分块矩阵的基本性质及其应用毕业论文.doc

分块矩阵的基本性质及其应用毕业论文目录摘要IAbstractII第一章 前言1第二章：分块矩阵12.1.分块矩阵的定义12.2分块矩阵的运算法则12.2.1分块矩阵的加法12.2.2分块矩阵的乘法12.2.3分块矩阵的初等变换2第三章：分块矩阵的应用33.1分块矩阵在求矩阵的逆中的应用33.2分块矩阵在行列式计算中的应用53.3分块矩阵在解非齐次线性方程组中的应用73.4分块矩阵在计算矩阵的秩中的应用9致谢11参考文献12IV第一章 前言在高等代数中，矩阵是一项很重要的内容。也是高等代数的很多分支研究问题的工具，它贯穿了整个高等代数的内容。而我们在学习高等代数的时候常常碰到一些很难的问题，我们要经常用到矩阵的分块去解决，它可以使矩阵的结构更简单，这样可以使问题的解决更简明。 分块矩阵作为处理矩阵的一种重要的方法，在学习矩阵的分块之后，我们不仅仅只会矩阵的分块，还要学会更深层的问题，要学会观察，联想，猜想。学会用 矩阵的分块去解决在高等代数中遇到的问题，比如说用矩阵的分块去求高阶行列式，求一个矩阵的逆矩阵，求矩阵的特征值等一些问题。矩阵的分块能使矩阵的一些证明和计算变的非常简洁和快速，易于理解和掌握，而且能开拓学生的思维，提高灵活应用知识解决问题的能力。 下面主要介绍了分块矩阵的几个基本性质，分块矩阵的初等变换，还有就是分块矩阵在高等代数中的几个应用。13贵阳学院毕业论文第二章：分块矩阵2.1.分块矩阵的定义将一个矩阵用若干的横线和竖线分成若干个较小的矩阵: 其中每一个小矩阵叫做矩阵的子块,以子块为元素的矩阵就称之为分块矩阵.对矩阵分块可以使矩阵的结构更加清楚,使矩阵运算变得比较容易。2.2分块矩阵的运算法则通过矩阵的运算，我们可以知道，矩阵的加法就是矩阵的对应元素相加，分块矩阵的运算也是如此，不同的是，在分块矩阵的运算当中，用子块代替了矩阵中的元素。2.2.1分块矩阵的加法在分块矩阵的加法运算中，其运算规则为：如： 则，其中，是具有相同行列的矩阵。2.2.2分块矩阵的乘法与矩阵的乘法相似，分块矩阵的乘法需要满足以下两个要求：1、 左矩阵的列组数等于右矩阵的行组数。2、 左矩阵的每个列组所含列数等于右矩阵的相应行组所含行数。满足上述两个条件，就可以进行分块矩阵的乘法运算。分块矩阵的乘法运算法则为：，其中的列数与的行数相同。如：，那么其中2.2.3分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换可以分为以下三种情况：1、互换两行（列）的位置：如：2、某一行（列）左乘（右乘）一个矩阵P：如： 3、某一行（列）左乘（右乘）一个矩阵P加到另一行（列）上：如： 在分块矩阵的初等变换中，左乘一个初等矩阵就相当于它作相应的广义初等行变换，右乘一个初等矩阵就相当于它作相应的广义初等列变换。第三章：分块矩阵的应用3.1分块矩阵在求矩阵的逆中的应用命题1 设是一个四分块方阵，其中为阶方阵, 为阶方阵,当与都是可逆矩阵时，则是可逆矩阵，并且 特例 当，与都可逆时，有. 当，与都可逆时，有 当，与都可逆时，有 证明 设可逆，且，其中为阶方阵，为阶的方阵.则应有即 ， 于是得到下面的等式因为可逆，用右乘式可得代入式得 则.用右乘式可得 代入式得则 可得+.所以.例1：已知矩阵M= ，求.解：可以将矩阵分成四块M=,其中A=,C=,D=,根据分块矩阵的性质, =,而A,C,D的逆矩阵易求出, =,=,=,而=,所以=. 已知矩阵M= ，求.解：可以将矩阵分成四块M=, A=,B=,易求得，=，=，故由例1的推广=3.2分块矩阵在行列式计算中的应用 证明行列式的乘积公式=.证明：作=，设A，B为nn阵，作=，i,j=1,2, ,n,这里为nn阵，除了第i行第j列元素为外，其他元素皆为零，则由初等矩阵与初等变换的关系，易得右端为=.又由所对应的初等变换是某行加上另一行的倍数,它不改变行列式的值,故=.但可经n个两列对换变成,故=,这就证明了=. 设A,B,C,D,都是n阶矩阵，证明当AC=CA时，有=.证明：若A可逆，=, 故=. 若A不可逆，由于=是一个关于x的有限次多项式，只有有限多个零点，故除去这有限个值之外，我们总可设可逆，于是有=,再令趋于0（避开=0的有限个根），则=，这种方法称为摄动法.根据数学归纳法，对于准对角矩阵，有=.例5：计算矩阵M=的行列式.解：首先利用加边法，在原来的行列式中增加一行一列，但保持行列式的值不变，再利用行列式的性质进行简化.即=,令A=1,B=(),C=,D=,则=.3.3分块矩阵在解非齐次线性方程组中的应用设非齐次线性方程组为，将其写成矩阵方程为AX=B，其中X=，B=，若，则方程组有唯一确定的解，将矩阵A分块，A=,其中是非奇异矩阵，同时将X和B进行相应的分块，可令X=,B=,则方程组可写为=.将上式两端分别左乘上三角分块矩阵M=,有=,其中G=，则方程组的解可以转化成两个矩阵方程的解，由0，故存在，故=()，再将代入中求出，由此得X=.例6求解下列非齐次线性方程组.解：上式可写为矩阵方程AX=B，其中A为系数矩阵，X= ，B= ，进行分块可得=,其中A=，B=,C=,D=,运用上述方法可以求得=,可得D=,将原方程左乘,得到=，可得=，解得=，+=，可得=（-）=，故原方程组的解为=.3.4分块矩阵在计算矩阵的秩中的应用定理 1 秩秩,且秩秩,则秩min秩,秩4证明 令=，,则()可由线性表示秩秩,即秩秩秩令，所以即可由线性表示 秩秩,即秩秩秩 即秩 定理 2 设、都是级矩阵，若则秩秩5.证明 对分块如下:由于即即说明的各列都是的解.从而秩基础解系秩即秩秩参考文献1 百度百科.矩阵EB. /view/10337.htm#2,2009-02-21.2 国家工科数学教育基地.线性代数EB. 26:8090/xxds/neirongtiyao.htm,2009-02,08.3 林瑾瑜.分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用J.广东广播电视大学学报,2006,15(2):109-112.4 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数（第三版）M.高等教育出版社.2007:181-186.5 张敏.分块矩阵的应用J.吉林师范大学学报（自然科学版），2003，1(1):120.6 孔庆兰.分块矩阵的应用J.枣庄学院学报,2006，23(5)：25-26.7 刘力.分块矩阵在证明矩阵秩的性质上的应用J.沧州师范专科学校学报,2006,22(4):40-41.8 李玉梅.分块矩阵的几个重要应用J.怀化师专学报，2000，19(4)：77-78.9 LiuXianghua,The Application O