2010年中考数学试题分类汇编压轴题(五)及答案.doc

我要中考网 2010年部分省市中考数学试题分类汇编 压轴题(五)28（江苏省无锡市本题满分10分）如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图 3 的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ：623300747转载请注明！（1）请在图2中，计算裁剪的角度BAD；（2）计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度图1 图2图3解:（1）由图2的包贴方法知：AB的长等于三棱柱的底边周长，AB=30纸带宽为15，sinDAB=sinABM=,DAB=30（2）在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图甲的侧面展开图，图甲图乙将图甲种的ABE向左平移30cm，CDF向右平移30cm，拼成如图乙中的平行四边形ABCD，此平行四边形即为图2中的平行四边形ABCD由题意得，知：BC=BE+CE=2CE=2，所需矩形纸带的长为MB+BC=30cos30+=cm28（江苏省宿迁市 本题满分12分）已知抛物线交轴于、，交轴于点，其顶点为（1）求、的值并写出抛物线的对称轴；（2）连接，过点作直线交抛物线的对称轴于点求证：四边形是等腰梯形；（3）问Q抛物线上是否存在点，使得OBQ的面积等于四边形的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由（第28题2）（第28题）解:（1）求出：，抛物线的对称轴为：x=2 3分(2) 抛物线的解析式为，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BEOBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），BOE= OBD= OEBD四边形ODBE是梯形 5分在和中，OD= ，BE=OD= BE四边形ODBE是等腰梯形 7分(3) 存在， 8分由题意得： 9分设点Q坐标为（x，y），由题意得：=当y=1时，即， ， ，Q点坐标为（2+，1）或(2-，1) 11分当y=-1时，即， x=2，Q点坐标为（2，-1）综上所述，抛物线上存在三点Q（2+，1），Q (2-，1) ，Q（2，-1）使得= 12分EFQ1Q3Q226(湖南省长沙市)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上， cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动设运动时间为t秒（1）用t的式子表示OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当OPQ与PAB和QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比BAPxCQOy第26题图解：(1) CQt，OP=t，CO=8 OQ=8tSOPQ（0t8） 3分(2) S四边形OPBQS矩形ABCDSPABSCBQ32 5分四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32 6分（3）当OPQ与PAB和QPB相似时, QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是QPB90 又BQ与AO不平行 QPO不可能等于PQB，APB不可能等于PBQ根据相似三角形的对应关系只能是OPQPBQABP 7分解得：t4 经检验：t4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）此时P（，0）B（，8）且抛物线经过B、P两点，抛物线是，直线BP是： 8分设M（m, ）、N(m，) M在BP上运动 与交于P、B两点且抛物线的顶点是P当时， 9分 当时，MN有最大值是2设MN与BQ交于H 点则、SBHMSBHM ：S五边形QOPMH3:29当MN取最大值时两部分面积之比是3：29 10分28.（南京市8分）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。（1）设AE=时，EGF的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。解：（1）当点E与点A重合时，x=0 y=;当点E与点A不重合时，0x2 在正方形ABCD中 A=ADC=90,MDF=90,A=MDF.AM=DM AME=DMF.AMEDMF.ME=MF在RtAME中，AE=x,AM=1,EF=2ME=2过M作MNBC于N，则MNG=90, AMN=90MN=AB=AD=2AMAME+EMN=90EMG=90 NMG+EMN=90AME=GMN tAMEtNMG 即MG=2ME=222=2+2x2y=2 x2+2 (0x2)(2) 的运动路线的长为225（云南省昆明市12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点.（1）求此抛物线的解析式；（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作M的切线l ，且l与x轴的夹角为30，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号） 解：（1）设抛物线的解析式为： 由题意得： 1分解得： 2分抛物线的解析式为： 3分（2）存在 4分l 抛物线的顶点坐标是，作抛物线和M（如图），设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与M相切于点C连接MC，过C作CD x 轴于D MC = OM = 2, CBM = 30, CMBCBCM = 90 ，BMC = 60 ，BM = 2CM = 4 , B (-2, 0) 在RtCDM中，DCM = CDM - CMD = 30DM = 1, CD = = C (1, )设切线 l 的解析式为:，点B、C在 l 上，可得： 解得： 切线BC的解析式为：点P为抛物线与切线的交点由 解得： 点P的坐标为：， 8分 抛物线的对称轴是直线此抛物线、M都与直线成轴对称图形于是作切线 l 关于直线的对称直线 l(如图)得到B、C关于直线的对称点B1、C1l满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线的对称点： ，即为所求的点.