数学建模.docx

施肥效果的数学分析摘要本题讨论了三种营养素对农作物产量的影响，是一个对所给数据进行分析，整合，筛选，并拟合，回归分析的问题。针对这个问题，我们建立了两个模型，分别是单个营养素影响下的产量变化模型，和三种营养素共同作用下的产量变化模型。在第一个模型中，以土豆产量研究为例。我们首先作出了土豆产量分别对N，P，K三个营养素的施用量的散点图，观察其大概的趋势走向，然后借助软件CurveExpert 1.4，比较用多种函数拟合的拟合度，进而从中选择合适的函数进行拟合，并对拟合后的函数图象进行了农业应用上的分析。我们发现，氮肥，磷肥对产量的影响大致呈二次曲线变化，而钾肥的影响则基本是线性的。对生菜产量的研究与土豆产量研究方法相同。在第二个模型中，还是以土豆产量研究为例。我们综合模型一中的拟合函数，建立了一个包含三种营养素用量的三元二次方程，然后利用逐步回归分析法求得方程中的回归系数。然后分析了其中的相关系数，检验统计量，检验了该方程的可行性。将模型应用到农业生产中，我们得到了产量最大时各营养素的量，土豆：分别为：N肥303.82k g/ha，P肥232.37kg/ha,K肥553.92kg/ha；生菜：分别为：N肥225.07kg/ha，P肥664.12kg/ha，K肥476.78kg/ha。由此得到了三种营养素的最佳搭配。从中可看到氮肥的用量比较敏感，施用时应加以注意。一问题重述农作物的产量与各种肥料的施用量有着密不可分的关系。通过实验以及对数据的分析可以找出这种关系并用于实际指导与操作。某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N），钾（K），磷（P）。某作物研究所在该地区对土豆与生菜作了一定数量的实验，实验数据如下表格所示，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示千克。当一个营养素的施肥量变化时，总将另二个营养素的施肥量保持在第7个水平上，如对土豆产量关于N的施肥量做实验时，P与K的施肥量分别取为196 kg/ha与372 kg/ha。 题目要求分析施肥量与产量之间的关系，也就是找出施肥量与产量之间的数学表达式，再从数学角度研究不同肥料对农作物的影响，将其应用到实际中，从而改进施肥方式，提高农作物产量。下面是实验数据：土豆：N P K施肥量（kg/ha）产量（t/ha）施肥量（kg/ha）产量（t/ha）施肥量（kg/ha）产量（t/ha）0346710113520225933640447115.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.7502449739814719624529434233.4632.4736.0637.9641.0440.0941.2642.1740.3642.730479314018627937246555865118.9827.3534.8638.5238.4437.7338.4343.8742.7746.22生菜N P K施肥量（kg/ha）产量（t/ha）施肥量（kg/ha）产量（t/ha）施肥量（kg/ha）产量（t/ha）028568411216822428033639211.0212.7014.5616.2717.7522.5921.6319.3416.1214.11049981471962943914895876856.399.4812.4614.3317.1021.9422.6421.3422.0724.530479314018627937246555865115.7516.7616.8916.2417.5619.2017.9715.8420.1119.40对题目进行分析可看出，研究施肥量与产量的关系，主要是对所给数据进行回归分析，拟合出一个与数据以及实际情况吻合的函数。实验中固定了两种营养素的水平，变化另一种营养素来看产量变化。基于这种实验下数据的特点，我们先分别建立氮磷钾肥料使用量与产量的关系，再将其统一起来共同研究。二模型假设1.实验中的数据均真实可靠。2.除施肥量外，其他影响因素如光照，水分等均处于同一水平。3.实验中的误差服从N(0,2)，0。三符号说明1.x1，x2，x3分别表示N，P，K肥的施用量。2.y1，y2，y3分别表示在N，P，K肥的单个作用下农作物的产量3.y表示在三种肥料的共同作用下农作物的产量四问题的建立与求解第一部分：单个营养素影响下的模型因为同一营养素对不同的农作物有着不同的作用，所以对于土豆和生菜，必须分开考虑其函数表达式。