高中数学解析几何问题的题型与方法

第第 5 5 讲讲 解析几何问题的题型与方法解析几何问题的题型与方法 4 4 课时 课时 一 一 考试内容考试内容 一 一 直线和圆的方程 直线的倾斜角和斜率 直线方程的点斜式和两点式 直线方程的一般式 两条直线平行与垂直的条件 两条直线的交角 点到直线的距离 用二元一次不等式表示平面区域 简单的线性规划问题 曲线与方程的概念 由已知条件列出曲线方程 圆的标准方程和一般方程 圆的参数方程 二 圆锥曲线方程 椭圆及其标准方程 椭圆的简单几何性质 椭圆的参数方程 双曲线及其标准方程 双曲线的简单几何性质 抛物线及其标准方程 抛物线的简单几何性质 二 考试要求二 考试要求 一 直线和圆的方程 1 理解直线的斜率的概念 掌握过两点的直线的斜率公式 掌握直线方程的点斜式 两点式 一般式 并能根据条件熟练地求出直线方程 2 掌握两条直线平行与垂直的条件 两条直线所成的角和点到直线的距离公式 能够 根据直线的方程判断两条直线的位置关系 3 了解二元一次不等式表示平面区域 4 了解线性规划的意义 并会简单的应用 5 了解解析几何的基本思想 了解坐标法 6 掌握圆的标准方程和一般方程 了解参数方程的概念 理解圆的参数方程 二 圆锥曲线方程 1 掌握椭圆的定义 标准方程和椭圆的简单几何性质 2 掌握双曲线的定义 标准方程和双曲线的简单几何性质 3 掌握抛物线的定义 标准方程和抛物线的简单几何性质 4 了解圆锥曲线的初步应用 三 复习目标三 复习目标 1 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程 从直线的点斜式方程出发推 导出直线方程的其他形式 斜截式 两点式 截距式 能根据已知条件 熟练地选择恰当 的方程形式写出直线的方程 熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化 能利用直线的 方程来研究与直线有关的问题了 2 能正确画出二元一次不等式 组 表示的平面区域 知道线性规划的意义 知道线 性约束条件 线性目标函数 可行解 可行域 最优解等基本概念 能正确地利用图解法 解决线性规划问题 并用之解决简单的实际问题 了解线性规划方法在数学方面的应用 会用线性规划方法解决一些实际问题 3 理解 曲线的方程 方程的曲线 的意义 了解解析几何的基本思想 掌握求 曲线的方程的方法 4 掌握圆的标准方程 r 0 明确方程中各字母的几何 222 rbyax 意义 能根据圆心坐标 半径熟练地写出圆的标准方程 能从圆的标准方程中熟练地求出 圆心坐标和半径 掌握圆的一般方程 知道该方程表示圆的0 22 FEyDxyx 充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化 能根据条件 用待定系数法求出圆的 方程 理解圆的参数方程 为参数 明确各字母的意义 掌握直线与圆的 cos sin xr yr 位置关系的判定方法 5 正确理解椭圆 双曲线和抛物线的定义 明确焦点 焦距的概念 能根据椭圆 双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程 记住椭圆 双曲线和抛物线的各种标准方程 能根据条件 求出椭圆 双曲线和抛物线的标准方程 掌握椭圆 双曲线和抛物线的几何 性质 范围 对称性 顶点 离心率 准线 双曲线的渐近线 等 从而能迅速 正确地 画出椭圆 双曲线和抛物线 掌握 a b c p e 之间的关系及相应的几何意义 利用椭 圆 双曲线和抛物线的几何性质 确定椭圆 双曲线和抛物线的标准方程 并解决简单问 题 理解椭圆 双曲线和抛物线的参数方程 并掌握它的应用 掌握直线与椭圆 双曲线 和抛物线位置关系的判定方法 四 双基透视四 双基透视 高考解析几何试题一般共有 4 题 2 个选择题 1 个填空题 1 个解答题 共计 30 分左右 考查的知识点约为 20 个左右 其命题一般紧扣课本 突出重点 全面考查 选择题和填 空题考查直线 圆 圆锥曲线 参数方程和极坐标系中的基础知识 解答题重点考查圆锥 曲线中的重要知识点 通过知识的重组与链接 使知识形成网络 着重考查直线与圆锥曲 线的位置关系 求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法 这一点值得强化 一 直线的方程 1 点斜式 2 截距式 11 xxkyy bkxy 3 两点式 4 截距式 12 1 12 1 xx xx yy yy 1 b y a x 5 一般式 其中 A B 不同时为 0 0 CByAx 二 两条直线的位置关系 两条直线 有三种位置关系 平行 没有公共点 相交 有且只有一个公共点 1 l 2 l 重合 有无数个公共点 在这三种位置关系中 我们重点研究平行与相交 设直线 直线 则 1 ly 1 kx 1 b 2 ly 2 kx 2 b 的充要条件是 且 的充要条件是 1 1 l 2 l 1 k 2 k 1 b 2 b 1 l 2 l 1 k 2 k 三 线性规划问题 1 线性规划问题涉及如下概念 存在一定的限制条件 这些约束条件如果由 x y 的一次不等式 或方程 组成的不 等式组来表示 称为线性约束条件 都有一个目标要求 就是要求依赖于 x y 的某个函数 称为目标函数 达到最大值 或最小值 特殊地 若此函数是 x y 的一次解析式 就称为线性目标函数 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题 统称为线性规划问题 满足线性约束条件的解 x y 叫做可行解 所有可行解组成的集合 叫做可行域 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 