高考数学 5.2证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式配套课件 理 新人教A版选修4.ppt

第二节证明不等式的基本方法 数学归纳法证明不等式 三年3考高考指数 1 了解证明不等式的基本方法 比较法 综合法 分析法 反证法 放缩法等 2 理解数学归纳法的原理及其使用范围 会用数学归纳法证明一些简单问题 3 理解会用数学归纳法证明贝努利不等式 1 x n 1 nx x 1 x 0 n为大于1的自然数 了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立 1 利用综合法 分析法证明不等式是高考的热点 且常与函数 三角 基本不等式联系在一起综合考查 2 数学归纳法和放缩法常和数列问题综合考查 是高考对本节内容考查的重点 也是难点 1 比较法比较法是证明不等式最基本的方法 有作差比较法和作商比较法两种 1 作差比较法的理论依据是a b a0 1 b1 a b 0 a b 0 a b 0 a b a b 即时应用 1 思考 作差比较法和作商比较法主要适合的类型是什么 提示 作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明 作商比较法主要适用于积 商 幂 对数 根式形式的不等式的证明 2 已知a b 1 则的大小关系是 解析 a b 1 a 1 b 1 0 答案 2 综合法与分析法 1 综合法一般地 从出发 利用 公理 性质等 经过一系列的 而得出命题成立 这种证明方法叫做综合法 综合法又叫或由因导果法 已知条件 定义 定理 推理 论证 顺推证法 2 分析法证明命题时 从出发 逐步寻求使它成立的 直至所需条件为或 定义 公理或已证明的定理 性质等 从而得出要证的命题成立 这种证明方法叫做分析法 这是一种 的思考和证明方法 要证的结论 条件 已知条件 一个明显成立的事实 充分 执果索因 即时应用 1 思考 用综合法和分析法证明不等式有怎样的逻辑关系 提示 综合法 a b1 b2 bn b 逐步推演不等式成立的必要条件 即由条件出发推导出所要证明的不等式成立 分析法 b b1 b2 bn a 步步寻求不等式成立的充分条件 总之 综合法与分析法是对立统一的两种方法 2 已知等比数列 an 的各项均为正数 且公比q 1 若则p与q的大小关系为 解析 由等比数列的性质 a2a9 a4a7 由已知a2 0 a9 0 a2 a9 p q 答案 p q 3 反证法 1 假设要证的命题 以此为出发点 结合已知条件 应用公理 定义 定理 性质等 进行正确的推理 得到和 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 矛盾的结论 以说明假设不正确 从而证明 我们把它称为反证法 2 证明步骤 反设 推理 归谬 肯定原结论 不成立 命题的条件 原命题成立 即时应用 1 思考 若a b c 0 1 则 1 a b 1 b c 1 c a能否同时大于 提示 假设 1 a b 1 b c 1 c a同时大于 即有 1 a b 1 b c 1 c a 三式同向相乘 得 1 a a 1 b b 1 c c 又 1 a a 1 b b 1 c c 与假设矛盾 故 1 a b 1 b c 1 c a不能同时大于 2 否定 自然数a b c中恰有一个为偶数 时正确的反设为 解析 三个自然数的奇偶情况有 三偶 三奇 二偶一奇 二奇一偶 4种 而自然数a b c中恰有一个为偶数只包含 二奇一偶 的情况 故反设为a b c中至少有两个偶数或都是奇数 答案 a b c中至少有两个偶数或都是奇数 4 放缩法 1 证明不等式时 通过把不等式中的某些部分的值 或 简化不等式 从而达到证明的目的 我们把这种方法称为放缩法 2 理论依据a b b c a c 放大 缩小 即时应用 1 lg9 lg11与1的大小关系是 2 设x 0 y 0 则a与b的大小关系是 解析 1 lg9 0 lg11 0 lg9 lg11 1 2 x 0 y 0 a b 答案 1 lg9 lg11 1 2 a b 5 数学归纳法当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时 可以用以下两个步骤 证明当 时命题成立 假设当n k k n 且k n0 时命题成立 证明 时命题也成立 在完成了这两个步骤后 