空间PANEL DATA模型综述.doc

第一组 计量经济学理论与方法 （字数：12867）空间panel data模型综述孙洋 孙洋，男，1982年2月出生，清华大学经济管理学院经济系数量经济学专业博士研究生（清华大学经济管理学院）【摘要】目前国内对于空间计量经济学模型方法的研究和应用才刚刚开始，并且应用的主要模型方法是空间截面数据模型。本文对于目前已有的以及正在研究中的空间panel data模型做了一个综述，其中包括空间固定影响模型、空间随机影响模型、空间固定系数模型、空间随机系数模型、空间联立方程模型、空间系数扩展模型、空间误差合成模型以及空间动态panel data模型，希望对于我国空间计量经济学方法的研究和应用能够有所帮助。关键词 空间计量经济学模型 空间panel data模型中图分类号 F224.0 文献标识码 CA Survey of Spatial Panel Data ModelsAbstract: Recently, Chinese analysts pay much attention to the theoretical analyses and applications of the spatial econometric methods. Of the applications of spatial econometric models, most are cross sectional ones. In this paper, we make a survey about literatures on spatial panel data models, which include spatial fixed-effect model, spatial random-effect model, spatial fixed coefficients model, spatial random coefficients model, spatial simultaneous model, spatial expansion model, spatial error-component modal, and spatial dynamic panel data model. Key words：Spatial Econometric Models；Spatial Panel data Models一、 引言对于空间计量经济学较为系统的研究，最早可以追溯到20世纪70年代（Cliff和Ord（1973）以及Paelinck和Klaassen（1979）。随着Anselin（1988）出版了空间计量经济学领域具有重要意义的著作（Spatial Econometrics：Methods and Models），关于空间计量经济学的理论研究以及实证应用得到了极大的发展。考虑到空间效应的一系列模型设定方法、估计方法以及检验方法得到了许多计量学者的广泛关注。同时，利用空间计量经济学模型在分析城市以及区域经济问题、经济增长与发展的区域协同效应问题、环境与农业问题、房地产问题、就业问题以及其他相关的空间外部性问题等领域，也得到了广泛的应用。近年来在我国已经有学者开始应用空间计量经济学模型进行经济学问题的分析，例如吴玉鸣（2006a，2006b），吴玉鸣与李建霞（2006），王立平（2005）等。其中大部分实证研究是基于截面数据空间计量经济学模型（Anselin（1988，2001），例如王立平（2005）利用截面数据分析了我国高校研发的知识溢出效益，林光平等人（2006）以及吴玉鸣（2006b）对于我国省域经济增长收敛性的研究，王立平等人（2006）对于我国FDI区域分布以及地理溢出效益的研究，吴玉鸣（2006a）对于我国省域研发与创新问题的研究，以及李培（2007a，2007b）对于我国城市经济增长中相关问题的研究等。应用空间panel data模型进行的实证研究还不多。截面数据空间计量模型（主要是空间自回归模型（或称空间滞后模型）和空间残差自回归模型）面临着截面模型在分析经济问题时所遇到的固有弊端，例如无法解释截面样本的差异性，估计过程中自由度的损失等（Hsiao（2003），Baltagi（2001）。