叫做这个问题的最优解 2 线性规划问题有以下基本定理 一个线性规划问题 若有可行解 则可行域一定是一个凸多边形 凸多边形的顶点个数是有限的 对于不是求最优整数解的线性规划问题 最优解一定在凸多边形的顶点中找到 3 线性规划问题一般用图解法 四 圆的有关问题 1 1 圆的标准方程圆的标准方程 r 0 称为圆的标准方程 其圆心坐标为 a b 半径为 r 222 rbyax 特别地 当圆心在原点 0 0 半径为 r 时 圆的方程为 222 ryx 2 2 圆的一般方程圆的一般方程 0 称为圆的一般方程 0 22 FEyDxyxFED4 22 其圆心坐标为 半径为 2 D 2 E FEDr4 2 1 22 当 0 时 方程表示一个点 FED4 22 2 D 2 E 当 0 时 方程不表示任何图形 FED4 22 3 3 圆的参数方程圆的参数方程 圆的普通方程与参数方程之间有如下关系 为参数 222 ryx cos sin xr yr 为参数 222 rbyax cos sin xar ybr 四 椭圆及其标准方程 1 椭圆的定义 椭圆的定义中 平面内动点与两定点 的距离的和大于 1 F 2 F 1 F 这个条件不可忽视 若这个距离之和小于 则这样的点不存在 若距离之和等 2 F 1 F 2 F 于 则动点的轨迹是线段 1 F 2 F 1 F 2 F 2 椭圆的标准方程 0 0 1 2 2 2 2 b y a x ab1 2 2 2 2 b x a y ab 3 椭圆的标准方程判别方法 判别焦点在哪个轴只要看分母的大小 如果项的分母 2 x 大于项的分母 则椭圆的焦点在 x 轴上 反之 焦点在 y 轴上 2 y 4 求椭圆的标准方程的方法 正确判断焦点的位置 设出标准方程后 运用待 定系数法求解 五 椭圆的简单几何性质 1 椭圆的几何性质 设椭圆方程为 0 1 2 2 2 2 b y a x ab 范围 a x a b x b 所以椭圆位于直线 x 和 y 所围成的矩形里 a b 对称性 分别关于 x 轴 y 轴成轴对称 关于原点中心对称 椭圆的对称中心叫做 椭圆的中心 顶点 有四个 a 0 a 0 0 b 0 b 1 A 2 A 1 B 2 B 线段 分别叫做椭圆的长轴和短轴 它们的长分别等于 2a 和 2b a 和 b 1 A 2 A 1 B 2 B 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 所以椭圆和它的对称轴有四个交点 称为椭圆的顶 点 离心率 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率 它的值表示椭圆的扁 a c e 平程度 0 e 1 e 越接近于 1 时 椭圆越扁 反之 e 越接近于 0 时 椭圆就越接近于圆 2 椭圆的第二定义 定义 平面内动点 M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e 1 时 这个动点的轨迹是椭圆 a c e 准线 根据椭圆的对称性 0 的准线有两条 它们的方1 2 2 2 2 b y a x ab 程为 对于椭圆 0 的准线方程 只要把 x 换成 y 就可以 c a x 2 1 2 2 2 2 b x a y ab 了 即 c a y 2 3 椭圆的焦半径 由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径 设 c 0 c 0 分别为椭圆 0 的左 右两焦点 1 F 2 F1 2 2 2 2 b y a x ab M x y 是椭圆上任一点 则两条焦半径长分别为 exaMF 1 exaMF 2 椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便 椭圆的四个主要元素 a b c e 中有 两个关系 因此确定椭圆 2 a 2 b 2 c a c e 的标准方程只需两个独立条件 六 椭圆的参数方程 椭圆 0 的参数方程为 为参数 1 2 2 2 2 b y a x ab cos sin xa yb 说明 这里参数 叫做椭圆的离心角 椭圆上点 P 的离心角 与直线 OP 的倾斜 角 不同 tantan a b 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较1 2 2 2 2 b y a x 1sincos 22 而得到 所以椭圆的参数方程的实质是三角代换 七 双曲线及其标准方程 1 双曲线的定义 平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数 2a 小于 1 F 2 F 的动点的轨迹叫做双曲线 在这个定义中 要注意条件 2a 这一条 1 F 2 FM 1 F 2 F 件可以用 三角形的两边之差小于第三边 加以理解 若 2a 则动点的轨迹是两 1 F 2 F 条射线 若 2a 则无轨迹 1 F 2 F 若 时 动点的轨迹仅为双曲线的一个分支 又若 时 1 MF 2 MFM 1 MF 2 MF 轨迹为双曲线的另一支 而双曲线是由两个分支组成的 故在定义中应为 差的绝对值 2 双曲线的标准方程 和 a 0 b 0 这里1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y 其中 2c 要注意这里的 a b c 及它们之间的关系与椭圆中的异同 222 acb 1 F 2 F 3 双曲线的标准方程判别方法是 如果项的系数是正数 则焦点在 x 轴上 如果 2 x 项的系数是正数 则焦点在 y 轴上 对于双曲线 a 不一定大于 b 因此不能像椭圆那 2 y 样 