这样的点P共有4个：， 12分（本题其它解法参照此标准给分）25(江西省)课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题实验与论证设旋转角A1A0B1（A1A0B1），1，2，3，4，5，6所表示的角如图所示（1）用含的式子表示角的度数：3_，4_，5_；（2）图1图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择期中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想设正n边形A0A1A2An-1与正n边形A0B1B2Bn-1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2Bn-1绕顶点A0逆时针旋转（）（3）设n与上述“3，4，”的意义一样，请直接写出n的度数；（4）试猜想在正n边形且不添加其他辅助线的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由解: （） 3分 说明：每写对一个给1分.（）存在下面就所选择图形的不同分别给出证明:选图，图中有直线垂直平分证明如下:方法一:证明：与与是全等的等边三角形，.又.点在线段的垂直平分线上.又点在线段的垂直平分线上.所以直线垂直平分.6分方法二:证明: 与与是全等的等边三角形，.又.在与中,.是等腰三角形的顶角平分线. 直线垂直平分. .6分选图2.图2中有直线垂直平分，证明如下：.又,点在线段的垂直平分线上.又,点在线段的垂直平分线上.所以直线垂直平分 .6分.说明:(i)在图2中选用方法二证明的，参照上面的方法二给分； （i i）选图 3或图4给予证明的，参照上述证明过程评分.（）当为奇数时， ，当为偶数时， .8分.（）存在，当为奇数时，直线垂直平分当为偶数时，直线垂直平分.10分. 说明：第（）、（）问中，每写对一个得1分.26.( 辽宁省大连市)如图17，抛物线F：与轴相交于点C，直线经过点C且平行于轴，将向上平移t个单位得到直线，设与抛物线F的交点为C、D，与抛物线F的交点为A、B，连接AC、BC（1）当，时，探究ABC的形状，并说明理由；（2）若ABC为直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；（3）在（2）的条件下，若点A关于轴的对称点A恰好在抛物线F的对称轴上，连接AC，BD，求四边形ACDB的面积（用含a的式子表示）OCABDx图17解：（1）结论：是直角三角形. 1分由题意：令解得点的坐标分别为设与轴相交于点，在和中是直角三角形2分（2）由题意，设点的坐标为3分4分设为的中点，则点的坐标为为直角三角形5分即6分7分（舍去）8分（3）依题意，点与点重合在抛物线的对称轴上，与关于轴对称轴四边形是平行四边形9分在中与关于轴对称为等边三角形10分11分12分25、(陕西省)问题探究 (1)请你在图中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分； （2）如图点M是矩形ABCD内一点，请你在图中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。 问题解决（3）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DCOB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处。为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由解：（1）如图（2）如图连结AC 、BC交与P则P为矩形对称中心。作直线MP，直线MP即为所求。（3） 如图存在直线l过点D的直线只要作 DAOB与点A 则点P(4,2)为矩形ABCD的对称中心过点P的直线只要平分DOA的面积即可易知，在OD边上必存在点H使得PH将DOA 面积平分。从而，直线PH平分梯形OBCD的面积即直线 PH为所求直线l设直线PH的表达式为 y=kx+b 且点P(4,2)2=4k+b 即b=24ky=kx+24k直线OD的表达式为y=2x 解之点H的坐标为（，）PH与线段AD的交点F（2,22k）022k41k1SDHF=解之，得。（舍去）b=8直线l的表达式为y=24(山东省济南市本小题满分9分)如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E求A、B、C三个点的坐标点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN求证：AN=BMDCMNOABPl第24题图yEx在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值.DCMNOABP第24题图lxyFE解：令，解得：， A(1，0)，B(3，0)2分=，抛物线的对称轴为直线x=1，将x=1代入，得y=2，C（1，2）. 3分在RtACE中，tanCAE=，CAE=60，由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线，AC=BC，ABC为等边三角形， 4分AB= BC =AC = 4，ABC=ACB= 60，又AM=AP，BN=BP，BN = CM， ABNBCM， AN=BM. 5分四边形AMNB的面积有最小值 6分设AP=m，四边形AMNB的面积为S，由可知AB= BC= 4，BN = CM=BP，SABC=42=，CM=BN= BP=4m，CN=m， 过M作MFBC,垂足为F,则MF=MCsin60=，SCMN=，7分S=SABCSCMN=（）= 8分m=2时，S取得最小值3. 