就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立 这种证明方法称为数学归纳法 n n0 n k 1 即时应用 1 思考 数学归纳法中的n0一定是1吗 为什么 提示 n0不一定是1 一般是指适合命题的第一个正整数 比如证明凸n边形的内角和f n n 2 180 这里面的n应不小于3 即n 3 n n 第一个值n0 3 2 某个命题与正整数n有关 如果当n k时该命题成立 那么可推导出当n k 1时也成立 现已知n 12时 该命题不成立 那么可推得n 时 该命题不成立 解析 n 12时 命题不成立 n 11时命题不成立 同理n 10 9 8 2 1时命题均不成立 答案 1 2 3 11 用比较法证明不等式 方法点睛 1 作差比较法 1 作差比较法的一般步骤是 作差 变形 判断符号 得出结论 其中 变形整理是关键 变形的目的是为了判断差的符号 常用的变形方法有 因式分解 配方 通分 拆项 添项等 2 若所证不等式的两边是整式或分式多项式时 常用作差比较法 2 作商比较法 1 作商比较法的一般步骤是 作商 变形 判断与1的大小关系 得出结论 2 利用作商比较法时 要注意分母的符号 提醒 当不等式的两边为对数式时 可用作商比较法证明 另外 要比较的两个解析式均为正值 且不宜用作差比较法时 也常用作商比较法 例1 求证 1 当x r时 1 2x4 2x3 x2 2 当a b 0 时 aabb 解题指南 第 1 小题的不等式为一元型的整式不等式 因此可考虑利用作差比较法证明 第 2 小题是幂指数型的不等式 可考虑采用作商比较法证明 规范解答 1 方法一 1 2x4 2x3 x2 2x3 x 1 x 1 x 1 x 1 2x3 x 1 x 1 2x3 2x x 1 x 1 2x x2 1 x 1 x 1 2 2x2 2x 1 x 1 2 2 x 2 0 1 2x4 2x3 x2 方法二 1 2x4 2x3 x2 x4 2x3 x2 x4 2x2 1 x 1 2 x2 x2 1 2 0 1 2x4 2x3 x2 2 当a b时 1 当a b 0时 1 0 则 1 当b a 0时 0 1 0 则 1 综上可知 当a b 0 时 aabb 成立 互动探究 1 在保持例 2 的条件下 若a b 试比较 a2 b2 a b 与 a2 b2 a b 的大小 解析 a2 b2 a b a2 b2 a b a b a2 b2 a b 2 2ab a b 又 0 a b 2ab 0 a b 0 2ab a b 0 即 a2 b2 a b a2 b2 a b 2 在例1 2 的条件下 证明 证明 当a b时 1 当a b 0时 0 1 0 1 当b a 0时 1 0 1 反思 感悟 1 利用作差比较法时 变形的目的在于判断差的符号 而不必考虑差的值是多少 若遇到结果符号不能确定的情况 这时要对差式进行分类讨论 2 在作商比较中 1 a b是不正确的 这与a b的符号有关 比如 若b 0 由 1 可得a b 但若b 0 则由 1得出的反而是a b 也就是说 在利用作商比较法时 要对a b的符号作出判断 变式备选 1 求证 x 1 x2 1 x x2 x 1 证明 因为 x 1 x2 1 x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 作差得 x 1 x2 1 x x2 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 0 x 1 x2 1 x x2 x 1 2 若实数x 1 求证 3 1 x2 x4 1 x x2 2 证明 3 1 x2 x4 1 x x2 2 3 3x2 3x4 1 x2 x4 2x 2x2 2x3 2 x4 x3 x 1 2 x 1 2 x2 x 1 x 1 从而 x 1 2 0 且 3 1 x2 x4 1 x x2 2 用综合法或分析法证明不等式 方法点睛 1 综合法与分析法的逻辑关系用综合法证明不等式是 由因导果 分析法证明不等式是 执果索因 它们是两种思路截然相反的证明方法 综合法往往是分析法的逆过程 表述简单 条理 清楚 所以在实际应用时 往往用分析法找思路 用综合法写步骤 由此可见 分析法与综合法相互转化 互相渗透 互为前提 充分利用这一辩证关系 可以拓宽解题思路 开阔知识视野 2 