通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上 4 求双曲线的标准方程 应注意两个问题 正确判断焦点的位置 设出标准方 程后 运用待定系数法求解 八 双曲线的简单几何性质 1 双曲线的实轴长为 2a 虚轴长为 2b 离心率 1 离心率 e 越1 2 2 2 2 b y a x a c e 大 双曲线的开口越大 2 双曲线的渐近线方程为或表示为 若已知双曲1 2 2 2 2 b y a x x a b y 0 2 2 2 2 b y a x 线的渐近线方程是 即 那么双曲线的方程具有以下形式 x n m y 0 nymx 其中 k 是一个不为零的常数 kynxm 2222 3 双曲线的第二定义 平面内到定点 焦点 与到定直线 准线 距离的比是一个大 于 1 的常数 离心率 的点的轨迹叫做双曲线 对于双曲线 它的焦点坐标是1 2 2 2 2 b y a x c 0 和 c 0 与它们对应的准线方程分别是和 c a x 2 c a x 2 在双曲线中 a b c e 四个元素间有与的关系 与椭圆一样确 a c e 222 bac 定双曲线的标准方程只要两个独立的条件 九 抛物线的标准方程和几何性质 1 抛物线的定义 平面内到一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹 叫抛物线 这个定点 F 叫抛物线的焦点 这条定直线 l 叫抛物线的准线 需强调的是 点 F 不在直线 l 上 否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线 而不是抛物 线 2 抛物线的方程有四种类型 pxy2 2 pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 对于以上四种方程 应注意掌握它们的规律 曲线的对称轴是哪个轴 方程中的该项 即为一次项 一次项前面是正号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的正方向 一次项前面是 负号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的负方向 3 抛物线的几何性质 以标准方程 y2 2px 为例 1 范围 x 0 2 对称轴 对称轴为 y 0 由方程和图像均可以看出 3 顶点 O 0 0 注 抛物线亦叫无心圆锥曲线 因为无中心 4 离心率 e 1 由于 e 是常数 所以抛物线的形状变化是由方程中的 p 决定的 5 准线方程 2 p x 6 焦半径公式 抛物线上一点 P x1 y1 F 为抛物线的焦点 对于四种抛物线 的焦半径公式分别为 p 0 22 11 22 11 2 2 22 2 2 22 pp ypx PFxypx PFx pp xpyPFyxpyPFy 7 焦点弦长公式 对于过抛物线焦点的弦长 可以用焦半径公式推导出弦长公式 设过抛物线 y2 2px p O 的焦点 F 的弦为 AB A x1 y1 B x2 y2 AB 的倾斜角 为 则有 AB x x p 12 以上两公式只适合过焦点的弦长的求法 对于其它的弦 只能用 弦长公式 来求 8 直线与抛物线的关系 直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程 x bx c 0 当 a 0 时 两者的位置关系的判定和椭圆 双曲线相同 用判别式法即可 2 但如果 a 0 则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线 此时 直线和抛物线相 交 但只有一个公共点 十 轨迹方程 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么 这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 图形或轨迹 五 注意事项五 注意事项 1 直线的斜率是一个非常重要的概念 斜率k反映了直线相对于 x 轴的倾斜程 度 当斜率k存在时 直线方程通常用点斜式或斜截式表示 当斜率不存在时 直线方程 为 x a a R R 因此 利用直线的点斜式或斜截式方程解题时 斜率 k 存在与否 要分别 考虑 直线的截距式是两点式的特例 a b 分别是直线在 x 轴 y 轴上的截距 因为 a 0 b 0 所以当直线平行于 x 轴 平行于 y 轴或直线经过原点 不能用截距式求出它 的方程 而应选择其它形式求解 求解直线方程的最后结果 如无特别强调 都应写成一般式 当直线或的斜率不存在时 可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直 1 l 2 l 在处理有关圆的问题 除了合理选择圆的方程 还要注意圆的对称性等几何性质的 运用 这样可以简化计算 2 用待定系数法求椭圆的标准方程时 要分清焦点在 x 轴上还是 y 轴上 还是两 种都存在 注意椭圆定义 性质的运用 熟练地进行 a b c e 间的互求 并能根据所给的 方程画出椭圆 求双曲线的标准方程 应注意两个问题 正确判断焦点的位置 设出标准方 程后 运用待定系数法求解 双曲线的渐近线方程为或表示为 若已知双曲1 2 2 2 2 b y a x x a b y 0 2 2 2 2 b y a x 线的渐近线方程是 即 那么双曲线的方程具有以下形式 x n m y 0 nymx 其中 k 是一个不为零的常数 kynxm 2222 双曲线的标准方程有两个和 a 0 b 0 这里1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y 