与此同时，为了避免所谓的伴生参数（incidental parameters）问题，在模型中通常会利用空间矩阵来描述空间相关性（Anselin（1988），使得截面数据空间计量经济学模型比起传统的截面数据模型的约束条件更加严格，从而描述经济变量间关系的准确程度便值得怀疑。虽然利用panel data模型可以在一定程度上弥补截面数据模型的不足，可以发现更多有意义的规律，并且利用panel data的两个维度可以在一定程度上描述经济变量在时间以及空间上的特性（Baltagi（2001），Anselin（1988），Elhorst（2003），但是传统的panel data模型在描述空间特性时更多的强调其差异性（例如利用异方差或者变截距模型来描述个体的空间特性），而忽略了在空间分析中更加重要的空间相关性问题。无论从理论研究还是从实证研究的角度，我们认为都有必要对于空间panel data模型进行深入的研究。本文试图对目前已有的以及正在研究中的空间panel data模型做一个综述。在本文的第二至第六部分，我们介绍了八种空间panel data模型。第二部分为空间变截距模型，包括空间固定影响模型与空间随机影响模型。第三部分为空间变系数模型，包括空间固定系数模型和空间随机系数模型。第四部分为空间联立方程模型。第五部分为空间panel data模型扩展，包括空间系数扩展模型、空间误差合成模型以及空间动态panel data模型。在空间固定影响模型、空间随机影响模型、空间固定系数模型以及空间随机系数模型部分，我们分别介绍了空间残差自回归模型和空间自回归模型（或者称为空间滞后模型）。在本文的第五部分中，空间系数扩展模型可以看成是一种特殊的随机系数模型，空间误差合成模型可以看成是一种特殊的随机影响模型。由于空间系数扩展模型在分析空间稳定性方面的特殊性，以及空间误差合成模型在模型估计方法上的特殊性，我们将这两种模型单独列出。空间panel data模型的估计方法（矩估计方法以及拟极大似然估计方法）以及估计量的性质，是目前的一个研究热点。本文在介绍空间panel data模型的基础上，对于相应的估计方法略有提及，但估计方法不是本文讨论的重点。二、空间变截距模型1空间固定影响模型（spatial fixed-effect model）空间残差自回归固定影响模型（spatial error autocorrelation fixed-effect model）可以写成 （1） 并且假设，。其中为元素都是1的N阶列向量，并且有，。模型中和分别描述了样本的个体特性以及时间特性（即固定影响），而空间矩阵W（一个N阶方阵）反映了个体之间的空间相关性。空间矩阵W的对角线元素为0，非对角线上的元素反映了个体对于临近区域的影响。关于空间矩阵的一些约束条件，见Lee（2001a，2001b，2004）以及Kelejian和Prucha（1999，2002，2004）。Elhorst（2003）指出可以利用传统的估计固定影响模型的方法，先将模型两边减掉截面均值，然后对于去均值后的模型进行极大似然估计。如果和均不为0，则需要进行两次去均值。为了简化讨论，假设，从而可以将对数似然函数写成 （2）其中，是空间矩阵W的特征值（关于利用空间矩阵特征值来简化估计过程的讨论，见Ord（1975）的相关研究）。利用Anselin（1988）的方法，可以得到模型的极大似然估计量。对于不满足正态分布假设的情况，Lee（2004）证明了拟极大似然估计量在满足一定条件时也是渐进正态一致估计量。类似地，可以将空间自回归固定影响模型（spatial autocorrelation fixed-effect model，也称为空间滞后（spatial lag）固定影响模型）写成 （3）并且假设，。这里为了简化问题的讨论模型中没有考虑样本的时间特性。同样可以利用上述方法进行估计（Elhorst（2003）。对数似然函数可以写成 （4）其中。在T固定而时，只能够得到关于解释变量X对应系数的一致估计量，而无法得到截距项以及空间系数的一致估计量（Anselin，2001）。而当时，仍然可以得到截距项以及的一致估计量（Lee（2001a，2001b，2004）。然而实际上当时，模型的极大似然估计是有问题的，因为随着N的增加空间矩阵会随着增大，从而在进行矩阵运算的过程中参数的估计会出现问题（Kelejian和Prucha（1999）。