立体几何与其它数学分支的六大交汇点.doc

立体几何与其它数学分支的六大交汇点(629000)四川遂宁市第七中学郑廷楷 近几年的高考试题中，以空间图形为背景的试题，其考查的知识内容和范围，已不再局限于立体几何的内部，而是旁及到代数、几何、三角、向量、组合等学科分支，对综合运用各种知识技能解题的灵活性，要求有所加强，应予以重视。以能力立意，命题注重对知识网络交汇部分的考查，深入开发立体几何题的综合考查功能，十分引人注目。一、 与函数交汇例1等边三角形ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段DE折起，使平面ADE平面BDEC，若折叠后AB的长度为d，则d的最小值为 A. B. C. D. 分析：在此问题中，DE在三角形ABC中的位置是变化的，由此变化引起翻折后AO、OF的变化，从而导致AF的变化，进而形成了折叠后AB的长度的变化.解析：设AO=x，则，由此易知：当时，取得最小值为【点评】点、线、面的变化必然导致位置关系或一些量的变化，在具体问题中，让变量变化，考虑由此变化所引发的其它量的变化，构建目标函数，则可将立体几何问题用代数方法解决。二、 与不等式交汇例2.有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别用他们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，所拼成的新几何体的表面积与“棱长和”(所有棱长之和)都最小的棱柱我们称之为“双佳棱柱”，问这样的“双佳棱柱”是否存在?若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由分析：若将所有的情形都列出来有七种之多，逐一考虑太繁琐，抓住问题的本质特征，表面积最小即重合部分面积最大、棱长和最小即重合部分棱长和最大这样整体把握问题，可迅速获得求解所需的不等式组解析：假设这样的“双佳四棱柱” 存在， 则，解得；假设这样的“双佳三棱柱” 存在， 则，解得，故这样的“双佳棱柱”是存在的.【点评】在解题过程中，应用穷举法，以保证分类不重不漏。依据表面积与“棱长和”的大小，有效地整合出一个不等式（组）是两个关键步骤，恰恰体现了先“分”后“合”，有“分”有“合”的解题思想。三、与排列组合交汇例3.一个正方体的任意四个不在同一平面上的顶点A、B、C、D组成的二面角A-BC-D的余弦值中，小于的值的个数是_.分析：由于4 个顶点A、B、C、D的空间位置不同，从而我们分类讨论.解析：正方体任意4个不共面的顶点A、B、C、D共可组成个四面体.设正方体棱长为1，则其中；以对角线长为棱长可构成2个四面体，如图1，其二面角的余弦值为；以3条棱长1和3 条面对角线长为棱长可构成8个四面体，如图2，其二面角的余弦值为0或；以2条棱长1和3 条面对角线长和1条体对角线长为棱长可构成24个四面体，如图3，其二面角的余弦值为或或或；以3条棱长1和3 条面对角线长为棱长可构成24个四面体，如图4，其二面角的余弦值为0或或，故正方体的任意四个不在同一平面上的顶点A、B、C、D组成的二面角A-BC-D的余弦值的集合是：，其中小于的值有4个.【点评】解答与立体几何有关的计数问题，首先需要掌握空间中点、线、面的位置关系，要善于进行等价转化，从整体着眼其次就是要灵活运用分类计数原理和分步计数原理、排列组合的方法、以及递推的思想等.四、与解析几何交汇例4. 在四棱锥中，面PAB，面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是A.圆B.不完整的圆C.抛物线D.抛物线的一部分分析：根据题目的信息，利用空间几何性质，把立体几何问题转化到平面上，再利用解析几何的方法探求轨迹.解析：因为面PAB，面PAB，所以AD/BC，且.又，可得，即得在平面PAB内，以AB所在直线为x轴，AB中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A（-3，0）、B（3，0）。设点P（x,y），则有，整理得由于点P不在直线AB上，故此轨迹为一个不完整的圆，故选B.【点评】将立体几何与解析几何巧妙结合，是对过去分离考核的创新。解答以立体图形为载体的轨迹问题的关键是：把空间问题转化为平面问题。一般可从两个方面考虑：一是利用曲线的定义，二是用解析法求出轨迹方程.五、与概率统计交汇例5.以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率P为A. B. C. D. 分析：面对一个复杂的问题，怎么办？将其分解为若干个子问题，逐一分析，各个击破.解析：此问题可分解成五个小问题：（1）由平行六面体的8个顶点可组成多少个三角形？可组成（个）三角形（2）平行六面体的8个顶点中，4点共面的情形共有多少种？平行六面体的6个面加上6个对角面，共12个平面.（3）在上述12个平面内的每个四边形中共面的三角形有多少个？有（个）（4）从56个三角形中任取两个三角形共面的概率P等于多少？显然，.（5）从56个三角形中任取两个三角形不共面的概率P等于多少？利用求对立事件概率的公式，得.故选A.【点评】这是一道以立体几何熟知的内容为载体，构思巧妙，综合考查立几、排列组合、概率等基础知识，深入考查学生的数学思维能力的上乘之作.六、与向量交汇例6. 在直三棱柱中，. 已知与分别为 和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的取值范围为 A. B. C. D. 分析：由于点与分别为线段和上的动点（不包括端点），导致线段的长度发生变化，由此考虑建立空间直角坐标系，引入向量，构建目标函数，将立体几何问题用代数方法解决。解析：建立直角坐标系，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，则，设（），（）.所以，.因为，所以，整理得，由此推出 .又，从而有 ，故选A.【点评】“动”与“静”结合，运动与变化相联系，向量法的运用，为处理动态化问题找到了一条简捷有效的新途径，此类问题已成为