其中 2c 要注意这里的 a b c 及它们之间的关系与椭圆中的异 222 acb 1 F 2 F 同 求抛物线的标准方程 要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型 再求抛物线的 标准方程 要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型 再由条件确定参数 p 的值 同时 应明确抛物线的标准方程 焦点坐标 准线方程三者相依并存 知道其中抛物线的标准方 程 焦点坐标 准线方程三者相依并存 知道其中一个 就可以求出其他两个 六 范例分析六 范例分析 例例 1 求与直线 3x 4y 12 0 平行 且与坐标轴构成的三角形面积是 24 的直线 l 的方 程 分析分析 满足两个条件才能确定一条直线 一般地 求直线方程有两个解法 即用其中 一个条件列出含待定系数的方程 再用另一个条件求出此参数 解法一解法一 先用 平行 这个条件设出 l 的方程为 3x 4y m 0 再用 面积 条件去求 m 直线 l 交 x 轴于 交 y 轴于由 得 0 3 m A 4 0 m B 24 432 1 mm 24 m 代入 得所求直线的方程为 02443 yx 解法二解法二 先用面积这个条件列出 l 的方程 设 l 在 x 轴上截距离 a 在 y 轴上截距 b 则有 因为 l 的倾角为钝角 所以 a b 同号 ab ab l 的截距式为 24 2 1 ab1 48 a y a x 即 48x a2y 48a 0 又该直线与 3x 4y 2 0 平行 代入 得 2 48 43 48 2 aa 8 a 所求直线 l 的方程为02443 yx x 1 1 O 5 3 4 2 1 6 y 3x 5y 30 0 x 3y 4 0 x 2x y 0 5423 0 2 C A l l 6 l B 1 说明说明 与直线 Ax By C 0 平行的直线可写成 Ax By C1 0 的形式 与 Ax By C 0 垂直的直线的方程可表示为 Bx Ay C2 0 的形式 例例 2 若直线 mx y 2 0 与线段 AB 有交点 其中 A 2 3 B 3 2 求实数 m 的取值 范围 解解 直线 mx y 2 0 过一定点 C 0 2 直线 mx y 2 0 实际上表示的是过定点 0 2 的直线系 因为直线与线段 AB 有交点 则直线只能落在 ABC 的内部 设 BC CA 这两 条直线的斜率分别为 k1 k2 则由斜率的定义可知 直线 mx y 2 0 的斜率 k 应满足 k k1或 k k2 A 2 3 B 3 2 2 5 3 4 21 kk m 或 m 即 m 或 m 3 4 2 5 3 4 2 5 说明说明 此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题 这 里要清楚直线 mx y 2 0 的斜率 m 应为倾角的正切 而当倾角在 0 90 或 90 180 内 角的正切函数都是单调递增的 因此当直线在 ACB 内部变化时 k 应大于或等于 kBC 或者 k 小于或等于 kAC 当 A B 两点的坐标变化时 也要能求出 m 的范围 例例 3 3 已知 x y 满足约束条件 x 1 x 3y 4 3x 5y 30 求目标函数 z 2x y 的最大值和最小值 解 解 根据 x y 满足的约束条件作出可行域 即 如图所示的阴影部分 包括边界 作直线 2x y 0 再作一组平行于的直线 0 l 0 ll 2x y t t R R 可知 当在的右下方时 直线上的点l 0 ll x y 满足 2x y 0 即 t 0 而且直线往右l 平移时 t 随之增大 当直线平移至的位置时 l 1 l 直线经过可行域上的点 B 此时所对应的 t 最大 当在的左上方时 直线上的点 x y 满足l 0 ll 2x y 0 即 t 0 而且直线往左平移时 t 随之减小 当直线平移至的位置时 直ll 2 l 线经过可行域上的点 C 此时所对应的 t 最小 x 3y 4 0 由 解得点 B 的坐标为 5 3 3x 5y 30 0 x 1 由 解得点 C 的坐标为 1 5 27 3x 5y 30 0 所以 2 5 3 7 2 1 最大值 z 最小值 z 5 27 5 17 o x y A B C 0 2 6x 7y 0 7x 8y 0 6 2 4 O 264 A 8 x y 11 10 8 12 y 1 x 10 10 B l 12 y 5 x l0 例例 4 4 某运输公司有 10 辆载重量为 6 吨的 A 型卡车与载重量为 8 吨的 B 型卡车 有 11 名驾驶员 在建筑某段高速公路中 该公司承包了每天至少搬运 480 吨沥青的任务 已知 每辆卡车每天往返的次数为 A 型卡车 8 次 B 型卡车 7 次 每辆卡车每天的成本费 A 型车 350 元 B 型车 400 元 问每天派出 A 型车与 B 型车各多少辆 公司所花的成本费最低 最 低为多少 解 解 设每天派出 A 型车与 B 型车各 x y 辆 并设公司每天的成本为 z 元 由题意 得 x 10 y 5 x y 11 48x 56y 60 x y N N 且 z 350 x 400y x 10 y 5 即 x y 11 6x 7y 55 x y N N 作出可行域 作直线 350 x 400y 0 即 0 l 7x 8y 0 作出一组平行直线 7x 8y t 中 t 为参数 经过可行域内的点和原点距离最近的直线 此直线经过 6x 7y 60 和 y 5 的交点 A 5 由于点 A 的坐标不都是整数 而 6 25 x y N N 所以可行域内的点 A 5 不是最优解 6 25 为求出最优解 必须进行定量分析 因为 7 8 5 