2019-2020学年重庆市重庆外国语学校高二上学期一月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年重庆市重庆外国语学校高二上学期一月月考数学试题一、单选题1直线经过点，且在y轴上的纵截距为6，则直线的斜率为（ ）ABCD2【答案】D【解析】由直线过两点，直接代入斜率公式即可求解.【详解】直线经过点，且在y轴上的纵截距为6，直线过两点，.故选：D.【点睛】本题考查斜率的公式应用，考查运算求解能力，属于基础题.2已知双曲线（）的一条渐近线方程为，则（ ）A1B2CD【答案】A【解析】先判断双曲的焦点位置，再利用求得的值.【详解】双曲线的焦点在轴上，.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的渐近线，考查对概念的理解和基本运算求解能力，属于基础题.3设为实数，直线，则“”是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 ，但不能推出故是充分不必要条件故选A4已知椭圆C：的焦点为，过点直线交椭圆C于A，B两点，则的周长为（ ）A2B4C6D8【答案】D【解析】利用椭圆的定义，可求得的周长为，即可得到答案.【详解】根据椭圆的定义，的周长为，的周长为.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的定义，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意5已知命题“，使得”是假命题，则实数a的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】若命题“，使”是假命题，则函数的最小值大于等于0，结合二次函数的性质，可得实数的取值范围【详解】若命题“，使”是假命题，则函数的最小值大于等于0，即，解得：.故选：C.【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键6将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥DABC的体积为( )ABCD【答案】D【解析】如图，取中点，连接因为是边长为的正方形，是中点，所以且在中，因为，所以，从而可得，即所以可得面，从而有，故选D7四棱锥的底面是一个正方形，平面是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 （ ）ABCD【答案】B【解析】【详解】取的中点，连接.为的中点，就是异面直线与所成的角.，四边形是正方形，.又平面，.连接，与 交于，连接.四边形是正方形，为的中点， 平面，.，.在中， ，即异面直线 与 所成角的余弦值为；故选B.点睛：本题是一道有关异面直线所成角的题目，在求解的过程中，首先要找到异面直线所成的平面角，根据题意取的中点，连接，分析可知就是异面直线与所成的角；然后再由勾股定理可知，为直角三角形，由此即可求出的余弦值，进而求出结果.8对于平面和共面的直线，下列命题是真命题的是A若，与所成的角相等，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【解析】利用直线和平面平行、垂直的判定和性质，判断命题A、B、C都不正确，只有D正确，从而得到结论【详解】由于平面和共面的直线，若，与所成的角相等，则直线，平行或相交，故A不正确若，则，则共面直线，平行或相交，故B不正确若，则与平面平行或在平面内，故C不正确若，根据直线，是共面的直线，则一定有，故D正确，故选：D【点睛】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判定，命题的真假的判断，属于基础题9已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】设，代入椭圆方程得，利用“点差法”可得利用中点坐标公式可得，利用斜率计算公式可得于是得到，化为，再利用，即可解得，进而得到椭圆的方程【详解】解：设，代入椭圆方程得，相减得，化为，又，解得，椭圆的方程为故选：【点睛】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键10已知过定点的直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的倾斜角为（ ）ABCD【答案】A【解析】【详解】试题分析：画出图象如下图所示，所以时面积最大，此时，圆心到直线的距离为，设直线斜率为，直线方程为，圆心到直线距离.倾斜角为.【考点】直线与圆的位置关系.11双曲线：的右焦点为，左顶点为，设以点为圆心且过点的圆交双曲线的一条渐近线于，两点，若不小于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据题意写出圆的标准方程，求出圆心到渐近线的距离，运用弦长公式求得弦长，再由题意不小于，结合，的关系和离心率公式即可求出离心率的取值范围【详解】解：双曲线的右焦点为，左顶点，圆，则双曲线的一条渐近线方程为，圆心到渐近线的距离为，则，即有，即为，由离心率，得，解得；又，所以故选：【点睛】本题考查了双曲线的标准方程与几何性质的应用问题，也考查了直线和圆的应用问题，属于中档题12如图，在长方体中，点M是棱的中点，点N在棱上，且满足，P是侧面四边形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】取中点，在上取点，使，连结、，则平面平面，由此推导出线段，当与的中点重合时，线段长度取最小值，当与点或点重合时，线段长度取最大值或，由此能求出线段长度的取值范围【详解】取中点，在上取点，使，连结、，则平面平面，是侧面四边形内一动点（含边界），平面，线段，当与的中点重合时，线段长度取最小值，当与点或点重合时，线段长度取最大值或，在长方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足，线段长度的取值范围是，故选：D【点睛】本题考查立体几何中线段长取值范围，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查空间想象能力和运算求解能力二、填空题13已知直线：与直线：垂直，则m的值为_【答案】【解析】由两直线垂直的充要条件可得，从而可求得m的值.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查两直线垂直的充要条件，考查运算求解能力，属于基础题.14抛物线上的点到该抛物线焦点F的距离为2，设O为坐标原点，则的面积为_【答案】【解析】利用点的坐标可得，从而得到准线方程与焦点坐标，再根据焦半径公式求得的值，再将点的坐标代入抛物线方程得，利用三角形的面积公式可求得答案.