湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷.doc

2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷一、填空题1设a为的小数部分，b为的小数部分，则的整数部分为_2下列两个方程组与有相同的解，则m+n=_3如图，在RtABC中，C=90，B=60，A的平分线AD交BC于D，则=_4已知a是方程x22002x+1=0的根，则=_5A、B是平面内两个不同的定点，在此平面内找点C，使ABC为等腰直角三角形，则这样的点C有_个6某工程队要招聘甲乙两种工种的工人150名，甲乙两种工种工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲乙两种工种的人数各聘_时可使得每月所付工资最少，最小值是_7已知，则分式=_8如图，D、E分别是ABC的边AC、AB边上的点，BD、CE相交于点O，若SCOD=3，SBDE=4，SOBC=5，那么S四边形ADOE=_9三边长为整数且最长边是11的三角形共有_个10已知方程：x3+4x211x30=0的两个根的和等于1，则这个方程的三个根分别是_11若函数当axb时的最小值为2a，最大值为2b，求a、b的值12函数，其中a为任意实数，则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为_二、解答题（共8小题，满分0分）13已知关于x的方程x2（2m3）x+m4=O的二根为a1、a2，且满足3a12，a20求m的取值范围14在ABC中，ADBC于点D，BAC=45，BD=3，DC=2，求ABC的面积15一个三角形的三边长分别为a、a、b，另一个三角形的三边长分别为a、b、b，其中ab，若两个三角形的最小内角相等，则=_16求方程组的实数解17如图，在半径为r的O中，AB为直径，C为的中点，D为的三分之一分点，且的长等于两倍的的长，连接AD并延长交O的切线CE于点E（C为切点），求AE的长18如图，ABC是锐角三角形，以BC为直径作O，AD是O的切线，从AB上一点E作AB的垂线交AC的延长线于F，若求证：AD=AE19如图，在正方形ABCD中，DC的中点为E，F为CE的中点，求证：DAE=BAF20如图，四边形ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AEFC恰好是一个菱形，求EAB的度数2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1设a为的小数部分，b为的小数部分，则的整数部分为5考点：估算无理数的大小3071545分析：根据无理数的取值范围表示a、b，再代入所求算式计算，估计结果的整数部分解答：解：12，12，a=1，b=1，=（+1）（+）=+2+1，1.732，22828，5+2+16，+2+1的整数部分为5，故答案为：5点评：此题主要考查了无理数的估算，其中无理数包括开方开不尽的数，和有关的数，有规律的无限不循环小数2下列两个方程组与有相同的解，则m+n=3889考点：二元一次方程组的解3071545分析：将两个方程组中不含字母系数的方程重新组成方程组求x、y的值，再求m+n的值解答：解：联立方程组，解得，则m+n=500x489y+640x+20y=1140x469y=11403469（1）=3889，故答案为：3889点评：本题考查了二元一次方程组的解结果是将两个方程组重新组合，先求x、y的值，再求m+n3如图，在RtABC中，C=90，B=60，A的平分线AD交BC于D，则=考点：角平分线的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理；特殊角的三角函数值3071545专题：计算题分析：过D作DEAB于E，求出CD=DE，求出BDE=30，求出BD=2BE，CD=DE=BE，根据勾股定理求出AE=AC，求出ABAC=BE，代入求出即可解答：解：过D作DEAB于E，AD平分BAC，DEAB，C=90，DE=CD，DEAB，BED=90，B=60，BDE=1809060=30，BD=2BE，由勾股定理得：DE=CD=BE，由勾股定理得：AE2=AD2DE2，AC2=AD2CD2，AE=AC，即ABAC=ABAE=BE，=故答案为：点评：本题考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的内角和定理，角平分线性质的应用，关键是能根据性质求出CD=BE和ABAC=BE，题目比较好，是一道具有一定代表性的题目4已知a是方程x22002x+1=0的根，则=2001考点：一元二次方程的解3071545专题：计算题分析：由a为方程x22002x+1=0的根，所以将x=a代入方程得到关于a的等式a22002a=1，a2+1=2002a，然后将所求的式子的第二项变形为4004a+a，前两项提取2变形后，将a22002a=1，a2+1=2002a代入，合并约分后再将a2+1=2002a代入，整理后即可得到值解答：解：a是方程x22002x+1=0的根，将x=a代入方程得：a22002a+1=0，a22002a=1，a2+1=2002