69 2 所以经过可行域内的整点 横坐标和纵坐标都是整数的 6 25 点 且与原点最小的直线是 7x 8y 10 在可行域内满足该方程的整数解只有 x 10 y 0 所以 10 0 是最优解 即当 通过 B 点时 z 350 10 400 0 3500 元为最小 l 答 答 每天派出 A 型车 10 辆不派 B 型车 公司所化的成本费最低为 3500 元 例例 5 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点 AB 2 OT t 0 t 1 以 AB 为直腰作 直角梯形 使垂直且等于 AT 使垂直且等于 BT 交半圆于BBAA AA BB BA P Q 两点 建立如图所示的直角坐标系 1 写出直线的方程 BA 2 计算出点 P Q 的坐标 3 证明 由点 P 发出的光线 经 AB 反 射后 反射光线通过点 Q 解解 1 显然 于是 tA 1 1 tB 11 直线的方程为 BA 1 txy 2 由方程组 解出 1 1 22 txy yx 10P 2 2 2 1 1 1 2 t t t t Q 3 tt kPT 1 0 01 ttt t t t t t t kQT 1 1 1 1 2 0 1 1 2 2 2 2 2 由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知 由点 P 发出的光线经点 T 反射 反 射光线通过点 Q 说明 说明 需要注意的是 Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式 有趣吗 例例 6 设 P 是圆 M x 5 2 y 5 2 1 上的动点 它关于 A 9 0 的对称点为 Q 把 P 绕 原点依逆时针方向旋转 90 到点 S 求 SQ 的最值 解解 设 P x y 则 Q 18 x y 记 P 点对应的复数为 x yi 则 S 点对应的复数为 x yi i y xi 即 S y x 22 18 xyyxSQ 22 22 22222 9 9 2 818118182 22363618 yx yxyx xyyxxyyxyx 其中可以看作是点P到定点B 9 9 的距离 共最大值为 22 9 9 yx 最小值为 则1532 rMB1532 rMB SQ 的最大值为 SQ 的最小值为21062 21062 例例 7 已知 M 轴上的动点 QA QB 分别切 M 于xQyx是 1 2 22 A B 两点 1 如果 求直线 MQ 的方程 3 24 AB 2 求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程 解解 1 由 可得由 3 24 AB 3 1 3 22 1 2 2222 AB MAMP 射影定理 得 在 Rt MOQ 中 3 2 MQMQMPMB得 523 2222 MOMQOQ 故 55 aa或 所以直线 AB 方程是 0525205252 yxyx或 2 连接 MB MQ 设由 0 aQyxP 点 M P Q 在一直线上 得 由射影定理得 22 x y a 2 MQMPMB 即 把 及 消去 a 14 2 222 ayx 并注意到 可得2 y 2 16 1 4 7 22 yyx 说明 说明 适时应用平面几何知识 这是快速解答本题的要害所在 例例 8 直线 过抛物线的焦点 且与抛物线相交于 Al 0 2 2 ppxy 两点 1 求证 2211 yxByx和 2 21 4pxx 2 求证 对于抛物线的任意给定的一条弦 CD 直线 l 不是 CD 的垂直平分线 解解 1 易求得抛物线的焦点 0 2 PF 若 l x 轴 则 l 的方程为 4 2 2 21 P xx P x 显然 若 l 不垂直于 x 轴 可设 代入抛物线方程整理得 2 P xky 4 0 4 2 1 2 21 2 2 2 P xx P x k P Px 则 综上可知 2 21 4pxx 2 设 则 CD 的垂直平分线的方程为 dcd p d Dc p c C 且 2 2 22 l 4 22 22 p dc x p dcdc y 假设过 F 则整理得 l 42 22 0 22 p dcp p dcdc 0 2 222 dcpdc0 p 02 222 dcp0 dc 这时的方程为 y 0 从而与抛物线只相交于原点 而 l 与抛物线有两个不同 l l pxy2 2 的交点 因此与 l 不重合 l 不是 CD 的垂直平分线 l 说明 说明 此题是课本题的深化 课本是高考试题的生长点 复习要重视课本 例例 9 已知椭圆 能否在此椭圆位于 y 轴左侧的部分上找到一点 M 使1 34 22 yx 它到左准线的距离为它到两焦点 F1 F2距离的等比中项 若能找到 求出该点的坐标 若 不能找到 请说明理由 解 解 假设存在满足条件的点 设 M x1 y1 a2 4 b2 3 a 2 c 1 3 b 2 1 e 点 M 到椭圆左准线的距离 2 1 2 1 22 1121 4 1 4 xxeaexaexaMFMF 4 1 2 1 x c a xd 2 1 2 121 4 4 1 4 xxdrr 或 这与 x1 2 0 相矛盾 满足条件的048325 1 2 1 xx4 1 x 5 12 1 x 点 M 不存在 例例 10 已知椭圆中心在原点 焦点在轴上 焦距为 4 离心率为 y 3 2 求椭圆方程 设椭圆在 y 轴正半轴上的焦点为 M 又点 A 和点 B 在椭圆上 且 M 分有向线段 所成的比为 2 求线段 AB 所在直线的方程 AB 解解 设椭圆方程为 由 2c 4 得 c 2 又 1 2 2 2 2 b x a y 3 2 a c 故 a 3 所求的椭圆方程为5 222 cab 22 1 95 