小学数学难题解法大全 第三部分 常用解题方法(二~一)一般解题方法.doc

小学数学难题解法大全 第三部分 常用解题方法（二之一）一般解题方法（一）一般解题方法【图示法】 解答竞赛题时，尽管题目内容复杂多变，或者已知条件十分抽象，但可以用图形（线段图、直观图、示意图）把题中的条件和问题形象、具体地表示出来，以帮助我们揭示数量关系，正确地找到解答方法。这种解题方法就是图示法。的服装3套，则剩下16.1米。这段布料全长多少米？分析：根据题意先画图观察（如图3.1）。可知：做1套服装所用布料占这段布料的：做3套服装所用布料占这段布料的：剩下的布料16.1米的对应分率是：由此可求出这段布料全长多少米。答：这段布料全长24.5米。例2 把一个长方体的高减少4厘米，就得到一个底面不变的正方体，它的表面积比原来减少了112平方厘米。这个正方体的体积是多少？分析：这是一道比较抽象的图形的求积题，需要有一定的空间想象能力。通过画图（如图32），可以帮助理解两个关键问题。一是把长方体的高减少4厘米后，得到一个底面不变的正方体，这个正方体的六个面都是正方形。二是长方体变成正方体后，它的表面积减少的部分是以4厘米为高的这个长方体的侧面积（而不含阴影部分的面积）。根据已知条件，可知将这个侧面积展开是一个宽4厘米、面积为112平方厘米的长方形，由此可求出它的长，也就是得到的正方形的一个面的周长。112428（厘米）则正方体的棱长为：2847（厘米）由此可求出正方体的体积。解：（11244）3777343（立方厘米）答：这个正方体的体积是343立方厘米。例3 在边长是6米的正方形花圃四周由里向外铺上三圈水泥砖，形成一个大的正方形，这种水泥砖每块是边长30厘米的正方形，共需要这种水泥砖多少块？（中南地区小学数学竞赛试题）分析：此题是一道空心方阵问题。根据方阵里外相邻两层每边数相差2的特点，可求出方阵最里层每边有方砖是60030222（块），因为是3层，所以最外层每边有方砖是222（31）26块。由题意画一个空心方阵图（如图33），阴影部分表示方砖数，把这个图的阴影部分划分成相等的四个小块，只需求出一小块里面有多少块砖，便可求出一共有多少块砖。解：（263）34276（块）答：共需方砖276块。例4 一组割草人去两块草地割草，他们的工效都相等。大的一块草地比小的一块大一倍。上午全组人都在大的一块草地割草，下午一半人留在大草地上，到傍晚时把草割完。另一半人就到小草地上去割，到傍晚时还剩下一块，这一块若由一个人去割，正好一天可以割完。问全组共有多少名割草人？分析：这是一道俄国名题，乍看起来数量关系比较复杂，若根据题意先画一个图，题意就一目了然了。先画一个长方形表示大的一块草地，连着这个长方形再画一个面积是它的一半的小长方形，表示小的一片草地，如图34所示。 答：全组共有8名割草人。例5 AB两站从6：0019：00，每隔10分钟有一辆公共汽车同时相对开出。从A站到B站与从B站到A站运行的时间均为50分钟。现有一辆汽车上午9点出发从B站开往A站，问这辆汽车在运行途中遇到多少辆从A站开往B站的汽车？（“运行途中”是指出站后至进站前所经过的路段。）分析与解答：考虑问题时应想到这辆从B站开往A站的车，在出发前A站已每隔10分钟向B站发车，那么这辆车在运行途中会遇到多少辆从A站开往B站的车呢？可用图示法解答。分别从AB两站画两条平行的时间轴，每两点之间的线段表示一个时间段（10分钟）。汽车9点从B站开出，9点50分到达A站，在B轴上用“0”表示发车时间，A轴上用5表示到达时间，AB两站相对开出的车辆用斜线表示。这样一来，就把所求的问题转化成“05”连线与多少条斜线相交的问题。如图3.5所示。由图可知，这辆汽车在运行途中，遇到了9辆从A站开往B站的汽车。注：这类问题经常被称为“柳卡问题”，这是因为法国数学家柳卡（也译作“刘卡”）在一次国际会议期间最先提出这类问题。在匈牙利，它则被称为“邮车相遇问题”，因为匈牙利著名作家卡尔曼米克沙特所著的名著奇婚配中，有一个类似的邮车相遇算题。解这类问题的图，称之为“时间一路程图”，或称之为“运行图”。【列表法】 解题时把题中的条件进行分类整理，用表格的形式进行有序排列，使条件与条件之间，条件与问题之间的关系条理化、明朗化，有利于探求解题的思路，从而达到解决问题的目的。这种方法就是列表法。例1一个圆的周长是1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行，这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米。