北京市宣武区第二次模拟试题数学试卷理科.doc

2001年北京市宣武区第二次模拟试题数学试卷（理科）第I卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知映射f：AB，其中集合A=-3，-2，-1，1，2，3，集合B中的元素都是集合A中的元素在映射f下的象，且对于任意aA，在B中和它对应的元素是log2|a|，则集合B中元素为有理数的个数是（ ）A 0 B 1 C 2 D 3 2函数的反函数的图象是（ ）3椭圆的离心率是，那么双曲线的离心率是（ ）A B C D 4已知m、n是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，对于以下四个命题：若m，n，则mn； 若mn，m，n，则；若=m，mn，则n且n；若mn，=m，则n或n若中正确的命题是（ ）A 与 B 与 C 仅 D 仅5函数y=(arcsinx)2+4arcsinx-1取得最大值和最小值的情况是（ ）A 有最小值-5，无最大值B 有最小值-5，最大值C 有最小值，最大值D 有最小值，最大值6极坐标方程所表示的曲线是（ ）A 两条相交的直线 B 两个相交的圆C 一条直线和一个圆，且直线与圆相离 D 一条直线和一个圆，且直线与圆相切7设复数，w=1+i，则|zw|的最大值是（ ）A B C 2 D 8已知两圆O1：x2+y2=16，O2：(x1)2+(y+2)2=9，两圆公共弦交直线O1O2于M点，则Q1分有向线段MO2的比等于（ ）A B C D 9数列an是公差不为零的等差数列，且a7、a10、a15是一等比数列bn的连续三项，若该等比数列的首项为b1=3，则bn等于（ ）A B C D 10如图一，菱形ABCD中，DAB=120，AB=1，沿对角线AC将ACD折起，使点D至D位置，连BD得到三棱锥DABC（如图二），则三棱锥DABC体积的最大值为（ ）A B C D 11某车队有编号为1，2，3，4，5的五辆车。现为完成一件任务，需派三辆车按不同时间出车，其中若2号、3号车被同时派出时，则2号车一定要排在3号车前面。这样不同的派车方法的种数为（ ） A 51 B 45 C 60 D 3012不等式的解集是，其中a、b是实数，且，则b的值等于（ ）A 1 B C D 2第II卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中的横线上。13的值为 。14已知轴截面是正三角形的圆锥的侧面积等于一个球的表面积，那么这个圆锥的体积与球的体积之比是。15对于函数，有以下四个结论：f(x)的定义域是全体实数；f(x)在上是增函数；f(x)是偶函数；若又知a、，且f(a)=m，则其中正确结论的序号是（把正确结论的序号都填上）16已知抛物线x2=y+1上一定点A(0，1)和两动点P、Q，当PAPQ时，点Q的横坐标的取值范围是。三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）已知集合，集合B=x|x2+(43a)x12a，若AB=B，求实数a的取值范围。18（本小题满分12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且，求的值。19（本小题满分14分）已知：如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，点M、N、E分别为AB、PC、PD的中点。（I）求证：AE平面PMC；（II）求证：MNAB；（III）若平面PCD和平面ABCD所成的二面角为锐角，试确定的值，使得直线MN为异面直线AB和PC的公垂线；（IV）在（III）的条件下，若又知AB=1，AD=2，求多面体AMCDEN的体积。20（本小题满分12分）某房屋开发公司用128万元购得一块土地，欲建成不低于五层的楼房一幢，该楼每层的建筑面积为1000平方米，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与楼层有关，若该楼建成x层时，每平方米的平均建筑费用用f(x)表示，已知建成n层时所需费用与建成m层所需费用有如下关系成立：，（其中nm，m、nN）又知建成五层楼房时，每立方米的平均建筑费用为400元，为了使该楼每平方米的综合费用最省（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把该楼建成几层？21（本小题满分12分）设a为实常数，且a1，an为(1+a+x)n展开式中x的系数，其中nN。（I）写出数列an的通项公式；（II）设Sn=a1+a2+an，求Sn；（III）当时，求的值。22（本小题满分12分）已知双曲线，F为右焦点，A为右顶点，又点B的坐标为（0，b），ABF的面积为，FAB=135。（I）求双曲线G的方程；（II）直线过点且与双曲线G的左支交于M、N两点，求直线m的斜率k的取值范围；（III）在（II）的条件下，又知直线1过点（2，0）和线段MN的中点，PQ是y轴上的一条动线段，当1和线段PQ无公共点时，PQ的长的最大值是否存在，请说明理由。参考答案一、1 C 2 B 3 D 4 C 5 C 6 D 7 C 8 A 9 A 10 B 11 A 12B二、1311415、16三、17解：对于集合A，有， A=（1，0）（2，3）对于集合0，0 又， 3a3，a1。18解：由， 得 即整理得=0解得， A=30又由，根据正弦定理得，19（1）证明：EN为PCD的中位线，EN =CD又AM=CD EN=AM，四边形AENM是平面四边形AEMN，MN平面PMC，AE平面PMC，AE平面PMC（II）证明：PA底面ABCD，PAAB。又ABAD，PAAD=A，AB平面PAD， ABAE。由（I）知AEMN，MNAB。（III）解：时，直线MN是异面直线AB和PC的公垂线。下面进行推证：ADCD， PA底面ABCD。PDCD，PDA为平面PCD和平面ABCD所成二面角的平面角。即PDA=，设AB=a，AD=b，PA=c。若MN为异面直线AB和PC的公垂线，又由（II）知MNAB，则须MNPC，即须MC=PM。在RtCBM中，在RtPAM中，须CM=PM，只须b=c，即AD=PA即可。此时，。又当时，AD=PA，CM=PMN为CD中点， MNCP。又由（II）知MNAB，此时MN为AB和PC的公垂线。综上，当且仅当时，直线MN为异面直线AB和PC的公垂线。（IV）解：，PAD是等腰Rt，又E是斜边PD的中点， AEPE。由（III）知PDCD。ENCD，PDEN，即PEEN。PE面AENM，PE是四棱锥PAENM的高。又AEAB，四边形AENM为矩形。四边形AENM的面积 又多面体AMCDEN的体积为20解：设该楼建成x，则每平方米的购地费用为（元）由题意知f(5)=400，（元）每平方米的综合费用为：（元）当且仅当 即x=8时等号成立当该楼建成8层时，每平方米的综合费用最省。21解：（I）， （II） ， 1）当a=0时，2）当a0时且a1时，(1+a)得(1+a)Sn=(1+a)+2(1+a)2+(1+a)n1n(1+a)n ，得=（III）当a=0时，当a0时若a0或a2即时，；若a=2即时，综上，其中22解：（I）如图A（a，0），F（c，0），B（0，b）FAB=135，BAO=45 b=a， 双曲线G的方程为（II）设m的方程为，由消去y，得。直线m和双曲线G的左支交于两个不同的点的充要条件是方程为一元二次方程且有两个不等的负实根，即（III）设直线m和双曲线G左支的交点为M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为C（x0，y0），则设过点R、C的直线与y轴交点为D（0，b）由于点R（2，0）、和在同一直线上，化简得设