一种解决的思路是利用矩估计方法，详细的讨论见Kelejian和Prucha（1999，2002，2004）以及Lee（2003，2007a，2007b）。关于矩估计方法的应用，可以参考Bell和Bockstael（2000）的相关研究。关于模型参数的检验，Elhorst（2003）建议利用F检验以及LM检验。当利用矩估计方法时，还可以利用传统的J统计量（见Lee（2003）。在此不再赘述。2空间随机影响模型（spatial random-effect model）空间残差自回归随机影响模型（spatial error autocorrelation random-effect model，见Elhorst（2003），Baltagi和Li（2004）可以写成 （5）其中，其他变量的设定与前面空间固定影响模型相同。模型可以进一步写成 （6）其中，模型残差向量为。模型的协方差矩阵为 （7）根据Magnus（1982）的方法，可以将协方差矩阵进一步写成，从而有和，于是对数似然函数写成 （8）其中，。根据Griffith（1988）的方法，利用空间矩阵的特征值，有。令，对数似然函数转化为 （9）可以通过对数似然函数的一阶条件，并且利用迭代的方法，得到模型参数的估计量,和。这里的估计量和实际上是FGLS估计量。类似的，空间自回归随机影响模型（spatial autocorrelation random-effect model）可以写成 （10）令，同样根据Magnus（1982）的方法，写出对数似然函数为 （11）其中,。利用一阶条件并且利用迭代的方法，可以得到估计量,和。空间残差自回归随机影响模型以及空间自回归随机影响模型在估计方法上，与随机影响模型的极大似然估计（Breusch（1987）类似，不同之处只是在迭代估计的过程中，多考虑了空间系数的估计量。当并且时，可以得到一致估计量，否则，估计量的一致性和有效性便值得怀疑（这也是panel data模型中广泛存在的问题）。在随机系数模型中检验是否存在空间效应，可以利用LM检验。而关于随机效应和固定效应的判断，可以考虑Hausman设定检验。三、空间变系数模型1空间固定系数模型（spatial fixed coefficients model）部分研究者认为，由于固定系数模型（或者称为SUR模型）的残差结构已经反映了个体间的相关性，从而当存在残差的空间相关性时，不需要对于空间残差固定系数模型（spatial error autocorrelation fixed coefficients model）进行特殊的设定（Elhorst（2003），Anselin（1988）。并且，由于固定系数模型没有对于空间影响的结构做出特殊的设定，从而通过残差结构直接表述空间关系，比利用空间矩阵描述空间关系（相当于对于空间关系加了约束条件）更加有效（White和Hewings（1982）。同时，如果模型的样本满足估计的一致性条件，则无论是利用空间矩阵来描述残差结构还是直接利用残差的相关性来描述空间关系，都不影响模型中其他解释变量对应系数估计量的一致性，从而空间固定系数残差模型可以直接利用固定系数模型来表示。并且，直接利用固定系数模型在很大程度上提高了模型估计的有效性。如果残差结构的相关性越大，不同的截面方程之间解释变量的相关性越小，每个方程自身解释变量的相关性越大，则模型的估计量越有效（Fiebig（2001）。固定系数模型中残差协方差矩阵的结构（例如是否是分块对角阵），是判断是否存在空间残差相关性的依据。而空间自回归固定系数模型（spatial autocorrelation fixed coefficients model）则仍然需要对于模型的结构进行一定的设定。对于第i个区域，可以将模型写成 （12）其中，。进一步的，可以将模型写成联立方程的形式，从而有 （13）于是可以对这一模型进行FIML估计（Hausman（1975，1983）。显然，上述模型中估计量的一致性依赖于条件，并且N不能太大。否则，我们利用NT个样本，来估计N（N1）NK个系数便存在问题（Driscoll和Kraay（1998）。当然我们可以利用空间矩阵，将矩阵转化为（相当于假设，其中为W中的元素，并且假设已知）。