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定积分 第一节定积分的概念与性质 1 实例1 求曲边梯形的面积 一 问题的提出 2 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然 小矩形越多 矩形总面积越接近曲边梯形面积 四个小矩形 九个小矩形 3 曲边梯形如图所示 4 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为 5 实例2 求变速直线运动的路程 思路 把整段时间分割成若干小段 每小段上速度看作不变 求出各小段的路程再相加 便得到路程的近似值 最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值 6 1 分割 2 求和 3 取极限 路程的精确值 7 二 定积分的定义 定义 8 记为 积分上限 积分下限 积分和 9 注意 10 定理1 定理2 三 存在定理 11 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 四 定积分的几何意义 12 几何意义 13 例1利用定义计算定积分 解 14 15 五 定积分的性质 16 证 此性质可以推广到有限多个函数作和的情况 性质1 17 证 性质2 18 补充 不论的相对位置如何 上式总成立 例若 定积分对于积分区间具有可加性 则 性质3 19 证 性质4 性质5 20 解 令 于是 可以直接作出答案 21 性质5的推论 证 1 22 证 说明 可积性是显然的 性质5的推论 2 23 证 此性质可用于估计积分值的大致范围 性质6 曲边梯形的面积夹在两个矩形之间 24 解 例2不计算定积分估计的大小 25 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 性质7 Th5 1定积分第一中值定理 积分中值公式 26 使 即 积分中值公式的几何解释 27 Th5 2 推广的积分第一中值定理 28 考察定积分 记 积分上限函数 六 积分上限函数及其导数 29 证 30 由积分中值定理得 31 计算下列导数 32 补充 证 33 例1求 解 分析 这是型不定式 应用洛必达法则 34 定理2 原函数存在定理 定理的重要意义 1 肯定了连续函数的原函数是存在的 2 初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系 35 定理3 微积分基本公式 证 七牛顿 莱布尼茨公式 36 令 令 牛顿 莱布尼茨公式 37 微积分基本公式表明 注意 求定积分问题转化为求原函数的问题 38 例4求 原式 例5设 求 解 解 39 例6求 解 由图形可知 40 则有 1 微积分基本公式 积分中值定理 微分中值定理 牛顿 莱布尼茨公式 41 定理 八 换元公式 42 证 43 44 应用换元公式时应注意 1 2 45 例1计算 例2计算 46 例1计算 解 凑微分是第一类换元积分法 特点是不要明显地换元 也就不要更换积分的上下限 47 例2计算 解 原式 48 例3计算 解 49 三角代换和根式代换 50 例4计算 解 令 原式 明显换元 51 证 52 53 奇函数 例6计算 解 原式 偶函数 单位圆的面积 54 总结 1 定积分公式 2 定积分计算方法 直接代入 凑微分 根式代换 三角代换 3 根式和三角代换为明显的代换 所以换元要换上下限4 介绍了积分上限函数5 积分上限函数是原函数6 计算上限函数的导数 55 证 1 设 56 57 2 由此计算 设 58 59 推导 九 分部积分公式 60 例计算 解 61 例2计算 解 令 则 62 例3计算 解 例4计算 63 例5计算 解 64 第四节广义积分一 无穷限的广义积分 65 66 67 例1计算广义积分 解 简记为 68 例1计算广义积分 解 69 证 70 71 72 73 74 75 76 回顾 曲边梯形求面积的问题 第五节 定积分应用 77 1 几何上的应用 78 面积 79 80 一 平面图形的面积 1 直角坐标情形 设曲线 与直线 及x轴所围曲 则 边梯形面积为A 右图所示图形 面积元素为 81 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 82 有时也会选y为积分变量 83 解 1 作图 2 求出两曲线的交点 3 选为积分变量 4 代公式 84 解 两曲线的交点 选为积分变量 85 解题步骤 2 求出交点 3 选择合适的积分变量 确定积分区间 计算 1 画出草图 86 例3 求椭圆 解 利用对称性 所围图形的面积 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当a b时得圆面积公式 87 二 立体体积 设所给立体垂直于x轴的截面面积为A x 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 上连续 1 已知平行截面面积函数的立体体积 88 例1 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心 并 与底面交成 角 解 如图所示取坐标系 则圆的方程为 垂直于x轴的截面是直角三角形 其面积为 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 89 思考 可否选择y作积分变量 此时截面面积函数是什么 如何用定积分表示体积 提示 90 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴 圆柱 圆锥 圆台 旋转体的体积 91 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时 有 当考虑连续曲线段 绕y轴旋转一周围成的立体体积时 有 2 旋转体的体积 92 旋转体的体积为 93 94 95 例1 计算由椭圆 所围