a，则2a24003a+1+=2（a22002）+a+1+=2+a+1+=1+a+=1+=1+2002=2001故答案为：2001点评：此题考查了一元二次方程的解，利用了转化及降次的数学思想，其中方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值5A、B是平面内两个不同的定点，在此平面内找点C，使ABC为等腰直角三角形，则这样的点C有6个考点：等腰直角三角形3071545专题：规律型分析：分三种情况考虑：当A为直角顶点时，过A作AB的垂线，以A为圆心，AB长为半径画弧，与垂线交于C3与C4两点；当B为直角顶点时，过B作AB的垂线，以B为圆心，BA长为半径画弧，与垂线交于C5与C6；当C为直角顶点时，以上两种情况的交点即为C1和C2，综上，得到所有满足题意的点C的个数解答：解：A、B是平面内两个不同的定点，在此平面内找点C，使ABC为等腰直角三角形，如图所示：则这样的点C有6个故答案为：6点评：此题考查了等腰直角三角形的性质，利用了分类讨论的思想，根据等腰直角三角形的性质找全满足题意的点C是解本题的关键6某工程队要招聘甲乙两种工种的工人150名，甲乙两种工种工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲乙两种工种的人数各聘甲50人，乙100人时可使得每月所付工资最少，最小值是130000考点：一次函数的应用3071545分析：设招聘甲工种工人x人，则乙工种工人（150x）人，根据甲、乙两种工种的工人的工资列出一次函数关系式，由乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，求自变量x的取值范围，根据一次函数的性质求工资的最小值解答：解：设招聘甲工种工人x人，则乙工种工人（150x）人，每月所付的工资为y元，则y=600x+1000（150x）=400x+150000，（150x）2x，x50，k=4000，y随x的增大而减小当x=50时，y最小=40050+150000=130000元招聘甲50人，乙100人时，可使得每月所付的工资最少；最少工资130000元故答案为：甲50人，乙100人，130000元点评：本题考查了一次函数的运用关键是根据所付工资列出函数关系式，根据题意求出自变量的取值范围7已知，则分式=1017考点：分式的化简求值3071545分析：首先求得当x=4时，x28x+15=1，然后将原式化为x46x32x2+18x+23=x2（x28x+15）+2x（x28x+15）（x28x+15）20x+38，即可将原式化简，然后代入x=4，即可求得答案解答：解：当x=4时，x28x+15=（x3）（x5）=（1）（1）=1，=x46x32x2+18x+23=x2（x28x+15）+2x（x28x+15）（x28x+15）20x+38=x2+2x120x+38=x218x+37=（x28x+15）10x+22=110x+22=2310x，当x=4时，原式=2310（4）=1017故答案为：1017点评：此题考查了分式的化简求值问题此题比较难，注意得到x28x+15=1与将原式化为x2（x28x+15）+2x（x28x+15）（x28x+15）20x+38是解此题的关键8如图，D、E分别是ABC的边AC、AB边上的点，BD、CE相交于点O，若SCOD=3，SBDE=4，SOBC=5，那么S四边形ADOE=考点：三角形的面积3071545专题：应用题分析：根据“等高的两个三角形的面积的比等于对应的底的比”求出OD与OB的比，再根据SBDE=4求出BOE与DOE的面积，然后设ADE的面积为x，再次利用“等高的两个三角形的面积的比等于对应的底的比”根据ADE与CDE面积的比列式，ABD与BCD面积的比列式，然后得到关于x的方程，求解即可解答：解：SCOD=3，SOBC=5，OD：OB=3：5，又SBDE=4，SBOE=4=2.5，SDOE=4=1.5，设ADE的面积为x，则=，=，所以，=，解得x=，所以，S四边形ADOE=+1.5=故答案为：点评：本题考查了三角形的面积，主要利用“等高的两个三角形的面积的比等于对应的底的比”性质，这是解答此题的关键9三边长为整数且最长边是11的三角形共有36个考点：三角形三边关系；一元一次不等式组的应用3071545分析：确定三边中的两边，分类找到第三边长的范围，再根据第三边长也是整数，且唯一最长的边11的三角形的个数即可解答：解：当两边长分别为11，1时，10第三边12，可取11，只有1个；当两边长为11，2时，9第三边13，又因为最长边是11，故可取10，11共2个数；当两边长为11，3时，8第三边14，又因为最长边是11，故可取9，10，11共3个数；当两边长为11，4时，7第三边15，又因为最长边是11，故可取8，9，10，11共4个数；当两边长为11，5时，6第三边16，又因为最长边是11，故可取7，8，9，10，11共5个数；当两边长为11，6时，5第三边17，又因为最长边是11，故可取6，7，8，9，10，11共6个数；当两边长为11，7时，4第三边18，又因为最长边是11，故可取5，6，7，8，9，10，11共7个数；当两边长为11，8时，3第三边19，又因为最长边是11，故可取4，5，6，7，