但是这一传统的利用空间矩阵的方法仍然使得有NK1个系数需要估计，从而使得一致性仍然依赖条件。如果各模型的系数是相同的，则系数的个数将大大减少（减少为K1个系数），并且模型可以转化为空间固定影响或者随机影响模型。可以利用常用的F或者LR统计量来检验是否各个模型的系数是相同的。2空间随机系数模型（spatial random coefficients model）随机系数模型（random coefficients model）为 （14）其中，。可以引入关于残差的空间相关性假设。与固定系数模型类似，随机系数模型的残差结构已经反映了空间相关性，所以对于空间残差自回归随机系数模型（spatial error autocorrelation random coefficients model），没有必要做多余的假定，可以直接利用上面的随机系数模型。换句话说，上述随机系数模型完全可以描述空间残差自回归随机系数模型所能够描述的信息；对于系数的估计结果，两个模型也不会有较大偏差（Elhorst（2003）。此时，残差的协方差矩阵结构为，可以写成 （15）其中，。模型的估计可以利用ML方法或者GLS（实际是利用FGLS）方法（Swamy（1970），两种方法是渐进等价的（Lindstrom和Bates（1988）。但是利用ML方法估计过程会十分繁琐。与上面讨论的空间自回归模型不同，Elhorst（2003）认为完全意义上的空间自回归随机系数模型（spatial autocorrelation random coefficients model）是不存在的。如果空间滞后项的系数也是随机的，则会存在难以处理的识别与估计问题（Kelejian（1974），Balestra和Negassi（1992）。Elhorst（2003）提出了一个空间自回归随机系数模型，该模型实际上是空间自回归项为固定系数，而外生变量为随机系数的混合模型。该模型形式为 （16）其中，。由于模型的解释变量一共有NK1个，所以模型的识别条件要求TNK1。由于大多数panel data数据不满足上述条件，所以在一定程度上这一模型的应用有很大的限制。引入空间矩阵W，令，模型转化为 （17）当引入空间矩阵之后，模型估计的必要条件为TK1，而与N无关。将模型写成矩阵形式，其协方差矩阵为。空间自回归随机系数模型可以利用ML方法或者FGLS方法对于参数进行估计。后者通常要利用两步法（第一步需要估计协方差矩阵），并且进行迭代估计。由于需要估计协方差矩阵，为了得到一致估计量，仍然需要样本结构满足N不能过大的假设。四、空间联立方程模型Anselin（1988）提出过空间联立方程模型（spatial simultaneous model）的思路，但是没有进行展开讨论。Rey和Boarnet（2004）给出了一个空间联立方程模型的分类框架，而Kelejian和Prucha（2004）更加深入的讨论了内生变量以及残差都存在空间相关性的联立方程模型，并且基于矩估计的思路（Kelejian和Prucha（1998，1999，2002，2004），给出了空间联立方程模型的估计方法。关于空间联立方程的应用，可以参见Henry等人（2001）利用空间联立方程模型对于法国农村区域发展问题的相关研究。在这里主要介绍Rey和Boarnet以及Kelejian和Prucha的主要研究。目前大部分的空间计量模型讨论的是单方程模型。在考虑变量的内生性时，很少有研究者分析结构性空间变量的内生性问题。针对这一问题，Rey和Boarnet（2004）给出了一个空间计量经济学联立方程模型系统的框架。如果在联立方程模型系统 （18）中存在空间相关性，并且空间相关性以空间滞后变量的形式体现，则一个考虑空间相关性的广义联立方程模型可以写成 （19）假设除非并且，否则。即两方程的残差结构不存在相关性，方程中的残差也不存在空间相关性。同时假设残差与解释变量间不存在相关性。Rey和Boarnet（2004）认为在上述模型中有三种同时性情况需要考虑。一是回馈同时性（feedback simultaneity，即和），二是空间自回归滞后同时性（spatial autoregressive lag simultaneity，即和），三是空间交叉回归滞后同时性（spatial crossregressive lag simultaneity，即和）。