城市地质环境的演变模式.doc

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 湖南工学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 李鹏飞 2. 黄冠文 3. 谭晓希 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 周斌老师 日期： 2011年 8 月 19 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 关于产品的质量控制与成本核算问题的研究摘 要本文主要对产品的质量控制与成本核算进行了探讨。基于单位产品单价及加工成本两种两种因素，问题可归纳为产品的平均利润最大化的非线性优化问题。针对问题一：通过对问题的合理理解和分析，我们列出了最大利润方程,即maxF=P-(C/k+P3)。 因为本题中零件参数是服从独立均匀分布的随机变量，为此建立二维随机变量概率密度模型，利用其解析性质求最优解。随后， 我们确定了随机变量 X,Y 的概率分布密度表达式，列出了二维随机变量（X,Y）的联合分布密度，并用卷积公式求出了Z的概率密度，利用和范围限制作图求出Z不同区间内的概率密度函数。然后根据参数值 Z与目标值1的偏差Z-1确定正、次、废品的范围，对 Z 进行积分，得到了正频率与废品率，它们都是关于k的函数。最后是带入原利润方程求解，求解过程中需要根据不同的Z值所采用的积分式进行讨论，最终通过lingo的编程，求得了在利润最大的情况下所使用的加工精度k=0.110473，并进而优化搜索得到了应该采用的标定值Z0=0.992108。最终得到最大利润1735.04 正品率0.742586 次品率0.257414。 针对问题二：在第一问的基础上，我们得到了利润与 Z,C,K 的函数关系式，在利润等于零的情况下，使用lingo进行编程计算，获得了C的值为7.17382 。关键词： 零件参数 优化问题 边缘分布 联合概率 一. 问题重述某厂计划大规模生产的一种产品由零件A及零件B组成，设零件L的参数与零件B的参数是独立的均匀分布的随机变量，产品的参数目标值是1.当产品参数值与目标值1的偏差在r1，( r1=1/100)之内时是正品; 偏差在r1到r2之间时是次品，r2=2/100; 偏差在r2之外是废品. 正品的市场价单价是P1=4000(元), 次品的市场价单价是P2=3000(元), 不算加工费时各种成本折算后每件的成本为P3=2000(元). 为了成本核算, 考虑付了加工费后是否值得生产. 若用相对精度为k, (0k1) 的机器加工这两个零件, 设X的标定值是， 最大偏差, Y的标定值是，最大偏差 .已知每个零件的加工费用与k成反比, 比例系数都是常数C. 每月的原材料量是固定的. 请完成以下任务(1). 当C=0.833292时, 求Z 的标定值；以及使得单位产品的平均利润达到最大的加工精度k；并求出单位产品的平均利润达到最大时的平均利润、正品率及次品率.(2). 当C的值多大时最大的平均利润等于零（各数值最终结果舍入精确到6位有效数字） 二.模型假设与符号说明2.1 模型基本假设 1、生产的产品能够全部售出。2、 对同一种零件，其参数值的最大偏差值只于自身标定值大小有关。3、 每件产品原材料量固定。 4、 每月的原材料充足，能够保证完成当月生产计划。5、 零件的标定值在其允许范围内可连续变化，不考虑其他情况。 6、产品参数Z与零件参数的关系只由题中所给公式决定，与其他因素无关。 7、各个零件的标定值和偏差相互独立。 8、与正次品相关的偏差值 r1、r2为定值，不因其他因素改变。 2.2 符号说明 在该符号系统中，i可取1、2、3对应的L分别代表正、次、废品。 产品参数的标定值 零件L的参数 零件L的参数的标定值 零件B的参数 零件B的参数的标定值 正品的参数值与目标值的最大偏差值 次品的参数值与目标值的最大偏差值 产品的平均市场价单价 正品的市场价单价 次品的市场价单价 不算加工费时各种成本折算后的每件成本 单位产品的加工总成本 零件的最大偏差与其标定值的相关比例系数 每个零件的加工费用与 k的比例常数 正次品率 利润函数 X的概率密度函数 Y的概率密度函数 三.