8，9，10，11共，8个数；当两边长为11，9时，2第三边20，又因为最长边是11，故可取3，4，5，6，7，8，9，10，11共9个数；当两边长为11，10时，1第三边21，又因为最长边是11，故可取2，3，4，5，6，7，8，9，10，11共10个数；当两边长为11，11时，0第三边22，又因为最长边是11，故可取1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11共11个数；去掉重合的组，这样的三角形共有36组故选答案为：36点评：此题主要考查了三角形的三边关系，解决本题的关键是分类讨论得到三角形的三边长；注意去掉重合的组成三角形的三边10已知方程：x3+4x211x30=0的两个根的和等于1，则这个方程的三个根分别是2，3，5考点：根与系数的关系3071545分析：由于方程的两个根的和等于1，可设三次方程因式分解后为（xa）（x2xb）=0，于是可得x3+4x211x30=（xa）（x2xb）=x3+（1a）x2+（ab）x+ab，根据等于号的性质，可得1a=4，ab=11，ab=30，可求a=5、b=6，再把b=6代入（x2xb）=0中，易求x=2或x=3，从而可得方程的三个根解答：解：由于方程的两个根的和等于1，那么可设方程为（xa）（x2xb）=0，则x3+4x211x30=（xa）（x2xb）=x3+（1a）x2+（ab）x+ab，于是1a=4，ab=11，ab=30，解得a=5，b=6，把b=6代入（x2xb）=0中，得x2x6=0，解得x=2或x=3，所以方程的三个根分别是2，3，5故答案是2，3，5点评：本题考查了根与系数的关系，解题的关键是理解两个根的和等于1代表的意思，并能设出方程11若函数当axb时的最小值为2a，最大值为2b，求a、b的值考点：二次函数的最值3071545分析：根据二次函数的增减性以及当ab0时，当a0b时，若0ab时分别得出a，b的值即可解答：解：函数的顶点是（0，），对称轴是y轴，最大值为，如右图，（1）当ab0时，x=a时有最小值2a，x=b时有最大值2b，于是a2+=2a，b2+=2b，可知a、b是方程x2+=2x的两个根，即3x2+12x26=0，由于0，x1x2=，此方程有一正一负两个根，这与ab0矛盾，故此情况舍去；（2）当a0b时，x=0时有最大值=2b，解得b=，x=b时有最小值2a，即（）2+=0，而2a0，矛盾，所以只能是x=a时取最小值，（）a2+=2a，3a2+12a26=0 a=0，符合条件，（3）若0ab，显然有 （）a2+=2b，b2+=2a，得：（）（ab）（a+b）=2（ba），则 a+b=4，b=4a，代入得：（）a2+=2（4a），3a212a+22=0，0，此方程无实数根，故此情况舍去故有一组解符合要求：a=，b=点评：此题主要考查了二次函数的最值求法，根据自变量的取值范围分别将a，b代入求出是解题关键12函数，其中a为任意实数，则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为考点：抛物线与x轴的交点3071545分析：设函数y=x2ax+（a1）与x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为|x1x2|欲求|x1x2|的最小值，需要根据关于x一元二次方程x2ax+（a1）=0的根与系数的关系与代数式的变形相结合求得（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2=a2a+1=（a）2+，最后根据二次函数的最值的求法即可解得|x1x2|的最小值解答：解：设函数y=x2ax+（a1）与x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），则x1、x2是一元二次方程x2ax+（a1）=0的两个实数根，由韦达定理得，x1+x2=a，x1x2=（a1），则（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2=a2a+1=（a）2+，a为任意实数，（a）20，（x1x2）2，|x1x2|，|x1x2|的最小值是，即该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为故答案是：点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题利用二次函数与一元二次方程间的关系是解答此类题目常用的方法二、解答题（共8小题，满分0分）13已知关于x的方程x2（2m3）x+m4=O的二根为a1、a2，且满足3a12，a20求m的取值范围考点：抛物线与x轴的交点3071545专题：数形结合分析：先令y=x2（2m3）x+m4，根据方程x2（2m3）x+m4=O的二根为a1、a2，且满足3a12，a20画出函数图象，由图象可知当x=0，当x=2，当x=3时y的取值范围，列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可解答：解：y=x2（2m3）x+m4，如图得关系式，当x=0时，y=m40，当x=2时，y=4+4m6+m40，当x=3时，y