由约束条件， 和其中某些成立所组成的约束条件组，构造了35种不同的联立方程模型形式。根据上述分析带来了复杂的模型估计问题。其中重点是，模型是否可以识别、工具变量的处理以及估计量的选择。关于模型的估计方法，Rey和Boarnet（2004）建议利用工具变量方法或者矩估计方法。在利用2SLS估计量时，Rey和Boarnet比较了以“内生变量估计量的空间滞后变量”（即）作为工具变量和以“空间滞后变量的估计量”（即）作为工具变量的估计量性质，并且通过模拟实验得出后者优于前者的结论。其中X为模型的工具变量。关于工具变量选取以及矩估计方法的相关讨论，可以进一步参考Kelejian和Prucha（1998，1999，2002，2004）以及Lee（2003，2007a，2007b）。Rey和Boarnet的分析只包含了空间滞后变量问题，没有具体讨论空间残差相关性问题。同时，也没有对于空间联立方程模型的设定检验问题进行分析。Anselin和Kelejian（1997）对存在内生变量的模型设定检验有过一些分析，可以作为模型设定检验方法的参考。与Rey和Boarnet两人不同，Kelejian和Prucha（2004）将模型设定为 （20）其中，并且。和都是n维列向量，X是外生变量。这一模型与Rey和Boarnet（2004）模型的不同之处在于，这是一个更一般化的模型，在该模型中允许残差存在空间相关性。从而在这一联立方程系统中，便包含了我们熟悉的空间自相关问题以及空间残差自相关问题。而在Rey和Boarnet模型中，没有考虑空间残差自相关问题。在Kelejian和Prucha的模型中并没有假定是对角阵，从而保留了在Rey和Boarnet模型中所提到的空间内生变量的交叉相关性问题。也即是说，其他空间滞后解释变量（内生变量）可以是某个模型的解释变量。为了便于估计，Kelejian和Prucha进一步将模型写为 （21）其中；，和分别是矩阵B，C和的第j个列向量。Kelejian和Prucha对于模型的识别作了一些常用假设，并且利用工具变量估计的思路考虑上述模型的估计问题。他们建议以中线性独立的列向量作为模型估计的工具变量。其中s为自然数（通常在实证研究中，s不会超过2）。Kelejian和Prucha先利用2SLS得到估计量和（Kelejian和Prucha（1998），然后利用第一步中得到的估计量估计得到（利用Kelejian和Prucha（1999）提出的矩估计方法），最后利用估计量，并且利用Cochrane-Orcutt转换得到新的模型（残差为），从而利用工具变量方法得到新的系数估计量。Kelejian和Prucha称上述估计量为广义空间两阶段最小二乘估计量（general spatial 2SLS，GS2SLS），并且证明了该估计量满足一致性。GS2SLS是一个受限信息估计量。如果同时对m个方程进行估计，利用类似的方法，可以得到广义空间三阶段最小二乘估计量（general spatial 3SLS，GS3SLS）。GS3SLS是一个完全信息估计量。由于篇幅的限制，估计方法的介绍不在这里展开。关于考虑内生变量的空间模型的检验，可以参考Kelejian和Prucha（2001），在这里也不作展开。五、空间panel data模型扩展1空间系数扩展模型（spatial expansion model）系数扩展模型方法（expansion methodology）是较早应用于地理模型分析的方法（Casetti（1972，1991）。这一方法主要是用来描述数理模型中参数或者模型结构的变化。Casetti将这一方法推广到了空间计量经济学模型中（Casetti和Poon（1995），Casetti（1997），指出通过系数扩展模型，我们可以分析由于空间因素而导致的模型不稳定的问题。这一模型方法与传统的变系数计量经济学模型比较类似。空间系数扩展模型并不是标准意义上的空间计量经济学模型。但是，如果数据是与空间相关的数据（例如，中国各省或者县、市的数据），这一模型结构在一定程度上可以用来分析模型的空间不稳定性。Casetti和Poon（1995）在模型结构中并没有明确的引入空间相关性或者空间异质性，而是通过利用数据结构（例如，变量是表示特定区域、区域面积等），来分析空间效应的不稳定性。