它们每爬行1秒、3秒、5秒（连续奇数），就调头爬行。那么，它们相遇时，已爬行的时间是_秒。（1992年小学数学奥林匹克初赛试题）分析：两只蚂蚁是在边进边退中相向爬行，要求出它们相遇的时间，就有一定困难。圆的周长是1.26米（126厘米），半圆的弧长则是63厘米，两只蚂蚁共同爬行63厘米所用的时间就是它们相遇的时间。两只蚂蚁每秒钟一共爬行了5.53.59（厘米）假定两只蚂蚁第1秒钟都往上半圆相向爬行，则它们共同爬行了9厘米。这时，它们调头向下爬行3秒钟，共爬行了9327（厘米）相对它们出发时的地点下降了27918（厘米）这时，它们又调头问上爬行5秒钟，共行9545（厘米），相对出发时的地点向上爬行了451827（厘米）依此类推，列出下表：从上表可以看出，在蚂蚁连续向上爬行了13秒钟的时候，正好相遇。这时蚂蚁一共爬行秒）答：它们相遇时，已爬行的时间是49秒。分析：根据工作效率工作量时间，列下表：解：从上表可知师傅与徒弟两人工作效率的比为：答：师傅与徒弟两人工作效率的比是53。例3长方形ABCD周长为16米，在它的每条边上各画一个以该边为长的正方形（如图3.6）。已知这四个正方形的面积的和是68平方米，求长方形ABCD的面积。（第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试题）分析：要求长方形ABCD的面积，必须知道长方形的长与宽各是多少，若用算术方法或列方程解答都比较难，改用列表法解答则比较容易。由“长方形ABCD的周长是16米”，“四个正方形的面积的和为68平方米”这两个条件，以及长方形对边相等的性质，可以推出长宽8（米）长2宽268234（平方米）根据推论列表如下：解：分析上表，符合条件的长应该是5米，宽应该是3米， 则长方形ABCD的面积为5315（平方米）答：长方形ABCD的面积是15平方米。例4有若干只重量相同的箱子共重10吨，且每只箱子的重量不少于1吨。用载重3吨的汽车一次将箱子运走，至少需要_辆车子。（1993年全国小学生数学竞赛决赛试题）分析：由“每只箱子的重量不少于1吨”，每辆汽车“载重3吨”的条件，可知每一箱子的重量的取值范围是13。由于箱子的只数只能是自然数，根据“若干只重量相同的箱子共重10吨”的条件，可知箱子的只数是10、9、8、7、6、5、和4这七种情况。要注意的是，若每只箱子的重量是1吨，则共有10只箱子，用3辆汽车每车装3只箱子，就还剩下1只箱子没有运走，故至少要4辆汽车才能一次运完。根据条件和问题，列表解答如下：从上表可知至少要6辆车才能一次将箱子运走。答：至少需要6辆汽车。【假设法】 一些题目含有两个或者两个以上的未知数量，其数量关系比较隐蔽，很难找到解题途径。为了使复杂的数量关系变得单一，使隐蔽的关系变得明朗，我们可以用“假设”，改变某些条件，或者将某个条件设为已知。对因假设而产生的差异进行分析推断，并加以调整，从而使问题获得解决。这种解题方法，就是假设法。“假设”是一种重要的数学思想。列方程解应用题，把未知数设为X；有关倍数应用题，常常假定一个数量为“1倍”或“1”份；解答分数、百分数应用题，把一个数量假定为单位“1”。这些都是假设法的广泛应用。我国古代的“鸡兔同笼”、“百僧分馍”等问题，都是用假设法解答的典型应用题。例1在一个停车场上，现有的车辆数是24辆。其中汽车是4个轮子，摩托车是3个轮子，这些车共有86个轮子。那么，三轮摩托车有_辆。（1992年小学数学奥林匹克初赛试题）分析：假设这24辆全是汽车，则有轮子：42496（个）比实际的86个多了：968610（个）可以推断汽车不可能为24辆，对假设要作调整。由于每辆汽车比摩托车多1个轮子，多出的10个轮子就是多将10辆摩托车假定为汽车造成的。因此，摩托车为10110（辆）解：（42486）（43）10110（辆）摩托车辆数241014（辆）汽车辆数答：有三轮摩托车10辆。本题也可以假设这24辆全是摩托车，则汽车为（86243）（41）14（辆），摩托车则为241410（辆）。例2某车站售出汽车月票若干张。每张学生票6元，每张成人票14元；售出的学生票比成人票多700张，售出的成人票比学生票多收6200元。问售出的成人票与学生票各多少张？分析：假设再售出成人票700张，则学生票的张数就与成人票的张数同样多，那么成人票又要多收：700149800（元）成人票比学生票一共多收：6200980016000（元）而每张成人票比学生票要多收1468（元），16000元里面包含了多少个8元，就是学生票的张数：1600082000（张）解：（620070014）（146）1600082000（张）学生票数20007001300（张）成人票数答：售出学生票2000张，成人票1300张。