求函数极值的几种方法

精品文档 1欢迎下载 求解函数极值的几种方法 1 1 函数极值的定义法 说明 函数极值的定义 适用于任何函数极值的求解 但是在用起来时却 比较的烦琐 1 2 导数方法 定理定理 充分条件 设函数在处可导且 如果取的左侧 f x 0 x 0 0fx x 0 x 的值时 取的右侧的值时 那么在处取得极 0fx x 0 x 0fx f x 0 x 大值 类似的我们可以给出取极小值的充分条件 例例 1 1 求函数的单调区间和极值 23 1 f xxx 解解 23 1 f xxx x 3222 2 1 3 1 1 52 fxx xxxx xx 令 得到驻点为 列表讨论如下 0fx 1 0 x 2 2 5 x 3 1x 表一 单调性列表 23 1 f xxx x 0 0 2 0 5 2 5 2 1 5 1 1 fx 0 0 0 f x 极大值 0 0f 极小值 2 108 3125 5 f 非 极 值 说明 导数方法适用于函数在某处是可导的 但是如果函数在 f x f x 某处不可导 则就不能用这样的方法来求函数的极值了 用导数方法求极值的条 件是 函数在某点可导 f x 0 x 1 3 LagrangeLagrange乘法数方法 对于问题 Min zf x y 精品文档 2欢迎下载 s t 0 x y 如果是该问题的极小值点 则存在一个数 使得 xy 0 xx fxygxy 0 yy fxygxy 利用这一性质求极值的方法称为Lagrange乘法数 例例 2 2 在曲线上求与原点距离最近的点 3 1 0 yx x 解解 我们将约束等式的左端乘以一个常数加到目标函数中作为新的目标函 数 22 3 1 wxyy x 然后 令此函数对的导数和对的导数分别为零 再与原等式约束合并得xy 4 3 3 20 20 1 x x y y x 解得 8 8 3 1 27 x y 这是唯一可能取得最值的点 因此 为原问题的最小值点 8 8 1 3 27 xy 说明 Lagrange乘法数方法对于秋多元函数是比较方便的 方法也是比 较简单的 如果是该问题的极小值点则存在一个数 使得 xy 0 xx fxygxy 0 yy fxygxy 这相当于一个代换数 主要是要求偏导注意 这是高等代数的内容 1 4 多元函数的极值问题 由极值存在条件的必要条件和充分条件可知 在定义域内求元函数n 精品文档 3欢迎下载 的极值可按下述步骤进行 求出驻点 即满足grad的点 f p 0 0f p 0 p 在点的Hessene矩阵 判定正定或负定 若正定则在点 0 pHHH f p 0 p 取得极小值 若负定则在点取得极大值 H f p 0 p 例例 3 3 求三元函数的极值 222 23246f x y zxyzxyz 解解 先求驻点 由 得 220 440 660 x y z fx fy fz 1 1 1xyz 所以驻点为 0 1 1 1 p 再求Hessene矩阵 因为 2 0 0 4 0 0 0 0 6 xxxzxyyyyzyxzxzyzz ffffffff 所以 200 040 006 H 由此可知 是正定的 所以在点取得极小值 H f x y z 0 1 1 1 p 222 1 1 1 1 2 1 3 12 1 4 1 6 1 66f 说明 此方法适合多元函数求极值的放法 要注意求偏导数以及 Hessene 矩阵 精品文档