假设初始模型为 （22）有一组变量是与模型解释变量相关的变量，并且存在 （23）其中。如果系数至少有一个不为零，则模型漂移（drift）到了由变量构成的空间。同样的，如果系数全部为零，则模型结构是稳定的。判断模型结构是否稳定，可以通过检验中系数是否全部为零来实现。如果系数至少有一个不为零，则模型可以写成 （24）原来的模型称为初始模型（initial model），将扩展开的模型称为最终模型（terminal model）。由于最终模型的特殊结构，其实是有两个初始模型。另一个初始模型可以写为 （25）关于模型的残差结构，可能存在以下不同的情况：1，满足球形（spherical）假设；2，存在自相关以及异方差情况；3，与变量相关；4，与变量相关；5，与变量和变量同时相关。其中，第二种假设对应的是Anselin（1988）对于空间计量模型的分析。后面三种情况更加接近于随机系数模型以及贝叶斯模型等模型系数存在变化的情况。关于模型结构的稳定性，考虑检验模型（24）的参数。如果与相关的系数没有显著不为0，而系数全部或者部分显著不为0，则模型为（22）并且是稳定的。反之，则模型为（25）并且是稳定的。这两种情况是经典的计量经济学模型。如果两组系数都存在显著不为0的情况，则只能使用最终模型。假设在第三种情况下，模型的估计结果为，并且。其中的变动来自两个方面，一是解释变量的变化，二是模型系数的变化（即变量的变化）。可以通过将解释变量的均值带入模型，来试图剔除初始模型的影响。令，则的不稳定性便主要是来自于系数的变化。可以利用来衡量这一不稳定性。定义为全模型的方差，则标准化指数 （26）描述了该初始模型参数的相对不稳定性（即由于扩展模型导致的不稳定性）。例如，如果我们假设系数是空间变量的函数，则这一比例便可以描述由于系数的扩展问题而导致的空间不稳定性。当样本数据从截面数据拓展到panel data数据时，我们便得到了一个panel data系数扩展模型。在这一情况下，模型波动的维度又增加了时间一维。同样可以通过将变量均值带入模型的方法，来将模型系数的不稳定性分解出来。当数据描述的是特定的区域变量时，这一处理便可以将时间和解释变量的不稳定性与空间的不稳定性区别开来。这一模型设定方法不同于常用的利用空间矩阵描述空间结构的计量经济学模型。利用空间矩阵来设定空间关系，是希望通过结构化空间联系将空间效应描述在解释变量结构中。而利用系数扩展模型，更偏重于描述经典模型结构由于空间效应而导致的不稳定性。这一类模型在目前的空间计量经济学实证研究中应用的还不是十分普遍。2空间误差合成模型（spatial error-component model） 误差合成模型是比较常用的panel data模型。在误差合成模型中考虑经济因素间空间影响的思路有以下几种，一是利用方差结构来描述空间影响（例如Anselin（1988）的讨论），还有一种思路是将空间结构因素引入误差合成模型中（例如Kelejian和Robinson（1995），Kapoor、Kelejian和Prucha（2007）的研究）。此外，还有针对某一类特定的存在空间效应的经济学问题进行的误差合成模型分析，例如Bolduc等人（1992，1995）对于人员流动模型（travel flow model）的空间误差合成分析。由于后者的模型与Anselin和Kelejian等人的分析没有太大的差异，所以主要介绍前两种误差合成模型分析。在误差合成模型的框架下讨论经济变量间的空间关系，在Anselin（1988）的专著中已经有所涉及。Anselin指出，在经典的误差合成模型框架下，如果我们讨论的截面残差相关性所反应的是空间相关性，则此误差合成模型便已经反映了空间效应。具体来说，Anselin将模型设定为 （27）其中，。这是一个经典的误差合成模型，其中残差被分解为时间效应，空间效应，以及一个残差项。该模型即为传统的3ECM（3 error components model）模型。如果不存在残差的空间效应或者时间效应，则模型即为2ECM（2 error components model）模型。对于模型的残差，Anselin作了如下假设 （28）并且，和是相互独立的。通过上述设定，Anselin指出，在这一误差合成模型中，有关系以及。