2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文数.docx

2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第卷(选择题,共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.i为虚数单位,i607=() A.iB.-iC.1D.-12.我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1 365石3.命题“x0(0,+),ln x0=x0-1”的否定是()A.x(0,+),ln xx-1B.x(0,+),ln x=x-1C.x0(0,+),ln x0x0-1D.x0(0,+),ln x0=x0-14.已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是()A.x与y正相关,x与z负相关B.x与y正相关,x与z正相关C.x与y负相关,x与z负相关D.x与y负相关,x与z正相关5.l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线;q:l1,l2不相交,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件6.函数f(x)=4-|x|+lgx2-5x+6x-3的定义域为()A.(2,3)B.(2,4C.(2,3)(3,4D.(-1,3)(3,67.设xR,定义符号函数sgn x=1,x0,0,x=0,-1,x0.则()A.|x|=x|sgn x|B.|x|=xsgn|x|C.|x|=|x|sgn xD.|x|=xsgn x8.在区间0,1上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y12”的概率,p2为事件“xy12”的概率,则()A.p1p212B.p212p1C.12p2p1D.p1120)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1b时,e1e2;当ae2C.对任意的a,b,e1e2D.当ab时,e1e2;当ab时,e10,|1时,记cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn.20.(本小题满分13分)九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连结DE,BD,BE.()证明:DE平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;()记阳马P-ABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求V1V2的值.21.(本小题满分14分)设函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,f(x)+g(x)=ex,其中e为自然对数的底数.()求f(x),g(x)的解析式,并证明:当x0时,f(x)0,g(x)1;()设a0,b1,证明:当x0时,ag(x)+(1-a) f(x)x0,即|x|4,(x-3)(x-2)x-30,解之得2x3或30,0,x=0,-x,x0,0,x=0,-x,x12,所以p112b时,1,e2e1;当ab时,1,e20时,f(x)的图象如图所示:(i)当a2时,a21,此时f(x)在0,1上为增函数,g(a)=f(1)=a-1;(ii)当1a2时,a21a,此时g(a)=fa2=a24;(iii)当0a1时,a2a1,此时g(a)=maxfa2,f(1),fa2-f(1)=a24-(1-a)=a2+4a-44,当0a22-2时,fa2f(1),g(a)=f(1)=1-a,当22-2f(1),g(a)=a24;当a0时f(x)的图象关于y轴对称,所以求a0时的最值即可.g(a)=1,a=0,1-a,0a22-2,a24,22-2a1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=2n-12n-1,于是Tn=1+32+522+723+924+2n-12n-1, 12Tn=12+322+523+724+925+2n-12n. -可得12Tn=2+12+122+12n-2-2n-12n=3-2n+32n,故Tn=6-2n+32n-1.20.解析()因为PD底面ABCD,所以PDBC.由底面ABCD为长方形,有BCCD,而PDCD=D,所以BC平面PCD.DE平面PCD,所以BCDE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DEPC.而PCBC=C,所以DE平面PBC.由BC平面PCD,DE平面PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形.即四面体EBCD是一个鳖臑,其四个面的直角分别是BCD,BCE,DEC,DEB.()由已知,PD是阳马P-ABCD的高,所以V1=13SABCDPD=13BCCDPD;由()知,DE是鳖臑D-BCE的高,BCCE,所以V2=13SBCEDE=16BCCEDE.在RtPDC中,因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE=CE=22CD,于是V1V2=13BCCDPD16BCCEDE=2CDPDCEDE=4.评析本题考查了线面垂直的判定和性质;考查体积的计算方法;考查了空间想象能力和运算求解能力.解题过程不规范容易造成失分.21.解析()由f(x),g(x)的奇偶性及f(x)+g(x)=ex, 得-f(x)+g(x)=e-x. 联立解得f(x)=12(ex-e-x),g(x)=12(ex+e-x).当x0时,ex1,0e-x0. 又由基本不等式,有g(x)=12(ex+e-x)exe-x=1,即g(x)1. ()由()得f (x)=12ex-1ex=12ex+exe2x=12(ex+e-x)=g(x), g(x)=12ex+1ex=12ex-exe2x=12(ex-e-x)=f(x), 当x0时,f(x)xag(x)+(1-a)等价于f(x)axg(x)+(1-a)x, f(x)xbg(x)+(1-b)等价于f(x)0时,(1)若c0,由,得h(x)0,故h(x)在0,+)上为增函数,从而h(x)h(0)=0,即f(x)cxg(x)+(1-c)x,故成立.(2)若c1,由,得h(x)0,故h(x)在0,+)上为减函数,从而h(x)h(0)=0,即f(x)cxg(x)+(1-c)x,故成立.综合,得ag(x)+(1-a) f(x)x14时,SOPQ=84k2+14k2-1=81+24k2-18;当0k214时,SOPQ=84k2+11-4k2=8-1+21-4k2.因0k214,则01-4k21,21-4k22,所以SOPQ=8-1+21-4k2