分析：题中两个分率的单位“1”（或标准量）不统一，解此题的关键是假设哪一个量为单位“1”。可以假设文艺书的本数为单位“1”，也可以假设科技书的本数为单位“1”，还可以假设两种图书的总数为单位“1”，甚至可以假设两种图书相等的部分为单位“1”。现在假设科技书的本数为单位“1”。用分数除法求得文艺书的本数是科技书的几分之几；还可以根据比例的基本性质求得文艺书的本数是科技书的几分之几：这样就找到了文艺书比科技书多120本的对应分率是：240（本）科技书本数120240360（本）文艺书本数240360600（本）图书总数答：共购进图书600本。例4某工厂的27位师傅共带徒弟40名。每位师傅可以带一名徒弟、两名徒弟或三名徒弟。如果带一名徒弟的师傅的人数是其他师傅的人数的两倍，那么带两名徒弟的师傅有_位。（1993年小学数学奥林匹克竞赛试题初赛民族卷） 分析：由带一名徒弟的师傅人数是其他师傅的人数的两倍，可知带两名徒弟与带三名徒弟的师傅总人数是：27（12）9（名）9名师傅共带徒弟的人数是：401（279）22（名）假设9名师傅每人都带3名徒弟，则有徒弟的人数是：3927（名）比实际的22名多了：27225（名）可知9名师傅不可能都带三名徒弟，多出的5名徒弟就是多将5名师傅都假设成带了三名徒弟的缘故，其中必有5名师傅是带两名徒弟的。解：（3922）（32）5（名）答：带两名徒弟的师傅有5位。例5甲、乙两地相距480千米。一辆汽车从甲地开往乙地，前3小时行了全程的37.5，照这样计算，还要几小时到达乙地？分析：如果把汽车行完全程所需的时间假设为单位“1”，则行完全程所需的时间为：337.58（小时）那么，还要几小时到达乙地，则为：835（小时）像这样巧用假设，使问题解答得十分简捷。解：337.535（小时）答：还要5小时到达乙地。例6甲、乙两个小朋友各有糖若干粒。如果乙给甲16粒，甲的糖就是乙的2倍；如果甲给乙9粒，乙的糖就是甲的3倍。求甲、乙两人原有糖各是多少粒？分析：这道题的数量关系十分隐蔽，很难发现数量间的联系。解题的关键是通过假设找到甲、乙两人糖数间的倍数关系。为了弄清谁是谁的几倍，必须先设甲（或乙）原有的糖数为“1倍”。现在以甲原有的糖数为“1”倍。假设乙不给甲16粒，仍要使乙的糖数假设甲不给乙9粒，仍要使乙的糖数是甲的3倍，则乙的糖数应增加9（13）粒。通过分析，可知乙的糖数先后变化之差为：由此可以求出甲原有糖的粒数。（2416）21636（粒） 乙答：甲原有糖24粒，乙原有糖36粒。分析：这道题要求的数量有两种，两厂上交税金所取分率的单位“1”又各不相同，很难找到“量”与“率”的对应关系，如果使用“假设”便能顺利地解决这个问题。比实际上交的税金少了：423210（万元）63（万元）甲厂上交税金1126349（万元）乙厂上交税金答：甲厂上交税金63万元，乙厂上交税金49万元。例8 一个人从县城骑车去乡办厂。他从县城骑车出发，用30分钟行完了一半路程。这时，他加快了速度，每分钟比原来多行50米，又骑了20分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，必须再骑2千米才能赶到乡办厂。求县城到乡办厂之间的路程。（小学生数学报第五届小学生数学邀请赛决赛试题）分析：此题已知“用30分钟行完了一半路程”，但未给出每分钟行多少米，后来“每分钟比原来多行50米”，究竟后来一分钟的速度是多少，也不可知。所以按已知条件无法直接求得县城到乡办厂之间的路程。我们可以用假设法使问题得到解决。把全路程看作“1”，假设后20分钟仍按原速行进，即每分钟不多走50米，则此人行了302050（分钟）后，还离乡办厂的路程为：502020003000（米）按照这个假设推出行完全程所需的时间为：30260（分钟）根据速度一定，行走的时间与路程成正比例，可知50分钟所行路程为全所以全程为：18000（米）答：县城到乡办厂之间的路程是18000米。【转化法】 有些问题直接运用所给的已知条件，很难找到解决问题的线索。这就需要沟通知识之间的内在联系，改变思考方式，恰当地转化题中的数量关系，把隐含的情节和条件转化为明显，把难求的问题转化为熟悉而容易解决的问题。这种思考问题的方法，就是转化法。分析：题中三个分率的单位“1”都不相同，一般要通过转化，统一单位“1”。最简单的办法是把全路程看作单位“1”，把第二和第三小时所行的路程都转化为全程的几分之几。