这一设定的特殊性在于，对于总体残差在空间上的相关性，是由时间效应造成的；而总体残差在时间上的相关性，是由空间效应造成的。这一相关性的定义与传统意义上我们对于残差结构的理解是不同的。但是这一设定形式也存在一定的问题，即对于某一个时间截面，其空间相关性是一样的，与距离无关，即对于，有；而对于每一个空间截面，其时间相关性也是一样的，与时间间隔无关，即对于，有。这一问题被称为equicorrelation。该模型可以利用ML方法（或者FGLS方法）进行估计，而对于equicorrelation的问题，Anselin没有进行进一步的讨论。Kelejian和Robinson（1995）基于对残差自回归模型中所存在的问题进行分析的基础上，提出了一个误差合成模型。严格的说，这一误差合成模型仍然是一个截面数据模型。Kapoor， Kelejian和Prucha（2007）分析了更一般意义上的panel data误差合成模型，并且将矩分析方法应用到模型的估计中。传统的空间残差自回归模型中的系数，其实际取值是与模型的样本个数N以及空间矩阵W的选取方式直接相关的（Kelejian和Robinson（1995）。对于的取值域以及识别问题，至少存在如下一些需要注意的方面。一，如果我们假设，则有，如果此时矩阵是奇异矩阵，则模型的识别便存在问题。二，通常在应用问题中，研究者对于系数会做一定的假设，类比于时间相关性，通常的假设是或者，并且将称为空间残差自相关系数。但是实际上，这一系数可能并不满足如上假设。这两个方面的问题都使得在处理残差自回归模型中的参数时需要格外小心。实际上，矩阵的奇异问题在实际分析中十分严重，并且通常在使用标准化后的空间矩阵时，奇异问题会显得更加严重。由此， Kelejian和Robinson提出了一个改进的空间误差合成模型，其形式为 （29）其中，。这一误差合成模型设定的好处是，将对于残差的两种影响只对特定区域产生的冲击和对于区域间有空间效应的冲击区分开，并且，由，从而使得满足了正定性。在上述模型中，如果，则不存在空间相关性。当时，除非为对角矩阵（几乎不存在这一情况），否则残差存在空间相关性。假设的相关系数为，则有 （30）如果增大，则减小。也就是说，如果区域特有冲击的波动性相对于具有空间相关性冲击的波动性较大的话（较大），则残差的空间相关性较小。如果，则。由于，如果矩阵W满秩，则。否则，如果，必然有W不满秩。如果W不满秩，可以想象一下W中有两行完全相同，则说明空间相关性冲击造成的空间影响对于两个区域是相同的，从而两个区域相关系数为1。如果模型分析的是由某些特定区域组成的样本集合，则还会存在从这些区域以外产生的对本区域产生的冲击，从而更一般化的模型可以写成，其中表示的是对区域产生影响的宏观冲击（macro shock），描述的是对于整个宏观经济体产生的冲击中（包括研究区域以外的部分）影响到所研究区域的部分。在实际分析中，可以将作为解释变量处理（如果有相应的对应变量），也可以作为残差处理。Kapoor，Kelejian和Prucha（2007）提出了一个更一般意义上的空间误差合成模型，并且基于Kelejian和Prucha（1998，1999，2002，2004）提出的空间截面模型的矩估计方法，他们给出了这一空间panel data误差合成模型的矩估计思路。Kapoor，Kelejian和Prucha从模型出发，令，从而将模型写成。其中利用一阶残差自回归模型描述空间效应，模型写为，其中。进一步的，考虑残差存在时间相关性，将残差进一步写成，或者写成，其中为与个体i相关的残差，；是T阶列向量，并且。假设过程和是相互独立的，并且有，。同时，假设空间矩阵满足，且为非奇异矩阵，空间矩阵W对角线元素为0。于是，可以将该模型写成 （31）基于上述假设，可以将误差合成模型的残差协方差矩阵写成 （32）其中，。基于上述分析，定义，Kapoor等人给出了进行矩估计的总体矩条件 （33）这一矩条件是截面空间模型矩估计方法（Kelejian和Prucha（1998，1999，2002，2004）在panel data模型中的推广。基于上述矩条件，可以对模型进行矩估计。关于估计方法的具体假设以及推导过程，由于篇幅的限制，在这里不做展开。