yx 若 k 不存在 则 若 k 存在 则设直线 AB 的方程为 y kx 2 2 MB AM 又设 A 221 1 yxByx 由 得 1 95 2 22 yx kxy 02520 59 22 kxxk 12 2 20 95 k xx K 12 2 25 95 xx K 点 M 坐标为 M 0 2 2 2 2211 yxMByxAM 由 得2 MB AM MBAM2 2 2 2 2211 yxyx 代入 得 21 2xx 2 2 20 95 k x k 2 2 2 25 2 95 x k 由 得 2 2 20 2 95 k k 2 25 95k 2 1 3 k 3 3 k 线段 AB 所在直线的方程为 2 3 3 xy 说明说明 有向线段所成的比 线段的定比分点等概念 本身就是解析几何研究的一类重 要问题 向量概念的引入 使这类问题的解决显得简洁而流畅 求解这类问题可以用定比 分点公式 也可以直接用有向线段的比解题 另外 向量的长度 点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系 向量与解析几何 的结合 为解决这些问题开辟了新的解题途径 例例 11 已知直线 l 与椭圆有且仅有一个交点 Q 且与 x 轴 y 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 轴分别交于 R S 求以线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程 解 解 从直线 所处的位置 设出直线 的方程 ll 由已知 直线 l 不过椭圆的四个顶点 所以设直线 l 的方程为 0 kmkxy 代入椭圆方程 得 222222 bayaxb 2 22222222 bamkmxxkaxb 化简后 得关于的一元二次方程x 0 2 222222222 bamamxkaxbka 于是其判别式 4 4 2 222222222222222 mbkababamabkamka 由已知 得 0 即 2222 mbka 在直线方程中 分别令 y 0 x 0 求得mkxy 0 0 mS k m R 令顶点 P 的坐标为 x y 由已知 得 ym x y k my k m x 解得 代入 式并整理 得 即为所求顶点 P 的轨迹方程 1 2 2 2 2 y b x a 说明说明 方程形似椭圆的标准方程 你能画出它的图形吗 1 2 2 2 2 y b x a 例例 12 已知双曲线的离心率 过的直线到原点1 2 2 2 2 b y a x 3 32 e 0 0 bBaA 的距离是 1 求双曲线的方程 2 3 2 已知直线交双曲线于不同的点 C D 且 C D 都在以 B 为圆心的 0 5 kkxy 圆上 求 k 的值 解解 1 原点到直线 AB 的距离 3 32 a c 1 b y a x 3 1 2 3 22 ab c ab ba ab d 故所求双曲线方程为 1 3 2 2 y x 2 把中消去 y 整理得 335 22 yxkxy代入07830 31 22 kxxk 设的中点是 则CDyxDyxC 2211 00 yxE 11 31 5 5 31 15 2 0 0 2 00 2 21 0 kx y k k kxy k kxx x BE 0 00 kkyx 即7 0 0 31 5 31 15 2 22 kkk k k k k 又 y xO A B P 故所求 k 7 说明 说明 为了求出的值 需要通过消元 想法设法建构的方程 kk 例例 13 过点作直线 与椭圆 3x2 4y2 12 相交于 A B 两点 O 为坐标原 0 3 Pl 点 求 OAB 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值 分析 分析 若直接用点斜式设 的方程为 则l 3 0 xky 要求 的斜率一定要存在 但在这里 的斜率有可能不存在 因ll 此要讨论斜率不存在的情形 为了避免讨论 我们可以设直线 的方程为 这样就包含了斜率不存在时的情形了 l3 myx 从而简化了运算 解 解 设 A x1 y1 B x2 y2 l3 myx 3 3 2 1 2 1 212121 yyyyyOPyOPS AOB 把代入椭圆方程得 即3 myx0124 332 3 222 ymyym 0336 43 22 myym 43 36 2 21 m m yy 43 3 2 21 m yy 48144 43 1 43 12 43 108 2 2222 2 21 x mmm m yy 3 13 1334 43 1334 43 394 2 2 2 2 2 2 m m m m m m 2 32 34 13 3 13 34 2 2 m m m 此时 32 2 3 S 13 3 13 2 2 m m 3 6 m 令直线的倾角为 则 2 6 6 3 tg 即 OAB 面积的最大值为 此时直线倾斜角的正切值为 3 2 6 例例 14 2003 年江苏高考题 已知常数 向量0 a 0 1 0 ca i 经过原点 O 以为方向向量的直线与经过定点 A 0 a 以为方向向量的直ci 2ic 线相交于点 P 其中试问 是否存在两个定点 E F 使得 PE PF 为定值 若存在 R 求出 E F 的坐标 若不存在 说明理由 解 解 1 0 0 a a 2 1 2 a i c c i i c 因此 直线 OP 和 AP 的方程分别为 和 axy axay 2 消去参数 得点的坐标满足方程 yxP 22 2 xaayy 整理得 1 2 2 8 1 2 2 2 a a y x 因为所以得 0 a i 当时 方程 是圆方程 故不存在合乎题意的定点 E 和 F 2 2 a ii 当时 方程 表示椭圆 