第二小时行的路程是全程的：第三小时行的路程是全程的：30千米的对应分率是： 由此可以求得A、B两城相距的路程为：240（千米）答：A、B两城相距240千米。分析：这道题只从分数应用题的关系去寻求解题的方法，就十分困难。桃树棵树与李树棵树的比，这道题就变成了容易解答的按比例分配的问题。根据条件用下面的等式来表示桃树和李树的数量关系。根据比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积。可以得到：答：桃树有120棵，李树有64棵。女生少_人。（1993年小学数学奥林匹克竞赛决赛民族试题）分析：这是一道较复杂的和倍问题，我们可以通过转化把数量关系变得简单。男生比女生少多少人？”225（人）男生人数465225240（人）女生人数24022515（人）男生比女生少的人数答：男生比女生少15人。例4甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工零件20只，丙加加工零件_，乙加工零件_，丙加工零件_。（1993年全国小学数学竞赛预赛试题）分析：根据条件把乙加工零件的数量看作单位“1”。由“丙加工零件个等量关系表示为通过对上面两式进行转化，可知甲加工零件数相当于乙加工零件数的得乙加工零件的只数。解：把乙加工的零件数看作是单位“1”40（只）乙加工零件数402060（只）甲加工零件数答：甲、乙、丙三人加工的零件数分别为40只、60只、32只。例5鞋店从批发部以25元的单价购进皮鞋若干双。按40元一双的零售价卖出，卖出一半又15双时，已将成本收回。问购进皮鞋多少双？分析：若按40元一双的零售价卖出一半所收回的钱，则比成本差4015600（元）而按40元一双的零售价卖出一半收回的钱，就等于以20元一双的售价卖出全部皮鞋所收回的钱，按成本计算每双皮鞋要亏损25205（元）所以，题目可以转化为“鞋店从批发部以25元的单价购进皮鞋若干双，若按20元一双的零售价卖出，则要亏损600元。问购进皮鞋多少双？”这样，我们就能从亏损总额和每双的亏损额的对应关系中，求得购进皮鞋的总数。解：4015（2520）120（双）答：购进皮鞋120双。（北京市第九届小学生“迎春杯”数学竞赛决赛试题）分析：根据分数除法与分数乘法的关系和积的变化规律，将题中某些条件进行转化，此题就能简算。100（1993年全国小学数学竞赛预赛试题）分析：观察所给数据的特点，根据带分数加法的计算法则，把每个带分数的整数部分和分数部分拆开，将此题重新组合成为以下算式：再观察分母的特点，每个分数的分母都可以分解为两个连续的自然数相乘。计算时我们先把每个分数的分母写成两个自然数相乘的形式，再把每个分数拆成两个分数相减的形式。这样在计算过程中，加、减可以抵消，使计算变得十分简便，这就是拆项相消法。例8已知一个四边形的两条边的长度和三个角，如图37左所示，那么这个四边形的面积是_。（1994年小学生数学奥林匹克决赛试题）分析：运用已知条件不能直接求得这个四边形的面积。如果将四边形的两条边延长（图37右），便得到两个三角形，即ABC和ADE。由B为直角，C45可知ABC为等腰直角三角形；由E是直角，AC，可知ADE也是等腰直角三角形。要求的四边形的面积就转化为求ABC与ADE面积之差。解：77233224.54.520答：这个四边形的面积是20。【对应法】 一些应用题的数量之间存在着对应关系。如平均数问题中，总数对应着总份数；正、反比例中，两种相关联的量与两组数值相对应；分数、百分数应用题中，一个量对应着一个分率，即量、率对应。许多应用题，结构复杂，条件变化纷繁，但是找准数量间的对应关系后，就能实现由未知向已知转化。这种运用对应关系解题的方法，就是对应法。例1学校乒乓球队12人合影留念。普通彩照洗2张的价格是16元，加洗一张0.8元。如果一人得一张照片，平均每人出多少钱？分析：12个人一人要得一张照片，共需12张。12张表示总份数，与之相对应的是12张照片的总价。题中“普通彩照洗2张的价格是16元”，这16元中已经包含了2张照片的钱数，只需再加上加洗10张的钱，便是12张照片的总价，用付出钱的总数除以相对应的照片的张数，就得到平均每人应付的钱数。解：160.8（122）1224122（元）答：平均每人应付2元。例2水果店把一批桃子放在甲、乙两个筐里。其中甲筐的重量占总数的55，如果从甲筐取出6千克放入乙筐，这时两个筐里的桃子各占总数的50。这批桃子共重多少千克？分析：甲筐桃子的重量由原来占总数的55变成50，是因为取出了6千克放入乙筐，两个百分率相差5，正好与6千克相对应，运用这个量、率的对应关系，即可求得这批桃子的重量。