3空间动态panel data模型（spatial dynamic panel data model）空间动态panel data的模型构造并不复杂，问题的关键在于此类模型的估计和检验方法（Elhorst（2005）。既有的关于空间panel data模型的估计方法没有考虑模型的动态因素，而动态panel data模型的估计方法没有考虑空间因素。Elhorst（2005）以及Yu等人（2006， working paper）的研究便主要关注在空间动态panel data模型的估计方法上。目前的估计方法主要是基于极大似然原理。在这里主要介绍模型的设定方法，关于详细的估计方法，可以参考以上文献。另外，关于空间动态panel data模型的应用研究，可以参考Elhorst（2005）对于美国烟草需求的研究，以及Badinger等人（2004）关于欧盟区域发展收敛性的相关研究。Elhorst（2005）在动态panel data模型中，令残差存在空间自回归形式，将模型设定为 （34）并假设，。其中是将t时间的N个截面模型写成向量形式。这一空间动态panel data模型的估计方法，是基于Hsiao等人（2002）对于固定影响动态panel data模型的估计方法发展而来的。在传统动态模型中，如果T是固定的，则无法得到系数的一致估计量。为了解决估计量不一致的问题，一种思路是利用无条件似然函数（Hamilton（1994），然而这一思路不适用于FE模型；另一种思路是利用一阶差分模型进行估计。Hsiao等人（2002）的方法是将前两种方法结合起来，先差分然后再利用无条件似然函数进行估计。Elhorst（2005利用Hsiao等人（2002）的方法，构建了空间动态panel data模型的无条件似然估计方法。基于差分模型 （35）Elhorst分别利用Bhargava和Sargan（1983）的方法以及Nerlove（1999）的方法，对于模型中的外生解释变量了进行处理。由于篇幅的限制，关于该模型的无条件似然估计方法的具体推导过程，在这里不做展开。Yu等人（2006，working paper）提出的空间动态panel data模型不同于Elhorst（2005）的模型，而是基于空间自回归模型。将空间自回归模型动态化后，得到模型的设定形式为 （36）其中，。残差向量满足是独立同分布的，并且，。令并假设其可逆，并且令，从而模型可以写成 （37）在这一模型中，未知参数为。利用，可以写出似然函数。Yu等人证明了估计所需的大数定理以及中心极限定理成立，给出了在截面样本数量N和时间T都足够大时的拟极大似然估计方法（quasi-maximum likelihood estimation），并且指出这一估计量是一致估计量。作者进一步讨论了T/N渐进趋于0，趋于1以及区域无穷时的三种情况，并且对于前两种情况中估计量有偏误的结果进行了讨论和修正。限于篇幅，估计方法的详细推导在此不做展开。六、结论本文介绍了若干种目前已有的以及正在研究中的空间panel data模型，其中包括空间固定影响模型、空间随机影响模型、空间固定系数模型、空间随机系数模型、空间联立方程模型、空间系数扩展模型、空间误差合成模型以及空间动态模型。空间panel data模型的主要特点，是在传统的panel data模型中考虑空间相关性与空间异质性（Anselin（1988），从而更好的还原经济变量的真实关系。经典的计量模型方法在进行实证分析时，缺乏对于空间外部性等问题的关注。而利用空间panel data模型，可以更好的把握经济个体之间的空间相关关系，并且同时体现个体差异。同时，由于数据维度的增加，使得模型的估计更加有效，还原真实空间效应的效果也优于截面数据模型。空间panel data模型不限于以上列举的一些模型。空间离散选择模型、空间受限与归并模型，以及空间计数模型等许多新的panel data模型方法有待进一步的研究与发展。空间panel data模型研究的难点不在于模型的设定形式，而是需要对于模型的估计方法以及空间效应的检验方法进行深入的研究。空间计量经济学的研究与应用在我国才刚刚起步，希望上述介绍对于我国研究者能够有所帮助。参考文献【1】 Anselin, L.1988. 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