【详解】点在抛物线上，抛物线的准线为，焦点为，不妨设，.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意焦半径公式的应用.15已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，则球的表面积为 【答案】【解析】试题分析：设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，即，由题设可得，解之得，故球的面积.故应填答案.【考点】球的几何性质与面积公式的运用【易错点晴】球是立体几何中的重要图形之一，也是高中数学中的重要知识点之一,也历届高考必考考点之一.本题以球中的有关概念为背景，考查是与球有关的知识的综合运用读能力和空间想象能力.解答时先运用正弦定理可得，即，再由题设可得，解之得，最后求得球的面积，从而获得答案.16设是双曲线上一点，、分别是两圆和上的点，则的最大值为_.【答案】【解析】设双曲线的左、右焦点分别为、，当点位于该双曲线的左支时，由圆的几何性质得，然后利用不等式的性质和双曲线的定义可得出的最大值.【详解】如下图所示：设双曲线的左、右焦点分别为、，则点为圆的圆心，点为圆的圆心，当取最大值时，点在该双曲线的左支上，由双曲线的定义可得.由圆的几何性质得，所以，.故答案为：.【点睛】本题考查线段长度差最大值的求解，涉及双曲线的定义与以及圆外一点到圆上一点距离的最值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题17已知圆C经过和两点，且圆心在直线上.（1）求圆C的方程；（2）设点是圆C上任意一点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出线段的中垂线方程，再与直线联立求出圆心的坐标，进而利用两点间的距离公式求出半径，从而得到圆的方程；（2）利用点到直线的距离公式求出直线与圆相切时斜率的值，即可得到答案.【详解】（1）线段的中点为，线段的中垂线方程为，联立方程，圆心坐标为，半径，圆的方程为.（2）设，当直线与圆相切时，解得：.的值为直线的斜率的值，且直线与圆相切或相交，的取值范围.【点睛】本题考查圆的方程求程、点到直线的距离公式、直线与圆相切，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意斜率几何意义的应用.18在多面体中，直角梯形与正方形所在平面互相垂直，分别是，的中点.（）求证：平面；（）求证：平面.【答案】（）证明见解析；（）证明见解析.【解析】（）利用线面平行的判定定理证明；（）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明；【详解】证明：（）连接，在正方形中，点也是的中点，是的中点.在中，又平面，平面；平面；（）因为直角梯形与正方形所在平面互相垂直，平面，平面平面平面平面，所以在中，又，平面，平面.平面.【点睛】本题考查空间直线、平面的位置关系，考查推理论证能力，属于中档题.19已知动点到直线的距离比它到点的距离大1.（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）若直线与轨迹E交于A，B两点，且以为直径的圆经过坐标原点，求k的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知得动点到直线的距离与到点的距离相等，再利用抛物线的定义得到的轨迹的方程（2）设，由，消去，得：，由此利用根的判别式、圆的性质，结合已知条件能求出直线的方程【详解】（1）由已知得动点到直线的距离与到点的距离相等，动点的轨迹为抛物线，设，动点的轨迹的方程为（2）设，将直线代入得：，则，解得，以为直径的圆过原点，解得.【点睛】本题考查求轨迹方程、直线与圆的位置关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意抛物线定义的运用.20如图，在三棱柱中，点，分别是，的中点，已知平面，（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由已知可得，进一步得到再由，是的中点，可得然后利用线面垂直的判定可得平面；（2）取的中点，连接，取的中点，连接，可证是与平面所成的角，然后求解直角三角形可得与平面 所成角的正弦值【详解】（1）平面，又，是的中点，又，平面；（2）取的中点，连接，取的中点，连接，平面，是与平面所成的角由，解得，【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定、线面角的求法，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意传统法求线面角的三个步骤：一作、二证、三求.21已知四棱锥中，平面，底面为菱形，E是中点，M是的中点，F是上的动点.（1）求证：平面平面；（2）直线与平面所成角的正切值为，当F是中点时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接，推导出，由此能证明平面平面（2）以，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值【详解】（1）连接，底面为菱形，是正三角形；是中点，又，平面，平面，又，平面，又平面，平面平面（2）由（1）得，两两垂直，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面，就是与平面所成的角，在中，即，设，则，得，又，设，则，从而，则,，设是平面的一个法向量，则，取，得，又平面，是平面的一个法向量，设二面角的平面角为则二面角的余弦值为【点睛】本题考查面面垂直的证明、二面角的余弦值的求法，考查转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意空间直角坐标系的建立.22已知椭圆的离心率为，且过点.（I）求椭圆的标准方程；（II）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设，满足.（i）试证的值为定值，并求出此定值；（ii）试求四边形ABCD面积的最大值.【答案】（）；（）(i)为定值0；(ii)最大值为4【解析】【详解】试题分析：（）利用待定系数法进行求解；（）联立直线与椭圆的方程，整理成关于的