解：6（5550）65120（千克）答：桃子共重120千克。（注：也可以用图解法）例3解放军修一段防洪堤，原计划5月份（31天）修1240米，前6天分析：这题按一般解法，步骤较多，运用对应关系解就简单得多。如果我们把实际完成全工程的时间看作单位“1”，题中“6天就完成了全工程间，求提前几天完成全工程，就只需两步计算。31247（天）答：可以提前7天完成。分析：解答此题的关键是要找出实际数量的对应分率。把图书的总数看见线段图（图38）：答：这批图书共有200本。例5 有一块菜地和一块麦地。菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是13公亩。麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是12公亩。那么，菜地是几公亩？（1986年“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题）分析：此题有多种解法，用对应法解，关键是找出13公亩、12公亩的对应分率，下面把已知条件排列出来分析30215（公亩）答：菜地是18公亩。例6 买来苹果若干个，4人平均分余2个，5人平均分余3个，6人平均分余4个。一共有多少个苹果？分析：用对应法解此题，以苹果的总数为被除数，列下表分析除数与余数的对应关系。从上表中看出除数与余数的差是常数2，则被除数加上2的和能分别被4、5、6整除，所以，要求的被除数是4、5、6最小公倍数与2的差。解：求4、5、6的最小公倍数22536060258（个）答：有苹果58个。例7 张大伯带若干元钱去买菜。如果买2.5千克鲜鱼，还剩0.8元，如果买4千克鲜鱼，则差8.8元。问鲜鱼每千克多少元？张大伯带了多少钱？分析：排列已知条件：根据上面两次买鱼的数量之差与总价之差的对应关系，可以求得鲜鱼的单价，然后再求张大伯带了多少钱。解：（0.88.8）（42.）9.61.56.4（元）6.42.50.8816.8（元）答：每千克鲜鱼6.4元，张大伯带了16.8元。【代换法】 在解题时，常常遇到有的题目中有两上或两个以上的未知数量，这些数量之间具有相等的关系，我们可以用一个未知数量代替其它的未知数量，使未知条件转化为已知条件，从而找到解题的方法。这就是代换法。例1 甲、乙二人合做一批零件。甲做了8小时，乙做了6小时，一共做了360个零件。甲2小时的工作量等于乙3小时的工作量。两人每小时各做多少个零件？分析：因为“甲2小时的工作量等于乙3小时的工作量。”为了使未知量变得单一，可以把甲的工作量换成乙的工作量，也可以把乙的工作量换成甲的工作量。根据题意可知甲8小时的工作量，乙要3（82）12（小时）完成；乙6小时的工作量，甲要2（63）4（小时）完成。即甲8小时的工作量乙12小时的工作量乙6小时的工作量甲4小时的工作量如果以乙代换甲，则如果以甲代换乙，则以乙代换甲为例，题意则简化为“某人18小时共做360个零件，平均每小时做多少个零件？”解：36063（82）3601820（个）乙每小时做零件个数203230（个）甲每小时做零件个数答：甲、乙两人每小时做零件的个数分别为20个、30个。例2 一列客车与一列货车同时从A、B两站相向开出，6小时相遇。相遇后客车4小时到达B站。货车还要几小时到达A站？分析：“相遇后客车4小时到达B站”这个条件隐含着一个等量关系。如图: 由上图可知客车4小时走的路程货车6小时走的路程换，便能求得货车还要几小时到达A站。解：6（64）9（小时）答:货车还需要9小时到达A站。例3 甲、乙、丙三人共为抗洪救灾捐款1000元。乙捐的钱比甲的2倍多30元，丙捐的钱比甲、乙之和少20元。三人各捐多少元？分析：排列已知条件甲乙丙1000乙2甲30丙甲乙20此题包含了三个未知量，上面的三个式子中每一个式子都含有两个以上的未知量，如果设法把某一个式子中不同的未知量都用同一个量代替，问题就容易解决了。根据式、式进行等量代换，式则变为：6甲10006020甲160以甲160代入式、式，即可求得乙、丙两个未知量。解：把甲捐款数看作1份（10006020）（1212）960616O（元）甲捐款数160230350（元）乙捐款数16035020490（元）丙捐款数答：甲、乙、丙三人捐款的钱数分别为160元、350元、490元。例4 （如图310）ABCD是一个长方形。三角形ADE比三角形CEF的面积小10平方米。问CF的长是多少厘米？