问题分析 产品 3.1 相关关系图表 组成 组成 L零件 B零件 （图1） 由题可以得产品与L、B零件的关系如（图1）所示 标准 产品Z-1(参数值与Z目标值1的偏差) 正品 （-r1,r1） 次品 （-r2,-r1）U (r1,r2） 废品 ( ,-r2) U（r2,) （表一） 从题目中获取信息，得到上面的产品在各种偏差下的定义表格如 （表一） 物品 数值产品L零件B零件 参数 Z = XY X Y 标定值= （表二） 从题目中可提炼出产品、L、B零件的参数和标定值如（表二）3.2 关于问题的分析 问题主要是对单位产品平均利润进行求解，平均利润由产品单价及加工成本决定。基于以上两种因素，问题可归纳为产品平均利润最大化的非线性优化问题。 对产品的质量控制及成本核算需要进行零件参数设计，就是要确定它的标定值和偏差值。偏差值越小，质量损失越小，加工费用越高，市场单价越高；偏差值越大，质量损失越大，加工费用越低，市场单价越低。故进行参数设计时要综合考虑加工费用和市场单价，使平均利润最大。 平均利润=（总的销售利润-成本)/产品个数 本题中零件参数是独立的均匀分布的随机变量，对此建立二维随机变量概率密度模型，并得到边缘概率密度和联合概率密度的相应关系式，利用其解析性质求最优解。 四.模型建立与求解4.1 问题一 模型建立过程： 1、产品的平均市场单价 + + = 平均市场单价由正次品率决定，而正次品率又由产品参数值对目标值的偏差决定。因此对零件进行最优化参数设计。本题中零件 L、B 的参数X，Y是独立的均匀的随机变量，偏差值在允许范围内连续分布，建立二维随机变量函数的概率密度模型： 求出X的均匀分布概率密度为： - 求出Y的均匀分布概率密度为： 求Z=XY 的概率密度分布函数：(过程如下) 设（x,y）的密度函数为f（x,y）,则的分布函数为： 令u=X,v=XY 即X=u， Y=v/u 则雅可比行列式为： 于是代入上式得 因为= 于是有： 当X和Y相互独立时有： X的均匀分布概率密度与Y的均匀分布概率密度中X、Y的范围得： 又 得： 所以 因此X的范围为： 利用图像法解X的不等式方程组如下：令 为直线 为直线 为直线 为直线图2 X的范围为直线、围成的区域（如图2所示）所以 当 时 ， ， 所以 当 时 。 综上所述： , 正品、次品、废品率 分别为： 2、单位产品的成本 模型建立 对最大利润建立目标函数： 约束条件： S.t 模型求解对独立均匀分布的随机变量 X、Y 进行非线性规划算法，求解出以上目标模型的最优解。=因为 、与0.98、0.99、1.01、1.02大小不能判断，所以必须要进行分类讨论。讨论过程如下：令, , 则如图3所示：（1） 、当 S1.02时：求得、为：.用lingo编程见附录1求得此情况时的最优解不成立。（2） 、当01.02情况时：求得、为： 用lingo编程见附录2求得此情况时的最优解不成立。(3) 、当S0.98，0.99O1.02情况时：求得、为：用lingo编程见附录3求得此情况时的最优解不成立。(4)、当S0.98，0.98O1.02情况时：求得、为：用lingo编程见附录4求得此情况时的最优解为：最大利润：Max F=1735.04正品率：L1=74.2586%次品率：L2=25.7414%Z的标定值：Z0=0.992108相对精度：k=0.110473(5) 、当S0.98，1.01O1.02情况时：求得、为：用lingo编程见附录3求得此情况时的最优解不成立。综上所述：目标模型的最优解为：最大利润：Max F=1735.04正品率：L1=74.2586%次品率：L2=25.7414%Z的标定值：Z0=0.992108相对精度：k=0.110473 4.2 问题二问题二是在利润等于零的前提下，求比例系数C的值。根据第一问的求解，我们得到了利润与 Z,C,K 的函数关系式，代入原利润方程式求解。目标函数： 约束条件： S.t 对问题二函数进行变量控制，对Z0、k、C进行求解，建立动态模型，用MLtlLb编程（程序见附录 6）求出最优解为： C=7.63236 五、模型优缺点 5.1 模型优点 1、模型提供了基于正品率和产品成本联合制约函数的一套核算利润的算法。 2、模型引入了概率论方法及变量分布函数以及考虑变量的概率密度分布函数建立 的模型，合情合理。 3、模型简单易行，计算机模拟实现方便操作。 5.2 模型缺点 1、对于模型中有些变量的量化有待进一步分析和优化。 2、模型忽略了较多随机变量因素，与实际情况有较大出入。 5.3 模型推广 本文建立的一般非线性模型不仅能很好的解决产品的质量控制与成本的问题，而且在现实生活中具有很强的实用性.