菱形（基础）知识讲解练习

菱形（基础）【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理【要点梳理】【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形） 知识要点】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点诠释：菱形的定义的两个要素：是平行四边形.有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、（2015石景山区一模）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE=AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接BD（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；（2）连接AG，若FGB=30，GB=AE=1，求AG的长【思路点拨】（1）连接AC，再根据菱形的性质得出EGBD，根据对边分别平行证明是平行四边形即可（2）过点A作AHBC，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可【答案与解析】 （1）证明：连接AC，如图1：四边形ABCD是菱形，AC平分DAB，且ACBD，AF=AE，ACEF，EGBD又菱形ABCD中，EDBG，四边形EGBD是平行四边形 （2）解：过点A作AHBC于HFGB=30，DBC=30，ABH=2DBC=60，GB=AE=1，AB=AD=2，在RtABH中，AHB=90，AH=，BH=1GH=2，在RtAGH中，根据勾股定理得，AG=【总结升华】本题考查了菱形性质，关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定以及直角三角形的性质解题举一反三：【变式1】（2015温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且AED=50，则CBO= 度【答案】50；解：在菱形ABCD中，ABCD，CDO=AED=50，CD=CB，BCO=DCO，在BCO和DCO中，BCODCO（SAS），CBO=CDO=50【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形） 例1】【变式2】菱形ABCD中，AB15，若周长为8，则此菱形的高等于( ) A.B.4C.1D.2【答案】C；提示：由题意，A30，边长为2，菱形的高等于21.类型二、菱形的判定2、如图所示，在ABC中，CD是ACB的平分线，DEAC，DFBC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DEAC，DFBC知四边形DECF是平行四边形，再由123得到邻边相等即可【答案与解析】解：四边形DECF是菱形，理由如下： DEAC，DFBC 四边形DECF是平行四边形 CD平分ACB， 12 DFBC， 23， 13 CFDF， 四边形DECF是菱形【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形举一反三：【变式】如图所示，AD是ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由【答案】 解：四边形AEDF是菱形，理由如下： EF垂直平分AD， AOF与DOF关于直线EF成轴对称 ODFOAF， 又 AD平分BAC，即OAFOAE， ODFOAE AEDF， 同理可得：DEAF 四边形AEDF是平行四边形， EOOF 又AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分 AEDF是菱形3、如图所示，在ABC中，BAC90，ADBC于点D，CE平分ACD，交AD于点G，交AB于点E，EFBC于点F 求证：四边形AEFG是菱形【思路点拨】由角平分线性质易知AEEF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AGGFAE即可【答案与解析】 证明：方法一： CE平分ACB，BAC90，EFBC， AEEF，1390，4290 12， 34 EFBC，ADBC， EFAD 45 35 AEAG EFAG 四边形AEFG是平行四边形 又 AEAG， 四边形AEFG是菱形 方法二： CE平分ACB，BAC90，EFBC， AEEF，1390，4290 34 EFBC，ADBC， EFAD 45 35 AEAG 在AEG和FEG中，AEEF，34，EGEG， AEGFEG AGFG AEEFFGAG 四边形AEFG是菱形【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件举一反三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G (1)求证：DEBF； (2)若G90，求证四边形DEBF是菱形 【答案】证明：(1)ABCD中，ABCD，ABCD E、F分别为AB、CD的中点 DFDC，BEAB DFBEDFBE 四边形DEBF为平行四边形 DEBF (2)证明： AGBD GDBC90 DBC为直角三角形 又 F为边CD的中点 BFDCDF 又 四边形DEBF为平行四边形 四边形DEBF是菱形类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长0.3，宽0.2的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 ，宽2.8的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖试问： (1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【答案与解析】解：墙壁长4.2，宽2.8，矩形瓷砖长0.3，宽0.2，4.20.314，2.80.214，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面 (1)则至少需要这种瓷砖1414196(块)(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形1313169个，面积相等的菱形一共有196169365(个)【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接【巩固练习】一.选择题1（2015潍坊模拟）下列说法中，错误的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相平分的四边形是平行四边C菱形的对角线互相垂直D. 对角线互相垂直的四边形是菱形2顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( ) A.矩形B.平行四边形C菱形D.任意四边形3如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF2，那么菱形ABCD的周长是( ) A.4B.8C.12D.164.如图，在菱形ABCD中，AB=5，BCD=120，则ABC的周长等于（）A20 B15 C10 D55.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若BAC50，则ABC等于（）A40 B50 C80 D1006将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF若AB3，则BC的长为( )A.1 B. 2 C. D. 二.填空题7已知菱形的周长为40，两个相邻角度数之比为12，则较长对角线的长为_8（2015南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为 .9. 已知菱形ABCD两对角线AC 8, BD 6, 则菱形的高为_.10.如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PEAB于点E，PE4，则点P到BC的距离是_.11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB13，AC10，过点D作DEAC交BC的延长线于点E，则BDE的周长为_.12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为_.三.解答题13如图，在菱形ABCD中，ABC120，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PBPE的最小值是，求AB的值14如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD若ADBD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论15（2015春泰安校级期中）如图，在ABC中，ABC=90，BD为AC的中线，过点C作CEBD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；2.【答案】C；3.【答案】D； 【解析】BC2EF4，周长等于4BC16.4.【答案】B；【解析】BCD=120，B=60，又ABCD是菱形，BA=BC，ABC是等边三角形，故可得ABC的周长=3AB=155.【答案】C；【解析】四边形ABCD是菱形，BACBAD，CBAD，BAC50，BAD100，CBAD，ABCBAD180，ABC180100806.【答案】D； 【解析】DAFFAOOAE30，所以2BECEAE，3BE3，BCBE.二.填空题7.【答案】； 【解析】由题意，菱形相邻内角为60和120，较长对角线为.8【答案】1：； 【解析】如图，设AC，BD相较于点O，菱形ABCD的周长为8cm，AB=BC=2cm，高AE长为cm，BE=1（cm），CE=BE=1cm，AC=AB=2cm，OA=1cm，ACBD，OB=（cm），BD=2OB=2cm，AC：BD=1： 9.【答案】； 【解析】菱形的边长为5，面积为 ，则高为.10.【答案】4；【解析】在菱形ABCD中，BD是ABC的平分线，PEAB于点E，PE4，点P到BC的距离PE411.【答案】60；【解析】因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在RtAOB中利用勾股定理求出OB12，BD2OB24，DE2OC10，BE2BC26，BDE的周长为6012.【答案】（3,4）； 【解析】过B点作BDOA于D，过C点作CEOA于E，BD4，OA，AD8，解得，所以OEAD853，C点坐标为（3,4）.三.解答题13.【解析】解：ABC120 BCDBAD60；菱形ABCD中，ABAD ABD是等边三角形；又E是AB边的中点，B关于AC的对称点是D ，DEAB连接DE ，DE与AC交于P ，PBPD ；DE的长就是PBPE的最小值；设AE，AD， DE，所以，AB.14.【解析】四边形BFDE是菱形，证明：ADBD，ABD是直角三角形，且AB是斜边，E为AB的中点，DEABBE，四边形ABCD是平行四边形，DCAB，DCAB，F为DC中点，E为AB中点，D