九年级数学上册《一元二次方程》全章复习巩固(教师版)知识点+详细解析.doc

让更多的孩子得到更好的教育一元二次方程全章复习知识讲解 【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法【知识网络】 【要点梳理】一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程2. 一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.注：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：一个未知数；未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0二、一元二次方程的解法1基本思想 一元二次方程一元一次方程2基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a0， 0.四、列一元二次方程解应用题1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).3.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）ABCD【答案】C；【总结升华】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案2若方程是关于的一元二次方程，m= 【答案】 根据题意得 解得所以当方程是关于的一元二次方程时，举一反三：1、关于x的方程, 当 时为一元一次方程；当 时为一元二次方程.2、已知（m1）x|m|+1+3x20是关于x的一元二次方程，m= .【答案】1、=4；4且-2.2、依题意得|m|+12，即|m|1，解得m1，又m10，m1，故m1.类型二、一元二次方程的解法3解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)【答案与解析】 (1) ， (2)， (3) 举一反三：解方程： (1)3x+15-2x2-10x； (2)x2-3x(2-x)(x-3) (3)(3x-2)2+(2-3x)0； (4)2(t-1)2+t1.【答案】(1) ，(2) ，(3)，(4)，类型三、一元二次方程根的判别式的应用4已知关于x的一元二次方程（al）x22x+l0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（） A、a2B、a2 C、a2且alD、a2【答案】C；举一反三：1、关于x的方程有实数根则a满足（ ） Aa1 Ba1且a5 Ca1且a5 Da52、为何值时，关于x的二次方程（1）满足 时,方程有两个不等的实数根； （2）满足 时,方程有两个相等的实数根； （3）满足 时,方程无实数根.【答案】1、A； 当，即时，有，有实数根；当时，由0得，解得且综上所述，使关于x的方程有实数根的a的取值范围是答案：A 2、（1）；（2）；（3）. 类型四、一元二次方程的根与系数的关系5已知x1、x2是关于x的方程的两个不相等的实数根，（1）求t的取值范围； （2）设，求s关于t的函数关系式【答案】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根所以(-2)2-4(t+2)0，即t-1(2)由一元二次方程根与系数的关系知：，从而，即举一反三：1、已知关于x的一元二次方程的两实数根为，（1）求m的取值范围；（2）设，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值2、已知关于x的方程，试探求：是否存在实数m使方程的两个实数根的平方和 等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由3、已知关于x的方程有两个不相等的实数根、 (1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由【答案】1、（1）将原方程整理为 原方程有两个实数根 ， （2） ，且因为y随m的增大而减小，故当时，取得最小值12、存在设方程两根为x1、x2，根据题意，得，而，于是有，整理得，解这个方程得， ，当时， ，当时，所以符合条件的m的值为-2 3、(1)根据题意，得(2k-3)2-4(k-1)(k+1)，所以由k-10，得k1.当且k1时，方程有两个不相等的实数根； (2) 不存在如果方程的两个实数根互为相反数，则，解得当时，判别式-50，方程没有实数根所以不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数类型五、一元二次方程的应用6如图所示，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长7某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案】1、设小正方形的边长为xcm，由题意得4x2108(1-80%) 解得x12，x2-2 经检验，x12符合题意，x2-2不符合题意舍去 x2 答：截去的小正方形的边长为2cm2、设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)1120 整理，得x2-5x+60 解得，x12，x23 当x2时，2x4； 当x3时，2x6 答：每床每晚提高4元或6元均可举一反三：1、 有一块长方形的土地，如图所示，宽为120m，建筑商把它分成三部分：甲、乙、丙甲和乙为正方 形，现计划甲建住宅区；乙建商场；丙开辟公园，公园的面积为3200m2，那么这块地长应为多少?2、甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度.3、 某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250m2，因为准备工 作不足，第一天少拆迁了20。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2. 求：(1)该工程队第一天拆迁的面积； (2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数.【答案】1、根据题意可得(x-120)120-(x-120)3200，(x-120)(240-x)3200，解得x1200，x2160经检验可知，x1200，x2160均符合题意所以这块地长为200m或160m 2、设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时.