（试题 试卷 真题）专题54 矩形的性质【教师版】

专题54 矩形的性质【母题来源】2013年山东青岛第21题（8分）【母题原题】已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点（1）求证：ABMDCM（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD：AB= _时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）A=90，ABM=AMB=45。同理DMC=45。EMF=180-45-45=90。四边形MENF是菱形，菱形MENF是正方形。 1. 【2013年四川眉山9分】在矩形ABCD中，DC=2，CFBD分别交BD、AD于点E、F，连接BF（1）求证：DECFDC；（2）当F为AD的中点时，求sinFBD的值及BC的长度【答案】解：（1）证明：DEC=FDC=90，DCE=FCD，DECFDC。（2）F为AD的中点，ADBC，FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC。FE：FC=1：3，。设EF=x，则FC=3x，DECFDC，即：6x2=12，解得：x=。CF=3。在RtCFD中，。BC=2DF=2。【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】（1）根据题意可得DEC=FDC，利用两角法即可进行相似的判定。（2）根据F为AD的中点，可得FB=FC，根据ADBC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sinFBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，设EF=x，则EC=2x，利用（1）的结论求出x，在RtCFD中求出FD，继而得出BC。2. 【2013年浙江绍兴12分】若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD中，BC=2AB，则称ABCD为方形（1）设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值（一组即可）（2）在ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结为一边作矩形，使这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图2所示若BC=25，BC边上的高为20，判断以B1C1为一边的矩形是不是方形？为什么？若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比【答案】解：（1）答案不唯一，如a=2，b=4。（2）以B1C1为一边的矩形不是方形。理由如下：过A作AMBC于M，交B1C1于E，交B2C2于H，交B3C3于G，交B4C4于N，则AMB4C4，AMB3C3，AMB2C2，AMB1C1，由矩形的性质得：BCB1C1B2C2B3C3B4C4，ABCAB1C1AB2C2AB3C3AB4C4，。AM=20，BC=25，B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16。MN=GN=GH=HE=4。BQ=B2O=B3Z=B4K=4，即B1C12B1Q，B1Q2B1C1。以B1C1为一边的矩形不是方形。设AM=h，以B3C3为一边的矩形为方形，ABCAB3C3。，。AG=h。MN=GN=GH=HE=h。当B3C3=2h，时，；当B3C3=h时，综合上述：BC与BC边上的高之比是或。 3.【2014年大庆市房顶中学】如图，在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=8cm，点P从A开始沿折线ABCD以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）当t为何值时，四边形QPBC为矩形？【答案】根据题意得：CQ=2t，AP=4t，则BP=24-4t.四边形ABCD是矩形，B=C=90，CDAB.只有CQ=BP时，四边形QPBC是矩形,即2t=24-4t，解得：t=4.答：当t=4s时，四边形QPBC是矩形【考点】矩形的判定和性质。【分析】求出CQ=2t，AP=4t，BP=24-4t，由已知推出B=C=90，CDAB，推出CQ=BP时，四边形QPBC是矩形，得出方程2t=24-4t，求出即可.4. 【原创题1】如图1，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别是BC、CD边上的点，且AEEF，BE=2，（1）求证：AE=EF；（2）延长EF交矩形BCD的外角平分线CP于点P（图2），试求AE与EP的数量关系；【答案】（1）AEEF，BEA+CEF=90。四边形ABCD为矩形，B=C=90。BAE +BEA =90。BA E=CEF。又AB=DC=6，BC=8，BE=2，AB=EC=6。ABEECF（ASA）。AE=EF。（2）如图，在AB上取一点M，使BM=BE，连接ME。AM=CE。BME=45。AME=135。CP是外角平分线，DCP=45。ECP=135。AME=ECP。由（1）知MA E=CEP，AMEECP。AM=2，EC=3，。AE与EP的数量关系是。【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，外角平分线定义，相似三角形的判定和性质。 5. 【原创题2】如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点（1）求证：ADPABQ；（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设CP=x，BM2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；（3）若AD= a，AB=，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化当点M落在矩形ABCD内部时，求a的取值范围。【答案】（1）QAP=BAD=90，QAB=PAD。又ABQ=ADP=90，ADPABQ。（2）CP =x，CD=AB=20，DP =CDDP=。ADPABQ，即。QB=。如图，过点M作MNQC于点N，MNQC，CDQC，点M为PQ中点，点N为QC中点，MN为中位线，。在RtBMN中，由勾股定理得，y与x的函数关系式为：（0x20）。 ，当x=12即CP=8时，y取得最小