3.1函数与方程.doc

3.1 函数与方程 教学目标1结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系2根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解得常用方法3在用“二分法”求方程近似解的过程中，使学生进一步体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识教学要求 教科书注重从学生已有的基础（一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质）出发，从具体（一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标之间的关系）到一般，揭示方程的根与对应函数的零点之间的关系在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔教科书不仅希望学生在数学知识上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中介绍中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献，这一内容可以在教学过程中适当进行处理由于方程的近似解一般都涉及较复杂的计算，在利用“二分法”求方程近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，要解决这一困难，需要恰当地使用信息技术工具建议在教学中要适时地使用计算器或者计算机，注意体现技术使用的必要性多数函数应用问题也涉及较复杂的数据，因此，建议较多地运用信息技术工具，课本专门安排了两个“信息技术应用”，教师可适当地指导学生进行学习教学中要加强知识间的联系，具体体现在结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系，提高学生对函数的广泛应用，以及函数与其他数学内容有机联系的认识课本在3.1.1方程的根与函数的零点中，选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标之间的关系，作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系实施教学时，应该给学生提供探究情境，让学生自己发现并归纳出结论“一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象与轴的交点的横坐标”给出函数零点的概念后，要让学生明确“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切的联系，但不能将它们混为一谈之所以介绍通过求函数的零点求方程的根，是因为函数的图象和性质，为理解函数的零点提供了直观的认识，并为判定零点是否存在和求出零点提供了支持，这就使方程的求解与函数的变化形成联系，有利于分析问题的本质通过研究一元二次方程的根及相应的函数图象与轴交点的横坐标的关系，导出函数的零点的概念；以具体函数在某闭区间上存在零点的特点，探究在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；以求具体方程的近似解介绍二分法并总结其实施步骤等，都体现了从具体到一般的认识过程教学时，要注意让学生通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，并用准确的数学语言表达出来这里要特别注意引导学生从联系的观点理解有关内容，沟通函数、方程、不等式以及算法等内容，使学生体会知识之间的联系例如，结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根之间的关系；根据具体函数的图象，能借助计算器用二分法求相应方程的近似解，为算法的学习作准备，另外，还要特别注意信息技术的使用课本通过第87页的“探究”，让学生观察对应的二次函数在区间端点上的函数值之积的特点，引导学生发现连续函数在某区间上存在零点的判定方法教学时，可让学生多举一些例子加以认识，如用计算器或计算机多画一些函数(不一定是二次函数)的图象进行观察与概括教科书上给出的下述结论，只要求学生理解并会应用，而不需给出证明如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根教学重点用“二分法”求方程的近似解教学难点如何处理复杂的数值计算；如何恰当使用计算器教学时数3课时教学过程第一课时3.1.1方程的根与函数的零点（1）新课导入讨论：一元二次方程的根与二次函数数的图象有什么关系？先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型方程与函数；方程与函数；方程与函数；再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图通过讨论得出：（课本第87页）一元二次方程有两不同根就是相应的二次函数的图象与轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；一元二次方程有两个重根就是相应的二次函数的图象与轴一个交点，且其横坐标就是根；一元二次方程无实数根就是相应的二次函数的图象与轴没有交点；总之，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象与轴的交点的横坐标点明本节课题：方程的根与函数的零点新课进展一、函数的零点对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点（zero point）显然，函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点课堂例题例1 利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）；（2）；课堂练习（课本第88页练习1）利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（3）； （4）布置作业利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）；（2）；（3）第二课时3.1.1方程的根与函数的零点（2）复习导入通过提问复习上节课主要学习内容问：方程的根与函数的零点之间具有怎样的关系？答：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点问：如何用方程的根与函数的零点之间关系判断方程在某区间是否有根？参与讨论并阅读课本第91页中外历史上的方程求解新课进展二、函数零点存在的条件1探究观察二次函数的图象（图：课本第87页图3.1-2），我们发现函数在区间上有零点计算与的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间上是否也具有这种特点呢？经过讨论，可以发现：，函数在区间内有零点，它是方程的一个根同样地，函数在区间内有零点，它是方程的另一个根课堂练习画出二次函数的图象，观察函数在区间上是否有零点计算与的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间上是否也具有这种特点呢？2概括一般地，我们有：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根3应用课堂例题例1 （课本第88页例1）求函数的零点的个数解答：见课本第88页课堂练习1课本第88页练习22已知函数，问该函数在区间内是否有零点？解：因为，所以，又函数是连续的曲线，所以在区间内有零点本课小结如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，那么，函数在区间内至少有一个零点，即相应的方程在区间内至少有一个实数解4布置作业课本第92页习题3.1A组第1、2题；课本第112页复习参考题A组第1题第三课时3.1.2用二分法求方程的近似解新课导入讨论：对于一元二次方程可以用公式求根，但没有公式可用来求方程的根联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？上节课我们已经知道，函数在区间（2，3）内有零点，问题是：如何找出这个零点呢？如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值下面介绍一种求近似解的方法新课进展一、二分法我们知道，函数的图象与直角坐标系中轴交点的横坐标就是方程的解，利用上节课学过的函数零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解1在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5；2用计算器计算，因为，所以零点在区间内；3再取区间中点2.75，用计算器计算，因为，所以零点在区间内4重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出（课本第89页表3-2）当精确度为0.01时，由于，所以，我们可将作为函数零点的近似值，也即方程根的近似值对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）二、二分法的计算步骤给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：1确定区间，验证，给定精确度；2求区间的中点；3计算；4判断：（1）若，则就是函数的零点；（2）若，则令（此时零点）；（3）若，则令（此时零点）5判断：区间长度是否达到精确度？即若，则得到零点近似值；否则重复25说明：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解由于都是重复性的工作，所以可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算阅读课本第93页借助信息技术求方程的近似解课堂例题例1 （课本第90页例2）例2 求方程的一个近似解（误差不超过0.1）课堂练习课本第91页练习1、2题本课小结1二分法的理论依据是什么？二分法的理论依