分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法 且和重要不等式 基本不等式没有直接联系 较难发现条件和结论之间的关系时 可用分析法来寻找证明途径 使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆 例2 1 已知a b c 0且互不相等 abc 1 试证明 2 已知a b c 1 求证 解题指南 1 由于a b c 0 abc 1 故故本题可考虑利用基本不等式解决 2 不等式左边为两两乘积的形式 而已知条件是a b c和的形式 因此将已知式两边平方 可得出a b c两两积及a2 b2 c2和的式子 然后再利用平均不等式将a2 b2 c2转化为a b c的两两积之和 得所证不等式 规范解答 方法一 a b c 0 且互不相等 abc 1 即 方法二 以上三式相加 得又 a b c互不相等 方法三 a b c是互不相等的正数 且abc 1 2 a b c 1 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 又 a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca 将以上三个不等式相加 得2 a2 b2 c2 2 ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ca 1 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca ab bc ca 2ab 2bc 2ca 3 ab bc ca ab bc ca 反思 感悟 本题条件中abc 1是解题的关键 可以先利用 1 的代换 构造利用基本不等式的条件 然后解决问题 也可以先利用基本不等式 然后通过 1 的代换来建立与之间的大小关系的 因此在综合法中 每一个题设条件所反馈出来的 信息 都是至关重要的 也都有可能成为解题的突破口 变式训练 设a b c 0 且ab bc ca 1 求证 1 2 证明 1 要证由于a b c 0 因此只需证明 a b c 2 3 即证 a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 而ab bc ca 1 故需证明 a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 ab bc ca 即证 a2 b2 c2 ab bc ca 而这可以由ab bc ca a2 b2 c2 当且仅当a b c时等号成立 证得 原不等式成立 2 在 1 中已证因此要证原不等式成立 只需证明即证即证 而 当且仅当a b c 33时等号成立 原不等式成立 变式备选 1 已知a 0 b 0 2c a b 求证 2 已知a b m都是正数 并且a b 求证 证明 1 方法一 综合法 因为a b 2c 所以a 2c b 又因为a 0 所以a2 2ac ab 所以 a c 2 c2 ab 所以所以所以 方法二 分析法 要证只需证即证 a c 即证 a c 2 c2 ab 即证a2 2ac ab a b 2c a 2c b 又a 0 a2 2ac ab显然成立 故原不等式成立 2 方法一 分析法要证原不等式成立 只需证b a m a b m 只需证bm am只需证b a已知上式成立 所以原不等式成立 方法二 综合法因为b a m是正数 所以bm am两边同时加上ab得b a m a b m 两边同时除以正数b b m 得 用反证法证明不等式 方法点睛 1 适宜用反证法证明的数学命题 1 结论本身是以否定形式出现的一类命题 2 关于唯一性 存在性的命题 3 结论以 至多 至少 等形式出现的命题 4 结论的反面比原结论更具体 更容易研究的命题 2 使用反证法证明问题时 准确地作出反设 即否定结论 是正确运用反证法的前提 常见的 结论词 与 反设词 列表如下 至少有一个 一个也没有 对所有x成立 存在某个x不成立 至多有一个 至少有两个 对任意x不成立 至多有n 1个 存在某个x成立 至少有n个 p或q p且 q 至多有n个 至少有n 1个 p且q p或 q 例3 1 若a3 b3 2 求证 a b 2 2 设二次函数f x x2 px q 求证 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于 