根据题意，得解之,得x1=16，x2=2.经检验：x1=16，x2=2都是原方程的根，但x2=2不合题意，舍去.当x=16时，x+4=20.答：甲每小时行驶16千米，乙每小时行驶20千米. 3、（1）1000m2；（2）20%.巩固练习（一）一、选择题1.已知1是关于x的一元二次方程（m1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（ ）A.1 B.1 C.0 D.无法确定2若一元二次方程式ax（x1）（x1）（x2）bx（x2）2的两根为02，则|3a4b|之值为何（）A2B5 C7 D83某品牌服装原价173元，连续两次降价后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（ ）A B C D4将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）A.（x-2）2+3 B.（x+2）2-4 C.（x+2）2-5 D.（x+2）2+45若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） Ak0 Bk0 Ck1且k0 Dk1且k06从一块正方形的铁片上剪掉2 cm宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm2，则原来铁片的面积是( )A.64 cm2 B.100 cm2 C.121 cm2 D.144 cm27若t是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式 的关系是() A.=M B. M C. M D. 大小关系不能确定 8如果关于x的方程ax 2+x-1=0有实数根，则a的取值范围是()A B C且 D且二、填空题9已知关于x的方程x2+mx6=0的一个根为2，则m= ，另一个根是 10若分式，则 11关于的一元二次方程有一个根为0，则 . 12阅读材料：设一元二次方程似(a0)的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：，根据该材料填空：已知x1，x2是方程的两实数根，则的值为_13已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是_. 14设x1，x2是一元二次方程x2-3x-20的两个实数根，则的值为_15问题1：设a、b是方程x2x20120的两个实数根，则a22ab的值为 ；问题2：方程x22x10的两个实数根分别为x1，x2，则（x11）（x21） ；问题3：已知一元二次方程x2mxm20的两个实数根为x1、x2且x1x2（x1x2）3，则m的值是 ；问题4：已知一元二次方程x2-2x+m=0,若方程的两个实数根为X1,X2，且X1+3X2=3,则m的值是 .16某校2010年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2012年共捐款4.75万元，则该校捐款的平均年增长率是 .三、解答题17某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数.18. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率19先阅读第（1）题的解法，再探究第（2）题（1）已知，p、q为实数，且pq1，求的值解：因为pq1，所以又因为，所以p、是一元二次方程的两个不相等的实数根由根与系数的关系，得（2）已知、，m、n为实数，且mn1，求的值20某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？【答案】一、选择题1.【答案】B；【解析】解：根据题意得：（m1）+1+1=0，解得：m=1故选B2.【答案】B；【解析】先根据一元二次方程式ax（x1）（x1）（x2）bx（x2）2的根确定ab的关系式然后根据ab的关系式得出3a4b5用求绝对值的方法求出所需绝对值 3.【答案】C；【解析】当商品第一次降价x%时，其售价为173173x%173（1x%）；当商品第二次降价x%后，其售价为173（1x%）173（1x%）x%173（1x%）2173（1x%）2127故选C4.【答案】C；【解析】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5，故选C5.【答案】D； 【解析】因为方程是一元二次方程，所以k0，又因为一元二次方程有实数根，所以0，即4-4k0，于是有k1，从而k的取值范围是k1且k06【答案】A； 【解析】本题用间接设元法较简便，设原铁片的边长为xcm.由题意，得x(x2)=48，解得x1=6(舍去)，x2=8.x2=64，即正方形面积为64 cm2.7.【答案】A； 【解析】由t是方程的根得at2+bt+c=0,M=4a2t2+4abt+b2=4a(at2+bt)+b2= b2-4ac=.8【答案】B； 【解析】注意原方程可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程.二、填空题9【答案】1；3 【解析】根据一元二次方程的解定义，将x=2代入关于x的方程x2+mx6=0，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2=解出方程的另一个根10【答案】8；【解析】分数值是0的条件是分子为0，,且分母不为0.11【答案】-1； 【解析】把x=0代入方程得,因为，所以.12【答案】10；【解析】此例首先根据阅读部分，明确一元二次方程根与系数的关系，然后由待求式变形为，再整体代换具体过程如下：由阅读材料知 x1+x2-6，x1x23而13【答案】3和5或-3和-5；【解析】注意不要丢解.14【答案】7； 【解析】 x1，x2是一元二次方程的两实数根， x1+x23，x1x2-2 15【答案】2011；-2；m=-1或3；m=.【解析】由于a，b是方程x2+x-2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到a+b=-1，并且a2+a-2012=0，然后把a2+2a+b可以变为a2+a+a+b，把前面的值代入即可求出结果16【答案】50%； 【解析】设该校捐款的平均年增长率是x，则， 整理，得， 解得， 答：该校捐款的平均年增长率是50%.三、解答题17.【答案与解析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（5x），由题意,得10x+(5x)10(5x)+x=736.