（北京市第三届小学生“迎春杯”数学竞赛试题）分析：要求CF的长，一般须知道三角形CEF的面积和它的高CE的长，而这两个条件都是未知的，按这个思路无从下手。但根据图形的组合关系和已知条件，可以用等量代换的方法求解。为了便于看清楚图形的组合关系，把这个图形分成甲（三角形ADE）、乙（梯形ABCE）、丙（三角形CEF）三个部分。已知三角形ABF的高（即长方形的长）是10厘米，如果能求得三角形ABF的面积，便可求得BF的长。因此，求得三角形ABF的面积是解题的关键。长方形ABCD的面积为61060（平方厘米）所以 甲乙60已知 丙甲10用甲10代换丙，得乙丙乙甲10所以 乙丙601070因此，得三角形ABF的面积为70平方厘米。从而推算出CF的长。解：CF（10610）21061468（厘米）答：CF的长是8厘米。例5 甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组。甲班参数的几分之几？（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试题）分析：由于甲、乙两班人数相等，如果把甲班人数看作1份，那么乙班没有参加的人数就相当于3份。如果把乙班人数看作1份，那么甲班没有参加的人数就是4份。为了叙述的简便，用字母表示下面各数量：A表示甲班参加天文小组的人数；根据题意，图示如下（如图311）：此题是要求甲班没有参加的人数（用“甲未”表示）与乙班未参加人数（用“乙未”表示）的关系。因此，要设法运用代换方法，把其它的量转化为“甲未”和“乙未”表示。观察上图可知AA，BB，ABBA所以 3B2A解：从上面这个等量关系式可知：例6 19911992199219921992199119911991（小学生数学报第五届小学生数学邀请赛初赛试题）分析：根据数的组成，可以将一个数分解为因数相乘的形式19921992199219921000100011991199119911991100010001通过等量代换，进行简便运算原式19911992100010001199219911000100010【消去法】 在一些应用题中，有时会出现两个或两个以上并列的未知数。我们可以根据所给数据的特点，先消去一个或几个未知数，使数量关系化繁为简。在求得一个未知数后，再求其它的未知数。这种解题方法就是消去法。例1 买3个菜碗8个饭碗共付19.2元，买同样的3个菜碗5个饭碗共付14.7元。一个菜碗与一个饭碗的单价各是多少元？分析：排列已知条件两次买菜碗的个数相等，付出的钱数是同样多。得到两次买碗付款的差额是4.5元，这4.5元正好是3个饭碗的价钱，由此求得1个饭碗的单价是4.531.5（元）解：（19.214.7）（85）4.531.5（元）饭碗的单价（19.21.58）37.232.4（元）菜碗的单价答：一个饭碗1.5元，一个菜碗2.4元。例2 头牛4匹马每天吃草93千克，5头牛6匹马每天吃草147千克。一头牛与一匹马每天各吃草多少千克？分析：排列已知条件 题中牛和马两次的数量各不相同，不能像例1那样直接消去一个未知数。要设法使它们之间有两个相同的数量。根据加数扩大几倍，和也扩大相同倍数的道理，将原已知数量进行转化，设法消去一个未知数。消去马的匹数后，得到一头牛每天吃草15千克。解：（1472933）（5233）15115（千克）一头牛每天吃草量（93153）448412（千克）答：一头牛与一匹马每天吃草量分别是15千克和12千克。例3 为抗洪救灾捐款，甲、乙两人共捐192元，乙、丙两人共捐176元，甲、丙两人共捐184元。三人各捐款多少元？分析：排列已知条件此题有三个未知数，先设法消去两个未知数。通过先消去乙、丙两个未知数，可知甲捐款为2002100（元）。解：（192184176）22002100（元）甲19210092（元）乙18410080（元）丙答：甲、乙、丙三人捐款分别是100元、92元、84元。与中男工与男工，女工与女工的分率都不同，要设法变换已知条件，使两式中表示男工人数的分率或表示女工人数的分率相同，才便于消去一个例5 某文具店中的铅笔、彩色笔、圆珠笔用三种方式搭配装在文具盒内出售，文具盒内装有4支铅笔售4元；在同一种文具盒内装4支彩色笔和2支圆珠笔售8元；仍在这种文具盒内装4支彩色笔和2支圆珠笔，再加2支铅笔售9元，如果在这个文具盒内装3支铅笔、2支彩色笔和1支圆珠笔，那么售价应该是_。（1993年上海市第六届小学五年级数学竞赛复赛试题）。