我们首先分析三种肥料对土豆产量的影响：为了大致地分析土豆产量与N，P，K各个营养素，即y1与x1，x2，x3的关系，首先利用表中数据分别作出y1对x1，x2，x3的散点图（见下页图1，图2，图3） 图一 图二图三1.从图一可看出，随着x1的增加，y1有较为明显的抛物线趋势，故用二次函数模型来拟合，其形式为：用软件CurveExpert 1.4对数据进行拟合，得到此二次函数为：二次多项式拟合: y=a+bx+cx2a =1.47416376808E+001b =1.97149502843E-001c =-3.39532227268E-004函数图象为：图中相关系数r=0.99，说明拟合效果很好。由上图进行分析，随着氮肥的增加，土豆产量先增加后又减少，当施肥量在300kg/ha左右时达到最大。由此可看出，施用适量氮肥可促进土豆生长，但必须控制在一定范围内。2.从图二可看出，随着x2的增加，y1有斜向上弯曲增加的趋势，我们分别对此进行了二次拟合以及指数拟合二次函数形式为各个系数为二次多项式拟合: y=a+bx+cx2a =3.29160543381E+001b =7-002c =-1.37829907271E-004拟合后的函数图象为图中相关系数r=0.93，说明拟合效果很好。由上图进行分析，增加磷肥的施用量，土豆产量基本成增加趋势，但效果较氮肥不很明显。再对数据做指数拟合，其函数形式为：求得各个系数为指数伴随函数(3): y=a(b-exp(-cx)Coefficient Data:a =1.01096156752E+001b =4+000c =1-002 拟合后的函数图象如下 图中相关系数为0.94，较二次函数拟合效果更好，但查阅相关农业资料可看出，从实际的角度来看二次函数应用更为广泛，所以我们在此采用二次函数进行拟合。3.从图三可看出，随着钾肥用量的增加，土豆产量基本成线性增加，故采用线性拟合。函数形式为图象如下：有关系数为线性拟合: y=a+bxa =2.82462161525E+001b =3.03503541650E-002图中相关系数r=0.84，拟合效果较好。由图象可看出，随着钾肥施用量的增加，土豆产量也在增长，但趋势较缓。三种营养素对生菜产量的影响类似地，我们做出了y2对x1,x2,x3的散点图。图1图2图31.从图1来看，图形基本成一个抛物线型，所以我们用二次曲线进行拟合。得到函数为二次多项式拟合: y=a+bx+cx2a =1.02439758876E+001b =9.99832444142E-002c =-2.34454035742E-004图象如下：相关系数r=0.96，说明拟合效果很好。从图中可以看出，随着氮肥量的增加，生菜产量先增加后减少，与土豆产量随氮肥量变化趋势相近。2.从图2来看，随着磷肥的增加，生菜产量呈现一种斜向上弯曲的趋势，这与土豆产量随磷肥量变化的趋势相近，所以我们在此也选择了二次曲线进行拟合。函数表达式为：二次多项式拟合: y=a+bx+cx2a =6.87566024083E+000b =6.05972808431E-002c =-5.45278098808E-005函数图象为：其中r=0.98，拟合效果也很好。类似地，随着磷肥的增加，生菜产量呈上升趋势，且增加的幅度越来越小。3.从图3来看，图中点的分布较散，基本成线性增加趋势，所以我们选择了线性拟合。表达式为：线性拟合: y=a+bxa =1.62722725721E+001b =4.65685212438E-003函数图象为：图中r=0.67，拟合效果相对较好。从图中我们也可以看出，生菜产量是随着钾肥量逐渐增加的。至此，我们就拟合出了单个营养素影响下的农作物产量变化。将生菜与土豆产量变化进行对比，我们发现，同一营养素对不同作物的影响是相似的。第二部分：三种营养素共同作用下的模型施肥效果的好坏是由三种营养素共同决定的，所以我们还需要在单个营养素模型的基础上，研究在氮磷钾肥共同影响下的产量变化模型。在第一部分中，六个独立的函数关系已给出，我们可以看出，表达式均为n次多项式形式，且最高次为二次。模型一中的式子，我们给出了如下的多元二次回归模型：式中是随机误差，影响y的其他因素都包含在其中。如果模型选择得合适，应大致服从均值为零的正态分布。在这里，我们用逐步回归分析法求回归系数。所谓“最优”回归方程, 主要是指希望在回归方程中包含所有对因变量影响显著的自变量而不包含对影响不显著的自变量的回归方程。