焦点和为合乎题意的 2 2 0 a 2 2 1 2 1 2 a aE 2 2 1 2 1 2 a aF 两个定点 iii 当时 方程 也表示椭圆 焦点和为合 2 2 a 2 1 2 1 0 2 aaE 2 1 2 1 0 2 aaF 乎题意的两个定点 说明说明 由于向量可以用一条有向线段来表示 有向线段的方向可以决定解析几何中直 线的斜率 故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系 求解此类问题的关键 是 根据直线的方向向量得出直线方程 再转化为解析几何问题解决 例例 15 已知椭圆的长 短轴端点分别为 A B 从此椭圆上一 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 点 M 向 x 轴作垂线 恰好通过椭圆的左焦点 向量与是共线向量 1 FABOM 1 求椭圆的离心率 e 2 设 Q 是椭圆上任意一点 分别是左 右焦点 求 的取值范围 1 F 2 F 21QF F 解 解 1 a b ycxcF MM 2 1 0 则 ac b kOM 2 是共线向量 b c 故 ABOM a b kAB与 a b ac b 2 2 2 e 2 设 112212 1212 2 2 FQr F QrF QF rra FFc 2222222 12121 2 2 12 1 21 21 2 4 24 cos110 22 2 rrcrrrrcaa rr rrrrrr 当且仅当时 cos 0 21 rr 2 0 说明说明 由于共线向量与解析几何中平行线 三点共线等具有异曲同工的作用 因此 解析 几何中与平行线 三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题 求解此类 问题的关键是 正确理解向量共线与解析几何中平行 三点共线等的关系 把有关向量的 问题转化为解析几何问题 例例 16 一条斜率为 1 的直线 与离心率为的椭圆 C l 2 2 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 交于 P Q 两点 直线 与 Y 轴交于点 R 且 求直线 和l3 OQOPRQPR3 l 椭圆 C 的方程 解 解 椭圆离心率为 2 2 a c 2 2 22 2ba 所以椭圆方程为 设 方程为 1 2 2 2 2 2 b y b x lmxy 2211 yxQyxP 由消去得 mxy b y b x 1 2 2 2 2 2 y02243 222 bmmxx 0 3 8 22 3416 22222 bmbmm 22 3mb 1 2 mxx 3 4 21 3 2 22 21 bmxx 所以3 OQOP3 2121 yyxx 而 2 21212121 mxxmxxmxmxyy 所以 3 2 2 2121 mxxmxx3 3 4 3 4 2222 mmbm 所以 3 又 943 22 bm 0 mRRQPR3 从而 4 由 1 2 4 3 2211 myxymx 21 3xx 得 5 22 3bm 由 3 5 解得 适合 3 2 b1 m 所以所求直线 方程为 或 椭圆 C 的方程为l1 xy1 xy1 36 2 2 yx 说明说明 向量数量积的坐标表示 构建起向量与解析几何的密切关系 使向量与解析几何融 为一体 求此类问题的关键是 利用向量数量积的坐标表示 沟通向量与解析几何的联系 体现了向量的工具性 例例 17 已知椭圆 C 的中心在原点 焦点 F1 F2在 x 轴上 点 P 为椭圆上的一个动点 且 F1PF2的最大值为 90 直线 l 过左焦点 F1与椭圆交于 A B 两点 ABF2的面积最 大值为 12 1 求椭圆 C 的离心率 2 求椭圆 C 的方程 解法一 解法一 1 设 对 由余弦定理 得 cFFrPFrPF2 212211 21F PF 1 2 2 44 1 2 44 2 42 2 4 cos 221 22 21 22 21 2 21 2 21 21 22 2 1 1 21 rr ca rr ca rr crrrr rr crr PFF 解出 021 2 e 2 2 e 2 考虑直线 的斜率的存在性 可分两种情况 l i 当 k 存在时 设 l 的方程为 cxky 椭圆方程为 1 2211 2 2 2 2 yxByxA b y a x 由 得 2 2 e 2222 2cbca 于是椭圆方程可转化为 022 222 cyx 将 代入 消去得 y 02 2 2222 ccxkx 整理为的一元二次方程 得 x 0 1 24 21 22222 kcxckxk 则 x1 x2是上述方程的两根 且 2 2 12 21 122 k kc xx 2 2 12 2 21 1 22 1 k kc xxkAB AB 边上的高 1 2sin 2 2121 k k cFBFFFh c k k k k cS2 1 21 1 22 2 1 2 2 2 224 2222 224 42 1 1 2 22 22 22 1 12144 4 kkkk cccc kkk kk ii 当 k 不存在时 把直线代入椭圆方程得cx 2 22 2 1 2 2 2 ccScABcy 由 知 S 的最大值为 由题意得 12 所以 2 2c 2 2c 22 26bc 212 2 a 故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为 1 26212 22 yx 解法二 解法二 设过左焦点的直线方程为 cmyx 椭圆的方程为 1 2211 2 2 2 2 yxByxA b y a x 由得 于是椭圆方程可化为 2 2 e 2 2222 cbca 022 222 cyx 把 代入 