函数的定义域及求法讲解

1 函数定义域的求法函数定义域的求法 作者 刘铁峰 高中数学 赤峰数学一班 评论数 浏览数 1 37 发表日期 2011 07 08 16 32 19 性质及其应用 函数的性质及其应用是高考数学的重点和热点 熟练掌握函数的性质 能灵活运用函数的性质解决有关问题 是高考数学获胜的一个重要方面 因此 临考前对函数的性质及应用作适当的复习和思路整理是有必要 的 一 一 函数的定义域及求法函数的定义域及求法 1 分式的分母 0 偶次方根的被开方数 0 2 对数函数的真数 0 对数函数的底数 0 且 1 3 正切函数 x k 2 k Z 余切函数 x k k Z 4 一次函数 二次函数 指数函数的定义域为 R 5 定义域的相关求法 利用函数的图象 或数轴 法 利用其反 函数的值域法 6 复合函数定义域的求法 推理 取交集及分类讨论 2 例题 1 求下列函数的定义域 3 已知函数 y lg mx2 4mx m 3 的定义域为 R 求实数 m 的取值范围 解析 利用复合函数的定义域进行分类讨论 当 m 0 时 则 mx2 4mx m 3 3 原函数的定义域为 R 当 m 0 时 则 mx2 4mx m 3 0 m 0 时 显然原函数定义域不为 R m 0 且 4m 2 4m m 3 1 或 y 1 5 利用零点讨论法 由题意可知函数有 3 个零点 3 1 2 当 x9 当 3 x 1 时 y x 1 x 3 x 2 x 6 5 y 9 当 1 x 2 时 y x 1 x 3 x 2 x 4 5 y 6 当 x 2 时 y x 1 x 3 x 2 3x y 6 综合前面四种情况可得 原函数的值域是 5 6 利用函数的有界性 6 三 三 函数的单调性及应用函数的单调性及应用 1 A 为函数 f x 定义域内某一区间 2 单调性的判定 作差 f x1 f x2 判定 根据函数图象判定 3 复合函数的单调性的判定 f x g x 同增 同减 f g x 为增 函数 f x g x 一增 一减 f g x 为减函数 例题 7 2 设 a 0 且 a 1 试求函数 y loga 4 3x x2 的单调递增区间 解析 利用复合函数的单调性的判定 由题意可得原函数的定义域是 设 u 4 3x x2 其对称轴是 x 3 2 所以函数 u 4 3x x2 在区间 3 2 上单调递增 在区间 3 2 4 上单调递减 a 时 y logau 在其定义域内为增函数 由 x u y 得函数 u 4 3x x2 的单调递增区间 3 2 即为函数 y loga 4 3x x2 的单调递增区间 a 时 y logau 在其定义域内为减函数 由 x u y 得函数 u 4 3x x2 的单调递减区间 3 2 4 即为 8 函数 y loga 4 3x x2 的单调递增区间 3 已知 y loga 2 ax 在 0 1 上是 x 的减函数 求 a 的取值范围 解析 利用复合函数的单调性的判定 由题意可知 a 设 u g x 2 ax 则 g x 在 上是 减函数 且 x 时 g x 有最小值 umin 2 a 又因为 u g x 2 ax 所以 只要 umin 2 a 则可 得 a 又 y loga 2 ax 在 0 1 上是 x 减函数 u g x 在 上是减函数 即 x u y 所以 y logau 是增函数 故 a 综上所述 得 a 2 已知 f x 的定义域为 且在其上为增函数 满足 f xy f x f y f 2 1 试解不等式 f x f x 2 3 解析 此题的关键是求函数值 所对应的自变量的值 由题意可得 f 4 f 2 f 2 2 3 2 1 f 4 f 2 f 4 2 f 8 又 f x f x 2 f x2 2x 所以原不等式可化成 f x2 2x f 8 所以原不等式的解集为 x 2 x 4 9 四 函数的奇偶性及应用四 函数的奇偶性及应用 1 函数 f x 的定义域为 D x D f x f x f x 是偶函数 f x f x 是奇函数 2 奇偶性的判定 作和差 f x f x 0 判定 作商 f x f x 1 f x 0 判定 3 奇 偶函数的必要条件是 函数的定义域关于原点对称 4 函数的图象关于原点对称 奇函数 函数的图象关 y 轴对称 偶函数 5 函数既为奇函数又为偶函数 f x 0 且定义域关于原点对称 6 复合函数的奇偶性 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 例题 解析 利用作和差判断 由题意可知 函数的定义域是 R 设 x 为 R 内任意实数 即 f x f x 原函数是奇函数 利用作商法判断 由题意可知 函数的定义域是 R 设 x 为 R 内任意实数 10 f x 的图象关于直线 x 1 对称 f 1 1 x f 1 1 x x R 即 f x f 2 x 11 又 f x 在 R 上为偶函数 f x f x f 2 x f 2 x f x 是周期的函数 且 2 是它的一个周期 五 五 函数的周期性及应用函数的周期性及应用 1 设函数 y f x 的定义域为 D x D 存在非 0 常数 T 有 f x T f x f x 为周期函数 T 为 f x 的一个周期 2 正弦 余弦函数的最小正周期为 2 函数 y Asin x 和 y Acos x 的最小正周期是 T 2 3 正切 余切函数的最小正周期为 函数 y Atan x 和 y Acot x 的周期是 T 4 周期的求法 定义域法 公式法 最小公倍数法 利用函数的图象 法 5 一般地 sin x 和 cos x 类函数加绝对值或平方后周期减半 tan x 和 cot x 类函数加绝对值或平方后周期不变 如 y cos2x 的周期是 2 y cotx 的周期是 例题 1 求函数 y sinx cosx 的最小正周期 解析 利用周期函数的定义 y sinx cosx sinx cosx cos x 2 sin x 2 即对于定义域内的每一个 x 当 x 增加到 x 2 时 函数值重复 出现 因此函数的最小正周期是 2 12 3 求函数 y sin3x tan 2x 5 的最小正周期 解析 最小公倍数法和公式法 设 f x g x 是定义在公共集合上的两上三角周期函数 T1 T2分别是它们的周期 且 T1 T2 则 f x g x 的最小正周期 等于 T1 T2的最小公倍数 注 分数的最小公倍数 分子的最小公倍数 分母的最大公约数 由题意可知 sin3x 的周期是 T1 2 3 tan 2x 5 的周期是 T2 5 2 原函数的周期是 T 10 1 10 4 求函数 y tanx 的最小正周期 解析 利用函数的图象求函数的