分析：题目中有四个未知数，为了表述的简便，我们用a、b、c、d四个字母分别表示文具盒、铅笔、彩色笔、圆珠笔的单价，题中的条件就可以用以下三个关系式来表示：a4b4（元）a4c2d8（元）a4c2d2b9（元）分析：排列已知条件用 9元比8元多1元，是因为多卖出2支铅笔，则铅笔的单价为120.5（元）从中减去4支铅笔的钱，得文具盒的单价为40.542（元）从中减去文具盒的钱，得4支彩色笔和2支圆珠笔的钱，若再除以2，则正好是题中要求的2支彩色笔和1支圆珠笔的钱。（82）23（元）通过消元，求得文具盒和铅笔的单价，以及2支彩色笔和1支圆珠笔的钱。那么，求文具盒内装3支铅笔、2支彩笔和1支圆珠笔的售价就迎刃而解了。解：（98）20.5（元）铅笔单价40.542（元）文具盒单价（82）20.53231，526.5（元）答：售价应该是6.5元。【还原法】 我们常常遇到这样的数学问题，其解法是从问题本身或某个算式的结果出发，一步一步倒着推理，使其逐步靠拢已知条件，直至问题的解决。这种解答问题的方法就是还原法（也称逆推法）。它是数学上一种重要的思考方法，也是解答应用题常用的方法。这种方法形象地讲就是：怎样来的就怎样回去。例1某数减去2，乘以6，再加上5得29，求这数。分析：最后一步运算是“加上5得29”，由逆运算减法可求得这一步运算前的结果是 29524。24又是第二步运算“乘以6”得到的，由逆运算除法可求得被乘数，因此未乘以6之前的数是2464。4又是第一步运算“减去2”的结果，所以原数是426。即所求的数是6解：（295）626答：这数是6。例2 甲、乙、丙三个港口各停小船若干只。第一次从甲港分别开出和乙港、丙港同样多的船只到乙港和丙港。第二次又从乙港分别开出和甲港、丙港同样多的船只到甲港和丙港。第三次又从丙港开出和甲港、乙港同样多的船只分别到甲港和乙港。经如上的移动后，三港停泊的船只都是16只，问：甲、乙、丙三港最初各有小船几只？解：从第三次移动开始向前倒推。第三次移动后，甲、乙、丙三港各停泊船只16只第三次移动前，三港各有船只数目甲港162 8（只）乙港 1628（只）丙港 168832（只）故第二次移动后，甲、乙、丙三港停船数依次为8只、8只、32只。第二次移动前，三港各有船只数目甲港 824（只）丙港 32216（只）乙港 84 16 28（只）所以，每一次移动后，甲、乙、丙三港有船数目依次为4只、28只、16只。第一次移动前，三港各有船只数目乙港 28214（只）丙港 1628（只）甲港 414826（只）所以开始时，甲、乙、丙三港各有船只分别为26只、14只、8只。上述倒推过程可以列成下表：答：最初甲港有船26只，乙港有船14只，丙港有船8只。例3 5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换来的，那么他们至少要买汽水_瓶。（94年小学生数学奥林匹克决赛题）分析：此题用还原法考虑，思路如下：从最合理的兑换应是最后剩5个空瓶换回1瓶汽水，所以计算喝汽水的瓶数就有1（瓶）这瓶汽水由5个空瓶换来，那么无疑喝汽水瓶数又有155（瓶）这5瓶汽水又由55个空瓶换来，故喝汽水的瓶数又有5525（瓶）这25瓶汽水又由255个空瓶换来，故喝汽水的瓶数又有255125（瓶）至此，将以上、项数累加，结果为：11555255156（瓶）汽水，其中255125瓶是买的，这125瓶经几次兑换后可剩一个空瓶。题目所给条件是同学喝了161瓶汽水，但156瓶比161瓶少了5瓶，要满足要求，必须再买4瓶喝了，连同原剩的1个空瓶再换回1瓶即5瓶，所以他们至少要买1254129（瓶）分析：此题先运用最后剩下的数量与第三次取出的数量关系，进行逆推，便能顺利地获得解答。（1）将第二次取出大米后的剩余量看作“1”，则第二次取出后余下大米的数量为：（2）将第一次取出后的剩余量看作“1”，则第一次取出后余下大米的数量为：（3）把仓库原有大米的数量看作“1”，则仓库原有大米的数量为：120（吨）答：这个仓库原有大米120吨。例5 雷锋小学六年级成立了三个课外兴趣小组。书法组的人数占参加总人数的30，参加航模组和舞蹈组人数的比是32，已知参加舞蹈组的有28人。求参加兴趣小组的共有多少人？分析：从“参加舞蹈组的有28人”进行逆推。因为“参加航模组和舞蹈组人数的比是32”，28人相当于2份，可求出1份的人数是28214（人），航模组人数占3份，则可求出航模组人数为：282342（人）由此可以求出两组人数之和为：284270（人）由“书法组人数占总人数的30”可知舞蹈组和航模组人数之和占总人数的13070。7070就得出参加兴趣小组的总人数。解：（282823）（130）7070100（人）答：参加兴趣小组的共有100人。