并整理得 02 2 222 cmcyym 于是是上述方程的两根 21 y y 1 12 22 21 2 21 yymyyxxAB 2 2 44 1 2 2222 2 m mccm m 2 1 22 2 2 m mc AB 边上的高 2 1 2 m c h 从而 2 2 2 2 2 2 2 1 22 1 2 2 1 22 2 1 2 1 m m c m c m mc hABS 2 2 1 1 1 1 22 2 2 2 2 c m m c 当且仅当 m 0 取等号 即 2 2 max cS 由题意知 于是 122 2 c212 26 222 acb 故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为 1 26212 22 yx 例例 18 2002 年天津高考题 已知两点 M 1 0 N 1 0 且点 P 使 成公差小于零的等差数列 NPNMPNPMMNMP 点 P 的轨迹是什么曲线 若点 P 坐标为 为的夹角 求 tan 00 yx PNPM与 解 解 记 P x y 由 M 1 0 N 1 0 得 1 yxMPPM 1 yxNPPN 0 2 NMMN 所以 1 2xMNMP 1 22 yxPNPM 1 2xNPNM 于是 是公差小于零的等差数列等价于NPNMPNPMMNMP 即 0 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 22 xx xxyx 0 3 22 x yx 所以 点 P 的轨迹是以原点为圆心 为半径的右半圆 3 点 P 的坐标为 00 yx21 2 0 2 0 yxPNPM 22 222 0000000 1 1 42 42 2 4PM PNxyxyxxx 因为 0 所以 2 0 1 cos 4 PM PN PMPNx 所以3 0 x 3 0 1cos 2 1 4 1 1cos1sin 2 0 2 x 3 4 1 4 1 1 cos sin tan 0 2 0 2 0 2 0 yx x x 说明说明 在引入向量的坐标表示后 可以使向量运算代数化 这样就可以将 形 和 数 紧密地结合在一起 向量的夹角问题融入解析几何问题中 也就显得十分自然 求解这类 问题的关键是 先把向量用坐标表示 再用解析几何知识结合向量的夹角公式使问题获解 也可以把两向量夹角问题转化为两直线所成角的问题 用数形结合方法使问题获解 xo y C T M B A 七 强化训练七 强化训练 1 已知 P 是以 为焦点的椭圆上一点 若 1 F 2 F 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 则椭圆的离心率为 0 21 PFPF 2 1 tan 21 FPF A B C D 2 1 3 2 3 1 3 5 2 已知 ABC 的顶点 A 3 1 AB 边上的中线所在直线的方程为 6x 10y 59 0 B 的平分线所在直线的方程为 x 4y 10 0 求边 BC 所在直线的方程 3 求直线 l2 7x y 4 0 到 l1 x y 2 0 的角平分线的方程 4 4 已知三种食物 P Q R 的维生素含量与成本如下表所示 现在将 xkg 的食物 P 和 ykg 的食物 Q 及 zkg 的食物 R 混合 制成 100kg 的混合物 如 果这 100kg 的混合物中至少含维生素 A44 000 单位与维生素 B48 000 单位 那么 x y z 为何值时 混合物的成本最小 5 5 某人有楼房一幢 室内面积共 180 拟分隔成两类房间作为旅游客房 大房间每 2 m 间面积为 18 可住游客 5 名 每名游客每天住宿费为 40 元 小房间每间面积为 2 m 15 可住游客 3 名 每名游客每天住宿费为 50 元 装修大房间每间需 1000 元 装修小 2 m 房间每间需 600 元 如果他只能筹款 8000 元用于装修 且游客能住满客房 他应隔出大房 间和小房间各多少间 能获得最大收益 6 已知 ABC 三边所在直线方程 AB x 6 0 BC x 2y 8 0 CA x 2y 0 求此三 角形外接圆的方程 7 已知椭圆 x2 2y2 12 A 是 x 轴正方向上的一定点 若过点 A 斜率为 1 的直线被 椭圆截得的弦长为 求点 A 的坐标 3 134 8 已知椭圆 a b 0 上两点 A B 直线上有两点1 2 2 2 2 b y a x kxyl C D 且 ABCD 是正方形 此正方形外接圆为 x2 y2 2y 8 0 求椭圆方程和直线 的方程 l 9 求以直线为准线 原点为相应焦点的动椭圆短轴 MN 端点的轨迹方程 2 xl 10 若椭圆的对称轴在坐标轴上 两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点 又 焦点到同侧长轴端点的距离为 求椭圆的方程 12 11 已知直线与椭圆相交于 A B 两点 且线段1 xy 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 食物 P食物 Q食物 R 维生素 A 单位 kg 400600400 维生素 B 单位 kg 800200400 成本 元 kg 654 AB 的中点在直线上 02 yxl 求此椭圆的离心率 2 若椭圆的右焦点关于直线 的对称点的在圆上 求此椭圆的方程 l4 22 yx 12 设 A x1 y1 为椭圆 x2 2y2 2 上任意一点 过点 A 作一条直线 斜率为l 又设 d 为原点到直线 的距离 r1 r2分别为点 A 到椭圆两焦点的距离 求证 1 1 2y x l 为定值 drr 21 13 某工程要将直线公路 l 一侧的土石 通过公路上的两个道口 A 和 B 沿