=9+6m9+m40，即解得m故答案为：m点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，利用数形结合把方程问题转化为函数取值范围的问题是解答此题的关键14在ABC中，ADBC于点D，BAC=45，BD=3，DC=2，求ABC的面积考点：正方形的性质；勾股定理3071545分析：把ABD沿AB为对称轴翻折成为ABE，ACD沿AC为对称轴翻折成为ACG，延长EB、GC相交于点F，根据轴对称的性质可以证明四边形AEFG是正方形，设AD=x，用x表示出BF、CF，在RtBCF中，根据勾股定理列式进行计算即可求出x的值，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解解答：解：如图，把ABD沿AB为对称轴翻折成为ABE，ACD沿AC为对称轴翻折成为ACG，延长EB、GC相交于点F，则ABEABD，ACDACG，所以，AD=AE=AG，AEB=AGC=90，BAC=45，EAG=EAB+BAD+CAD+CAG=2（BAD+CAD）=2BAC=245=90，四边形AEFG是正方形，BD=3，DC=2，BC=BD+CD=3+2=5，设AD=x，则BF=EFBE=x3，CF=FGCG=x2，在RtBCF中，根据勾股定理，BF2+CF2=BC2，即（x3）2+（x2）2=52，整理得，x25x6=0，解得，x1=1（舍去），x2=6，所以，SABC=BCAD=56=15点评：本题考查了正方形的判定与性质，轴对称的性质，以及勾股定理的应用，根据BAC=45轴对称图形，构造出正方形并得到RtBCF是解题的关键，也是本题的难点15一个三角形的三边长分别为a、a、b，另一个三角形的三边长分别为a、b、b，其中ab，若两个三角形的最小内角相等，则=考点：相似三角形的判定与性质3071545分析：由已知边长可知，两个三角形为等腰三角形，又两个三角形的最小内角相等，可证ABCCBD，利用相似比列方程求解解答：解：由两个三角形三边长可知，ABC与CBD为等腰三角形，ABC=CBD，且都为底角，ABCCBD，=，即=，整理，得a2abb2=0，即（）21=0，解得=或（舍去负值），故答案为：点评：本题考查了相似三角形的判定与性质关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质解题16求方程组的实数解考点：高次方程3071545专题：计算题分析：首先把x+y=2两边分别平方，得x2+2xy+y2=4，一步步化简可以得到：（x1）2+（y1）2+2z2=0，根据非负数的性质，可以解得x、y、z的值解答：解：将x+y=2两边分别平方，得x2+2xy+y2=4（1）把方程xyz2=1两边都乘以2得2xy2z2=2（2）（1）（2）得：x2+y2+2z2=2（3）由x+y=2得2x+2y=4（4）（3）（4）得：x2+y2+2z22x2y+2=0，配方，得：（x1）2+（y1）2+2z2=0，x，y，z均为实数，只能是（x1）2=0，（y1）2=0，z2=0，x=1，y=1，z=0，显然x=1，y=1，z=0满足原方程组原方程组的实数解为：x=1，y=1，z=0点评：本题主要考查高次方程求解的问题，解决此类问题的关键是把方程转化成几个非负数之和的形式，再进行求解，此类题具有一定的难度，同学们解决时需要细心17如图，在半径为r的O中，AB为直径，C为的中点，D为的三分之一分点，且的长等于两倍的的长，连接AD并延长交O的切线CE于点E（C为切点），求AE的长考点：圆的综合题3071545专题：综合题分析：过E作EHAB于H，连OC，根据直径所对的圆周角为直角得到ACB=90，由C为的中点，则CA=CB且CAB=45，可得到COAB，根据切线的性质得OCCE，则四边形OCEH为矩形，于是有EH=OC=r，又由于D为的三分之一分点，且的长等于两倍的的长，则BAD=2DAC，可得BAD=45=30，然后根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到AE的长解答：解：过E作EHAB于H，连OC，如图，AB为O直径，ACB=90，又C为的中点，CA=CB，CAB=45，COAB，CE为O的切线，OCCE，而EHAB，四边形OCEH为矩形，EH=OC=r，D为的三分之一分点，且的长等于两倍的的长，BAD=2DAC，BAD=45=30，在RtAHE中，BAE=30，AHE=90，AE=2EH=2r点评：本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角；圆的切线垂直于过切点的半径；记住含30度的直角三角形三边的关系18如图，ABC是锐角三角形，以BC为直径作O，AD是O的切线，从AB上一点E作AB的垂线交AC的延长线于F，若求证：AD=AE考点：切割线定理；相似三角形的判定与性质3071545专题：证明题分析：连接BN，根据BC为O的直径，求证ABNAFE利用其对应边成比例得AE2=ANAC，再利用切割线定理得出AD2=ANAC，然后利用等量代换即可解答：证明：如图，设AC交O于点N连接BN，BC为O的直径，BNC=90，BNA=90，FEAB，AEF=90=BNA，BNA=FAE，ABN