【找“定”法】 某些题目中的数量关系先后变化繁多，很难辨清其内在联系。但是，万变不离其宗，我们要以不变应万变，在多种数量的变化中，找出起关键作用的不变量，利用不变量搭桥过渡以求出未知量。这种解题方法就是变中找定法。题中的不变量是两个车间人数的总量，解题的关键是抓住总量不变，把表示部分量之间关系的分率，转化为部分量占总量的几分之几。把两个车间的总人数看作单位“1”。答：乙车间原有108人。例2甲、乙、丙三人共得奖金若干元。甲得的奖金是乙、丙两人所得奖元。问甲、乙二人各得奖金多少元？分析：此题的定量是三人奖金的总数，从求出甲、乙两人所得的奖金各占总数的几分之几入手，先求出奖金总数，进而求出甲、乙二人各得奖金多少元？答：甲得奖金3200元，乙得奖金2400元。例3 有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带都剪下下的一段有多长？（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试题）分析：“把两条纸带都剪下同样长的一段”这说明长、短两条纸带剩下部分的差与两条纸带原来的差相等，即它们的差是不变量，这就是说长纸带仍比短纸带长21138（厘米）的一段有多长。2120.80.2（厘米）答：剪下的一段长0.2厘米例4 老师与学生今年年龄之和是58岁，七年后老师的年龄是学生的2倍。老师与学生今年各是多少岁？（广东省“育苗杯”小学五年级数学通讯赛复赛试题）分析：老师与学生的年龄同时增加，且每年共增加2岁，这是一个定量。七年后老师与学生年龄之和则为582772（岁），用和倍问题的解法求出七年后学生的年龄，然后再求出老师与学生今年各是多少岁。解：（5827）（21）72324（岁）七年后学生的年龄24717（岁）学生今年的年龄581741（岁），老师今年的年龄答：老师与学生今年分别为41岁、17岁。分析：由于下午又运来一批面粉，使得面粉的数量发生了变化，大米和后不同，如果从统一单位“1”入手，则给解题带来很大的困难。若仔细分析题目的条件，就能发现尽管一些条件在变化，但其中一个隐含的部分量没有变，那就是大米的数量是个定量，以这个定量为突破口，问题就容易解决了。根据题意，可知大米的袋数为：由此推得现在大米和面粉总数为：比原来增加了1008416（袋），即为下午运来的面粉数。答：下午运来面粉16袋。例6 在6千克含盐15的盐水中加水，使盐水中含盐9，需要加水多少千克？分析：此题的定量是盐的数量。根据题意，盐的数量为6150.9（千克）运用0.9千克与9相对应的关系，求出加水后的盐水为0.9910（千克）因为盐的数量先后未变，而盐水由6千克增加到10千克，所以增加的数量就是需要加水的数量。解：615961064（千克）答：需要加水4千克。【附录：统筹法】 统筹法是有关求最大值与最小值的实际应用。我们在制定某项工作计划或去完成某件工作时，必须考虑怎样提高效率，加快工作进程的问题。统筹法就是研究怎样选择最合理、最节省的最优方案去完成任务的方法。例1 五所学校A、B、C、D、E之间有公路相通，图上标出每段公路的千米数，想借一个学校召开一次学生代表会议，应出席会议的A校有代表6人，B校有代表4人，C校有代表8人，D校有代表7人，E校有代表10人，为使参加会议的代表所走路程的总和为最小，你认为会议应借在_校召开最合理。（1993年上海市第六届小学五年级数学竞赛复赛试题）分析：估计若会议在A校或E校召开，参加会议的代表所走路程的总和会很大，于是不选择A校和E作为会议地点。其他各校可进行计算比较。解：将A校和E校排除。如果选择B校，代表所走路程总和为26273810（32）100（千米）选择C校，代表所走的路程总和是（23）634（23）721097（千米）选择D校，代表所走路程总和是（22）624（23）8410112（千米）进行比较，选择会议召开地点答：会议在C校召开最合理。例2 有两个面粉厂供应三个居民区的面粉，甲厂月产60吨，乙厂月产100吨，第一居民区每月需要面粉45吨，第二居民区每月需要面粉75吨，第三居民区每月需要面粉40吨，甲厂与三区供应站的距离分别是10千米、5千米、6千米，乙厂与三区供应站的距离分别是4千米、8千米、5千米。问应如何分配面粉，才能使总运费最少？分析：要使总的运费最省，就要使总的“吨、千米”尽可能小，我们可以用代数法求最小值。解：设甲厂运往第一、二、三居民区的面粉分别为x吨、y吨、z吨，则乙厂运往三个居民区面粉分别为（45x）吨、（75y）吨、（4