同样在天然气管道的布置,各种网站网络的建设,空中电线的安排,各种铁轨的铺设及下水道的建设等都可以用到此模型。 六、参考文献 1 姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型M. 北京：高等教育出版社，2003年2 韩旭里 谢永钦 概率论与数理统计 复旦大学出版社 2006 年 3 刘会灯 朱飞 编程基础与典型应用 人民邮电出版社 2008年4 王沫然 MATLAB与科学计算 电子工业出版社 2010年5 零件的参数设计模型 百度文库 /view/53107L37f111f18583d05aac.html 七.附录7.1附录1max=4000*L1+3000*L2+0-(0.833292/k+2000);b=1/(4*x0*y0*k2);o=(1-k2)*x0*y0;S=x0*yo*(1-k)2;q=x0*y0*(1+k)2;L1=b*(1.01*log(1.01/S)-1.01)-(0.99*log(0.99/S)-0.99);L2=b*(1.02*log(1.02/S)-1.02)+(0.99*log(0.99/S)-0.99)-(1.01*log(1.01/S)-1.01)-(0.98*log(0.98/S)-0.98);L3=b*(0.98*log(0.98/S)-0.98)-(o*log(o/S)-o)+(o*log(o/o)-o)-(1.02*log(1.02/S)-1.02);k1;L1+L2+L3=1;S1.02;7.2 附录2max=4000*L1+3000*L2+0-(0.833292/k+2000);b=1/(4*x0*y0*k2);o=(1-k2)*x0*y0;S=x0*yo*(1-k)2;q=x0*y0*(1+k)2;L1=(1.01-1.01*log(q/1.01)-(0.99-0.99*log(q/0.99)*b;L2=(1.02-1.02*log(q/1.02)-(1.01-1.01*log(q/1.01)+(0.99-0.99*log(q/0.99)-(0.98-0.98*log(q/0.98);L3=(0.98-0.98*log(q/0.98)-(o-o*log(q/o)+(q-q*log(q/q)-(1.02-1.02*log(q/1.02);k1;L1+L2+L3=1;o1.02;7.3附录3max=4000*L1+3000*L2+0-(0.833292/k+2000);b=1/(4*x0*y0*k2);o=(1-k2)*x0*y0;S=x0*yo*(1-k)2;q=x0*y0*(1+k)2;L1=(o*log(o/S)-o)-(0.99*log(0.99/S)-0.99)+(1.01-1.01*log(q/1.01)-(o-0*log(q/o)*b;L2=(0.99*log(0.99/S)-0.99)-(0.98*log(0.98/S)-0.98)+(1.02-1.02*log(q/1.02)-(1.01-1.01*log(q/1.01)*b;L3=(0.98*log(0.98/S)-0.98)-(S*log(S/S)+(q-q*log(q/q)-(1.02-1.02*log(q/1.02)*b;S1.02;o0.99;k1;L1+L2+L3=1;7.4附录4max=4000*L1+3000*L2+0-(0.833292/k+2000);b=1/(4*x0*y0*k2);o=(1-k2)*x0*y0;S=x0*yo*(1-k)2;q=x0*y0*(1+k)2;L2=b*(1.01*log(1.01/S)-1.01)-(0.99*log(0.99/S)-0.99);L1=(o*log(o/S)-o)-(0.98*log(0.98/S)-0.98)+(0.99-0.99*log(q/0.99)-(o-o*log(q/o)+(1.02-1.02*log(q/1.02)-(1.01-1.01*log(q/1.01)*b;L3=(0.98*log(0.98/S)-0.98)-(S*log(S/S)+(q-q*log(q/q)-(1.02-1.02*log(q/1.02)*b;S1.02;o0.98;k1;L1+L2+L3=1;7.5附录5max=4000*L1+3000*L2+0-(0.833292/k+2000);b=1/(4*x0*y0*k2);o=(1-k2)*x0*y0;S=x0*yo*(1-k)2;q=x0*y0*(1+k)2;L1=b*(1.01*l