9分23.（红河州 本小题满分14分）如图9，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0t6）s.（1）求OAB的度数.（2）以OB为直径的O与AB交于点M，当t为何值时，PM与O相切？（3）写出PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值.（4）是否存在APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由.解：（1）在RtAOB中：tanOAB=OAB=30（2）如图10，连接OP，OM. 当PM与O相切时，有PM O=PO O=90， PM OPO O由（1）知OBA=60OM= OBOBM是等边三角形B OM=60可得O OP=M OP=60OP= O OtanO OP =6tan60=又OP=tt=，t=3即：t=3时，PM与O相切.（3）如图9，过点Q作QEx于点E BAO=30，AQ=4t QE=AQ=2t AE=AQcosOAB=4tOE=OA-AE=-t Q点的坐标为（-t，2t） SPQR= SOAB -SOPR -SAPQ -SBRQ = = = （） 当t=3时，SPQR最小= （4）分三种情况：如图11.当AP=AQ1=4t时，OP+AP=t+4t=t=或化简为t=-18当PQ2=AQ2=4t时 过Q2点作Q2Dx轴于点D，PA=2AD=2A Q2cosA=t即t+t =t=2当PA=PQ3时，过点P作PHAB于点H AH=PAcos30=（-t）=18-3tAQ3=2AH=36-6t得36-6t=4t，t=3.6综上所述，当t=2，t=3.6，t=-18时，APQ是等腰三角形.24.( 湖北省恩施自治州 12分) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式（2）连结PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积. 图11解：（1）将B、C两点的坐标代入得 2分解得： 所以二次函数的表达式为： 3分（2）存在点P，使四边形POPC为菱形设P点坐标为（x，），PP交CO于E若四边形POPC是菱形，则有PCPO连结PP 则PECO于E，OE=EC=6分= 解得=，=（不合题意，舍去）P点的坐标为（，）8分（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，），易得，直线BC的解析式为则Q点的坐标为（x，x3）.= 10分当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积 12分23（河南省11分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A，B，C三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标27（贵州省遵义市14分）如图，已知抛物线的顶点坐（27题图）标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD轴，交AC于点D(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）（3分）抛物线的顶点为Q（2，-1）设将C（0，3）代入上式，得， 即 （2）（7分）分两种情况： (3分)当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图) 令=0, 得解之得, 点A在点B的右边, B(1,0), A(3,0)P1(1,0)(4分)解:当点A为APD2的直角顶点是(如图)OA=OC, AOC=, OAD2=当D2AP2=时, OAP2=, AO平分D2AP2又P2D2轴, P2D2AO, P2、D2关于轴对称.设直线AC的函数关系式为将A(3,0), C(0,3)代入上式得, D2在上, P2在上,设D2(,), P2(,)()+()=0, , (舍)当=2时, =-1 P2的坐标为P2(2,-1)(即为抛物线顶点)P点坐标为P1(1,0), P2(2,-1) (3)(4分)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形当点P的坐标为P2(2,-1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交轴于点E,交抛物线于点F.当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形P(2,-1), 可令F(,1)解之得: , F点有两点,即F1(,1), F2(,1)25（龙岩市14分）如图，将直角边长为的等腰直角三角形ABC绕其直角顶点C顺时针旋转角（090），得A1B1C，A1C交AB于点D，A1B1分别交于BC、AB于点E、F，连接AB1（1）求证：ADCA1DF；（2）若=30，求AB1A1的度数；（3）如图，当=45时，将A1B1C沿CA方向平移得A2B2C2，A2C2交AB于点G，B2C2交BC于点H，设CC2=x（0x），ABC与A2B2C2的重叠部分面积为S，试求S与x的函数关系式图 图 备用图（第25题图）解： （1）证明：如图，根据旋转变换的性质易知 CAD=FA1D 1分 1=2 2分 ADCA1DF 4分 （2）解：图（法一） CA=CA1=CB=CB1= 点A、A1、B、B1均在以C为圆心 半径为的圆上， 2分 AB1A1= 4分 （法二） 如图， AC=B1C 4=3 1分 ，A1CB1=90 ACB1=120 2分 4=30 3分 AB1A1=CB1A14=4530=15 4分 （法三）如图， AC=B1C 4=3 1分 CAB=CB1A1 CAB3=CB1A14即 B1AB=AB1A1 2分 5=B1AB+AB1A1 5=2AB1A1 