整理,得x25x+6=0,解得x1=2,x2=3.当x=2时5x=3,符合题意，原两位数是23.当x=3时5x=2符合题意，原两位数是32.18.【答案与解析】设这两个月的平均增长率是x，则根据题意，得200(120%)(1+x)2193.6，即(1+x)21.21，解这个方程，得x10.1，x22.1（舍去）答：这两个月的平均增长率是10%19.【答案与解析】因为mnl，所以m，又因，所以，即的两个不相等的实数根，由根与系数的关系，得20.【答案与解析】若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100（10080）2000（元） 依题意得：（10080x）（100+10x）2160 即x10x+16=0 解得：x=2,x=8 经检验：x=2,x=8都是方程的解，且符合题意. 答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元. 依题意得：y=（10080x）（100+10x） y= 10x+100x+2000=10(x5)+2250 画草图（略） 观察图像可得：当2x8时，y2160当2x8时，商店所获利润不少于2160元 巩固练习（二）一、选择题1. 关于x的一元二次方程（a1）x2x|a|10的一个根是0，则实数a的值为（） A.1 B.0 C.1 D.1或12已知a是方程x2+x1=0的一个根，则的值为（）A.B. C.1 D.13若方程式（3xc）260=0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？（）A.1 B.8 C.16 D.614已知关于的方程有实根，则的取值范围是（ ）A B且 C D5如果是、是方程的两个根，则的值为（ ） A1 B17 C6.25 D0.256在一幅长80 cm,宽50 cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2,设金色纸边的宽为x cm,那么x满足的方程是( )A.x2+130x1 400=0 B.x2+65x350=0 C.x2130x1 400=0 D.x265x350=07. 方程x2+ax+1=0和x2-x-a=0有一个公共根，则a的值是() A0 B1 C2 D38. 若关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且满足则k的值为（）A.1或 B.1 C. D.不存在二、填空题9关于x的方程的解是x1=2，x2=1（a，m，b均为常数，a0），则方程的解是 .10已知关于x的方程x2+2(a+1)x+(3a2+4ab+4b2+2)0有实根，则a、b的值分别为 11已知、是一元二次方程的两实数根，则(-3)(-3)_12当m_时，关于x的方程是一元二次方程；当m_时，此方程是一元一次方程. 13把一元二次方程3x2-2x-3=0化成3(x+m)2=n的形式是_；若多项式x2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_.14已知，则的值等于_.15已知，那么代数式的值为_.16当x=_时，既是最简二次根式，被开方数又相同.三、解答题17. 设m为整数，且4m40，方程有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根. 18设(a，b)是一次函数y(k-2)x+m与反比例函数的图象的交点，且a、b是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，其中k为非负整数，m、n为常数（1）求k的值；（2）求一次函数与反比例函数的解析式19. 长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售 (1)求平均每次下调的百分率；(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：打9.8折销售；不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠?20已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13 800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元.(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？(2)若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由.【答案】一、选择题1【答案】A； 【解析】先把x0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a1舍去2【答案】D；【解析】先化简，由a是方程x2+x1=0的一个根，得a2+a1=0，则a2+a=1，再整体代入即可解：原式=，a是方程x2+x1=0的一个根，a2+a1=0，即a2+a=1，原式=1故选D3【答案】B； 【解析】利用平方根观念求出x，再根据一元二次方程的两根都为正数，求出c的最小值即可解：（3xc）260=0 （3xc）2=603xc= 3x=c x=又两根均为正数，且7所以整数c的最小值为8故选B4.【答案】D； 【解析】0得，方程有实根可能是一元二次方程有实根，也可能是一元一次方程有实根.5【答案】C；【解析】.6【答案】B；【解析】上、下两条金色纸边的面积一样,左、右两条金色纸边的面积一样,2(80+x)x+2(50+x)x+8050=5 400. 整理得x2+65x350=0.7【答案】C； 【解析】提示：先求公共根m=-1,再把这个公共根m=-1代入原来任意一个方程可求出a=2.8【答案】C； 【解析】由题意，得：.二、填空题9【答案】x1=4，x2=1【解析】解：关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=1，（a，m，b均为常数，a0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=22=4，x2=12=1故答案为：x1=4，x2=110.【答案】a1，【解析】 判别式2(a+1)2-4(3a2+4ab+4b2+2) 4(a2+2a+1)-(12a2+16ab+16b2+8) -8a2-16ab-16b2+8a-4 -4(2a2+4ab+4b2-2a+1) -4(a2+4ab+4b2)+(a2-2a+1) -4(a+2b)2+(a-1)2 因为原方程有实根，所以-4(a+2b)2+(a-1)20，(a+2b)2+(a