经历了一个世纪的发展，化学工业的规模以几何级数增长，化学工业在我国国民经济中所占的比重也与日俱增。但另一方面，随着能源、环境、质量、竞争等因素的影响，化学工业在快速发展的同时，也正进行着深刻的变革，对于优化操作的要求，尤其是实时、在线优化的要求越来越高。计算机技术的迅速发展也为优化技术的发展提供了保障。而数学建模方法成为化学工业的一个重要手段。首先，以数学方法和计算机技术为核心的工艺研究和装备制造，已经成为现代化学工业的主要手段。其次，以数学建模和网络技术为基础的生产管理和新品设计开发，也已成为现代化工企业的发展模式。数学建模已是工程科学中非常重要的一部分。现实世界中的很多现象是可用偏微分方程(PDE)描述的。例如化学工程中对流一扩散一反应过程、传热过程以及流体动力学等。如果PDE是线性的，通常可以通过适当的方法处理公式得到一个确定形式的解，这些方法包括分离变量、叠加、Fourier级数以及Laplace变换等。然而在现实世界中，很多PDE是非线性的，通过以上这些方法不容易得到非线性PDE的解，必须依靠数值近似求解。例如，Poisson方程和热方程是线性的，并可推导出解析解，而对于非线性Navier-Stokes方程，研究者们还未能找到通解形式及解决唯一性问题。化工中的方程通常是非线性的。为得到PDE的解，可采用的方法是将求解域离散成大量的单元数万或数十万个有限单元。在处理这样的小区域时，可以进行一些合理的假设和简化，并获到它们的解。很显然，找出所有的解意味着产生并解出成千上万个相关方程，可能需要上亿次算术运算。幸运的是有了各种工具软件，如今每个人都可以拥有求解这类问题的计算能力，如COMSOL Muhiphysics就是其中最早的一种在PC上求解PDE问题的软件。近年来，研究者正通过有限元方法求解PDE，他们发现这些技术可以用来求解广泛的问题，早期是结构力学，然后被扩展到化工、电磁，以及地球科学等。2在CFD实际问题中使用数学建模求解举例以下以一个CFD中常见的问题进行分析，来说明离散化方法在化工中的应用以及在求解实际问题中的重要作用。对一个稳态的二位状态下，变量T受下列方程的支配：其中流场为u=1和v=4,边界条件如下图图所示，求解区域内各处温度T的值。2.1利用数学物理方程的方法求解：上述问题即求解以下方程组的解： （1）即 （2）对上述方程，以目前所学的数学知识，还不能求算出其解析解。因此在实际计算过程中，我们采用离散化的方法，来求解上述问题。2.2 使用离散化方法计算对区域进行均匀网格化分，经过离散化，最终得到离散化方程为: (3)其中： （4） （5） （6）在计算过程中，有四种方法进行计算，包括中心差分法，上风方案，指数方案以及混合方案。下面分别用这四种方法进行计算。2.2.1中心差分方案： (7) (8)带入边界条件可知： （9）解之得：, , , 2.2.2上风方案： （10） （11）解之得：， 2.2.3幂指数方案： （12） （13）解之得： 2.2.4混合方案： （14） (15)解之得： 3.以上四种计算方法结果与真实结果对比数值分析方法计算结果与精确解关系通过不同的方法求算出的变量T在不同位置的温度与实际温度存在一定的误差，通过缩小网格大小的方法可以使计算结果更接近真实值，通过大量的计算可以知道这四种方法得到的结果与真实值的关系大致如下图所示： 因此，模型建立的好坏直接决定了计算结果与真实值的误差大小，如果模型建立的不合理，即使在网格无限小的情况下也不能得到与真实值相近的结果。参考文献：1张建文，杨振亚. 流体流动与传热过程的数值模拟基础与应用M, 北京，化学工业出版社：20082李扬，谢彦红.基于化工专业需求的数学建模教学J,化工高等教育，2009（4）3利用数学建模快捷地设计化工过程J，化工学报2008,59（9）4魏晓燕，王哲.数学建模与拉氏变换在化工自动化中的应用J，江西化工：2004.5杨奇林，数学物理方程与特殊函数M.