3分 ADCA1DF 5= AB1A1= 4分 （3）解：A1B1C在平移的过程中，易证得AC2G、HB2E、A2FG、C2HC、 FBE均是等腰直角三角形，四边形AC2B2F是平行四边形 1分 AB=2 当=45时，CE=CD=AB=1情形：当0x1时（如图所示），A2B2C2与ABC的重叠部分为五边形C2HEFG 2分（法一） S五边形C2HEFG=S平行四边形AC2B2FSRtAC2GSRtHB2E C2C=x CH=x，AC2=，B2E=HE= AG=C2G=AC2= S平行四边形AC2B2F=AC2CE=（）1=图 SRtAC2G=AG2= SRtHB2E=B2E2= 3分 S五边形C2HEFG= = 4分（法二） S五边形C2HEFG= SRtA2B2C2SRtA2FGSRtHB2E C2C=x AC2=，B2E= C2G=AC2=A2G=A2C2C2G = SRtA2B2C2=A2=1 SRtA2FG=A2G2= SRtHB2E =B2E2= 3分 S五边形C2HEFG= = 4分（法三） S五边形C2HEFG= SRtABCSRtAC2GSRtC2HCSRtFBE C2C=x AC2=，CH=，BE= AG=C2G=AC2= SRtABC=A=1 SRt AC2G =AG2= SRtC2HC =C2C2= SRtFBE =BE2= 3分 S五边形C2HEFG= = 4分情形：当1x时（如图所示）， A2B2C2与ABC的重叠部分为直角梯形C2B2FG 5分（法一） S直角梯形C2B2FG=S平行四边形C2B2FASRtAC2G=AC2CEAG2= 6分（法二） S直角梯形C2B2FG= SRtA2B2C2SRtA2FG图= 6分26. (湖南省郴州市)如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.（1）求点A的坐标；（2)当b=0时（如图（2），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由. 第26题图（1）图（2） 解：（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，4）.2分（2）当b0时，直线为，由解得， 所以B、C的坐标分别为（2，2），（2，2） ，所以（利用同底等高说明面积相等亦可） .4分当时，仍有成立. 理由如下由，解得， 所以B、C的坐标分别为（，+b），（，+b），作轴，轴，垂足分别为F、G，则，而和是同底的两个三角形，所以. .6分（3）存在这样的b.因为所以所以，即E为BC的中点所以当OE=CE时，为直角三角形 .8分因为所以 ，而所以，解得，所以当b4或2时，OBC为直角三角形. .10分 26. (湖南省怀化市本题满分10分)图9是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4).（1）求出图象与轴的交点A,B的坐标； 图9（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使,若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围.解:(1) 因为M(1,-4) 是二次函数的顶点坐标，所以 2分令解之得.A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0）4分(2) 在二次函数的图象上存在点P，使5分设则，又,图1二次函数的最小值为-4，.当时，.故P点坐标为（-2，5）或（4，5）7分（3）如图1，当直线经过A点时，可得8分 当直线经过B点时，可得9分由图可知符合题意的的取值范围为10分23（湖南省株洲市本题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与轴交于另一点，其顶点为孔明同学用一把宽为带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量： 量得； 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点的刻度读数为请完成下列问题：（1）写出抛物线的对称轴；（2）求抛物线的解析式；（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点的右边（如图2），直尺的两边交轴于点、，交抛物线于点、求证：图1图2B解：（1） 2分（2）设抛物线的解析式为：，当时，即；当时，即，依题意得：，解得：抛物线的解析式为： 6分（3）方法一：过点作，垂足为，设， ，得： 又，得，分别代入、得：，得：又 10分方法二：过点作，垂足为，设，则，得： 10分22.( 珠海市)如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCD（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0,6）；将BCD沿BD折叠（D点在OC边上），使C点落在OA边的E点上，并将BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上.(1)直接写出ABE、CBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式；(2)过F点作FGx轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式；(3)若点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PNBC分别交BC和BD于点N、M，设h=PM-MN，试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PMMN成立的x的取值范围。解：（1）ABECBD=30 在ABE中，AB6BC=BE=CD=BCtan30=4OD=OC-CD=2B(，6) D(0,2)设BD所在直线的函数解析式是y=kx+b 所以BD所在直线的函数解析式是(2)EF=EA=ABtan