逐步回归分析正是根据这种原则提出来的一种回归分析方法。它的主要思路是在考虑的全部自变量中按其对的作用大小, 显著程度大小或者说贡献大小, 由大到小地逐个引入回归方程, 而对那些对作用不显著的变量可能始终不被引人回归方程。另外, 己被引人回归方程的变量在引入新变量后也可能失去重要性, 而需要从回归方程中剔除出去。引人一个变量或者从回归方程中剔除一个变量都称为逐步回归的一步, 每一步都要进行检验, 以保证在引人新变量前回归方程中只含有对影响显著的变量, 而不显著的变量已被剔除。借用 软件，我们很方便地用逐步回归法得出了回归系数的估计值。进而得到预测方程：F值=31.9823Df=(6,23)p值=0.0000调整相关系数Ra=0.930080调整决定系数Ra2=0.865049上述结果显示，R2=0.8650，指y（产量）的90.54可由模型决定，F值远远超过F检验的临界值，P远小于，因而模型从整体上看是可用的。类似地，我们找到了生菜产量与营养素变化关系的回归方程：F值=22.9022Df=(6,23)p值=0.0000调整相关系数Ra=0.905106调整决定系数Ra2=0.819217上述结果显示，R2= 0.8192，指y(产量)的81.92可由模型决定，F值远远超过F检验的临界值，P远小于，因而模型从整体上看是可用的。五模型的检验与应用 1.模型一中，当其他两种营养素固定在第7个水平上时，我们可求得某种营养素的最优值：土豆：N P K290 250 生菜：N P K215 550 从图像中也可以看出，两种作物下，产量随氮肥量变化的幅度都比较大，说明农作物对氮肥的施用量较为敏感，所以在施肥时特别要注意氮肥的施用量。 2.模型二中，由回归方程可以得到y取最值时x的值，也就是产量最大时各个营养素的施用量。结果如下：土豆：Y x1 x2 x346.9875303.8185232.3727553.917 生菜：Y x1 x2 x324.5357225.0734664.1215476.7837 可以看到，对土豆来讲，N，P的最佳用量较小，施肥时应注意，而K应相对多地施用；对生菜来讲，N，K的最佳用量较小，而P应多施用。六模型改进模型的优点是从单个营养素的影响入手，先分别研究三种营养素的作用，再将其合起来考虑，使之越来越完善。在此基础上，对模型进行实际意义上的考虑就具有了一定的实用价值。而且所得结论与实际相符，又反过来验证了模型的合理性。在拟合中从不同函数中进行筛选，使得拟合更为精确，可信。但我们进一步可发现，在模型二中的回归方程没有交叉项。这是因为在本题的实验中，都是固定两种营养素来看第三种营养素对产量的影响，即控制变量法，无法看出营养素之间的交互作用。若要研究交互作用，需改进实验，如可以采用“三因素四水平”法，三因素是指三种营养素作用，四水平指把营养素的施用分为四个水平。这样就能通过实验数据来研究交互作用，使模型更为完善。七参考文献 1 姜启源. 数学模型. 高等教育出版社, 北京, 1996. 2 严蔚敏, 吴伟民. 数据结构. 清华大学出版社, 北京, 1992. 3 叶其孝. 大学生数学建模竞赛辅导教材. 湖南教育出版社, 长沙, 1993.高教社杯全国大学生数学建模竞赛论文格式规范l 甲组参赛队从A、B题中任选一题，乙组参赛队从C、D题中任选一题。l 论文（答卷）用白色A4纸，上下左右各留出2.5厘米的页边距。l 论文第一页为承诺书。l 论文第二页为编号专用页，用于赛区和全国评阅前后对论文进行编号。l 论文题目和摘要写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文。l 论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。l 论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。l 论文题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小4号宋体字，行距用单倍行距。l 提请大家注意：摘要在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写摘要（注意篇幅不能超过一页）。全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选