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第5章 归纳法范文 第二部分基于递归的技术基于递归的技术?递归?是将问题分解为一个或者多个与原问题结构相同的?子问题，并由这些子问题的解得到原问题解的过程。 ?三种情形?归纳法，或尾递归?-第五章归纳法?子问题无重叠的情形?-第六章分治法?子问题有重叠的情形（用空间换时间）?-第七章动态规划第五章归纳?引言?基数排序（Radix Sort）?求整数次幂?多项式求值?产生排列?找主元素（Majority Element）引言?数学归纳法的基本模式?（用于证明问题）?递归算法的基本模式?（用于求解问题）?递归算法的特点?例例1选择排序（Selection Sort）?例例2插入排序（Insertion Sort）数学归纳法的基本模式(用于证明问题)?1.n=1,f (1)成立；?2.假设k ?利用f (1)、f(n-1)得证f(n)也成立。 ?3.综上所述，?对于所有的n1，都有f(n)成立。 ?归纳原理递归算法的基本模式(用于求解问题)1.n=1,f (1)(直接求解)；2.(递归)求解f(k)（k (1)、f(n-1)得f(n)注一般来说，求f(k)（k (1)、f(n-1)得到f(n)。 归纳原理。 归纳原理递归算法的基本模式(用于求解问题)递归算法的框架f(n)n=1,f (1)(直接求解)；n1,(递归)求解f(k)（k (1)、f(n-1)求得f(n)；注关键步骤是由f (1)、f(n-1)得到f(n)。 其正确性可使用归纳法来证明。 递归算法的特点优点1.读写简明；2.算法的正确性易于用数学归纳法来证；3.算法的复杂性往往可利用递归关系来分析缺点1.算法的执行流程不易理解；2.递归调用往往需要额外的时空开销例例1选择排序（Selection sort）算法思想Ain排序若ni,将Ain中最小元素找出，并换至Ai处；Ai+1n排序(递归调用);时间复杂度时间复杂度例例2插入排序算法思想A1i排序若i1,A1i-1排序(递归调用);将Ai插入到A1i-1中的适当位置处；基数排序（Radix Sort）问题要求对问题要求对n个数的序列L=a1,a2,an进行排序，其中每个数恰好由进行排序，其中每个数恰好由k位数字组成，每位数字均取自0,1,9。 算法思想。 算法思想:对于k使用归纳法。 ?Algorithm5.3RADIXSORT?复杂度时间复杂度Q(kn)空间复杂度Q(n)求整数次幂?问题求实数问题求实数x的n次幂，即xn，其中n为一个非负整数。 多项式求值产生排列（Generating Permutations）?问题要求产生问题要求产生1,2,n的所有排列。 ?算法1?思想12,3,n的排列，21,3,n的排列，n1,2,n-1的排列。 ?Algorithm5.7PERMUTATIONS1?时间复杂度:Q(nn!)找主元素（Findin
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