解题指南 1 直接证明a b 2比较困难 可考虑从反面入手 运用反证法 导出矛盾 从而证得结论 2 当要证明几个代数式中至少有一个满足条件时 通常采用反证法进行 规范解答 1 方法一 假设a b 2 而a2 ab b2 但取等号的条件为a b 0 显然不可能 a2 ab b2 0 则a3 b3 a b a2 ab b2 2 a2 ab b2 而a3 b3 2 故a2 ab b2 1 1 ab a2 b2 2ab 从而ab 1 a2 b2 1 ab 2 a b 2 a2 b2 2ab 2 2ab 4 a b 2 这与假设矛盾 故a b 2 方法二 假设a b 2 则a 2 b 故2 a3 b3 2 b 3 b3 即2 8 12b 6b2 即 b 1 2 0 这不可能 从而a b 2 方法三 假设a b 2 则 a b 3 a3 b3 3ab a b 8 由a3 b3 2 得3ab a b 6 故ab a b 2 又a3 b3 a b a2 ab b2 2 ab a b a b a2 ab b2 a2 ab b2 ab 即 a b 2 0 这不可能 故a b 2 2 假设 f 1 f 2 f 3 都小于则 f 1 2 f 2 f 3 2 另一方面 由绝对值不等式的性质 有 f 1 2 f 2 f 3 f 1 2f 2 f 3 1 p q 2 4 2p q 9 3p q 2 两式的结果矛盾 所以假设不成立 原来的结论正确 反思 感悟 1 本题 1 三种方法均采用反证法 有的推至与假设矛盾 有的推至与已知事实矛盾 一般来说 结论的语气过于肯定或肯定 过头 时 都可以考虑采用反证法 2 因为本题 1 的已知条件非常少 为了增加可利用的条件 从反证法的角度来说 假设 也是已知条件 固而可考虑采用反证法 变式训练 1 若a b c均为实数 且a x2 2y b y2 2z c z2 2x 求证 a b c中至少有一个大于0 2 已知a b c r f x ax2 bx c 若a c 0 f x 在 1 1 上最大值为2 最小值为求证 a 0且 证明 1 假设a b c都不大于0 即a 0 b 0 c 0 则a b c 0 而a b c x 1 2 y 1 2 z 1 2 3 3 0 且 x 1 2 y 1 2 z 1 2 0 a b c 0 这与a b c 0矛盾 因此a b c中至少有一个大于0 2 由a c 0得c a f x ax2 bx a 假设a 0或 由a 0 得f x bx 依题意知b 0 又f x 在 1 1 上是单调函数 f x 的最大值为 b 最小值为 b 于是 b 2 b 显然矛盾 故a 0 由得且a 0 因f x 在 1 1 上单调 故其最大值为 b 最小值为 b 由 知这是不可能的 所以不成立 综合 可知 假设不成立 故a 0且 用放缩法或数学归纳法证明不等式 方法点睛 放缩法或数学归纳法证明不等式的技巧 1 与自然数n有关的不等式证明问题 如果用常规方法有困难 可以考虑利用数学归纳法来证明 在利用数学归纳法证明不等式时 在第二步骤中 要注意利用归纳假设 同时 这一步骤往往会涉及到分析法 放缩法等综合方法 2 放缩法证明不等式 就是利用不等式的传递性证明不等关系 即要证a b 只需先证明a p 且p b 其中p的确定是最重要 也是最困难的 要凭借对题意的深刻分析 对式子巧妙变形的能力以及一定的解题经验 例4 在数列 an bn 中 a1 2 b1 4 且an bn an 1成等差数列 bn an 1 bn 1成等比数列 1 求a2 a3 a4及b2 b3 b4 由此猜测 an bn 的通项公式 并证明你的结论 2 证明 解题指南 问题 1 属于归纳 猜想问题 应利用数学归纳法证明 问题 2 可通过缩小分母 即放大不等式的左侧来证明不等式 规范解答 1 由条件得2bn an an 1 an 12 bnbn 1 由此可得a2 6 b2 9 a3 12 b3 16 a4 20 b4 25 猜测an n n 1 bn n 1 2 用数学归纳法证明 当n 1时 由上可得结论成立 假设当n k k 1且k n 时 结论成立 即ak k k 1 bk k 1 2 那么当n k 1时 ak 1 2bk ak 2 k 1 2 k k 1 k 1 k 2 所以当n k 1时 结论也成立 由 可知an n n 1 bn n 1 2对一切正整数都成立 2 当n 1时 结论成立 当n 2时 由 1 知an bn n 1