小船过河问题

小船过河问题 要使船能在最短时间内渡河 应向何方划船 例1 小船在d 200m宽的河水中行驶 船在静水中v船 4m s 水流速度v水 2m s 求 演示 例1 小船在d 200m宽的河水中行驶 船在静水中v船 4m s 水流速度v水 2m s 求 要使船能够垂直地渡过河去 那么应向何方划船 演示 例2 河宽d 船在静水中的速度为v船 水流速度为v水 v船与河岸的夹角为 v船 v水 求渡河所用的时间及横向位移 并讨论 等于多少时 渡河时间最短 怎样渡河 船的合位移最小 此时对船速有何要求 v合垂直河岸 合位移最短等于河宽d 但必须v船 v水 v船 v水 1 最短时间过河 2 最短位移过河 过河时间最短 t d v船 过河路径最短 s d v船 v水 重要结论 小船的两种过河方式 例3 小船在d 200m宽的河水中行驶 船在静水中v船 2m s 水流速度v水 4m s 求 要使船能在最短距离内渡河 应向何方划船 d d 虚线所示即为最短路径v船 v水 例4 一只船从河岸A处渡河 河宽d 30m v水 10m s 距A40m的下游有瀑布 为使小船靠岸时 不至被冲进瀑布中 船的最小速度为多少 d 瀑布 v 6m s 例5 一条河流宽为l 河水以速度v流动 船以u v的对水速度渡河 问 1 为了使船到达对岸的时间最短 船头与河岸应成多少度角 最短时间是多少 到达对岸时 船在下游何处 2 为了使船冲向下游的距离最短 船头与河岸应成多少度角 到达对岸时 船在下游何处 需要多少时间 例6 有一艘船以v甲的船速用最短的时间横渡过河 另一艘船以v乙的船速从同一地点以最短的距离过河 两船的轨迹恰好重合 设河水速度保持不变 求两船过河所用时间之比 例7 某人乘船横渡一条河 船在静水中的速度及水速一定 此人过河最短时间T1 若此船用最短的位移过河 所需时间T2 若船速大于水速 则船速与水速之比为 例8 有人驾船从河岸A处出发 如果使船头垂直河岸航行 经10min到达正对岸下游120m的C处 若使船头指向与上游河岸成 角的方向航行 经12 5min到达正对岸的B点 求水速u 航向 船速v 河宽d 水速u 12m min 航向 53 船速v 20m min 河宽d 200m 例9 汽船顺流从甲地到乙地 历时3h 返回时需6h 如汽船关闭发动机顺流从甲地漂到乙地 则所需时间为 A 3hB 6hC 9hD 12h D 例10 游泳运动员以恒定的速率垂直河岸横渡 当水速突然增大时 对运动员横渡经历的路程 时间发生的影响是 A 路程增长 时间增长B 路程增长 时间缩短C 路程增长 时间不变D 路程与时间均与水速无关 C 例11 为测定一艘新建轮船的速度 安排该船沿测量线AB来回航行一次 当船从A驶向B时 船头与测量线AB成 角 恰能保证轮船沿着测量线航行 航行时间为t1 从B驶向A时 仍保证船沿着测量线航行 航行时间为t2 若测得航线AB长为s 则船速为多少 速度关联类问题求解 速度的合成与分解 图4 12 例1 如图4 3所示 在一光滑水平面上放一个物体 人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体 使物体在水平面上运动 人以大小不变的速度v运动 当绳子与水平方向成 角时 物体前进的瞬时速度是多大 图4 3 解法一 应用微元法 设经过时间 t 物体前进的位移 s1 BC 如图4 5所示 过C点作CD AB 当 t 0时 BAC极小 在 ACD中 可以认为AC AD 在 t时间内 人拉绳子的长度为 s2 BD 即为在 t时间内绳子收缩的长度 图4 5由图可知 BC 由速度的定义 物体移动的速度为v物 人拉绳子的速度v 由 解之 v物 图4 5 解法二 应用合运动与分运动的关系 绳子牵引物体的运动中 物体实际在水平面上运动 这个运动就是合运动 所以物体在水平面上运动的速度v物是合速度 将v物按如图4 6所示进行分解 其中 v v物cos 使绳子收缩 v v物sin 使绳子绕定滑轮上的A点转动 所以v物 图4 6 例2 一根长为L的杆OA O端用铰链固定 另一端固定着一个小球A 靠在一个质量为M 高为h的物块上 如图4 7所示 若物块与地面摩擦不计 试求当物块以速度v向右运动时 小球A的线速度vA 此时杆与水平方向夹角为 选取物与棒接触点B为连结点 不直接选A点 因为A点与物块速度的v的关系不明显 因为B点在物块上 该点运动方向不变且与物块运动方向一致 故B点的合速度 实际速度 也就是物块速度v B点又在棒上 参与沿棒向A点滑动的速度v1和绕O点转动的线速度v2 因此 将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解 由速度矢量分解图得 v2 vsin 设此时OB长度为a 则a h sin 令棒绕O点转动角速度为 则 v2 a vsin2 h 故A的线速度vA L vLsin2 h 练习1 如图所示 A B两车通过细绳跨接在定滑轮两侧 并分别置于光滑水平面上 若A车以速度v0向右匀速运动 当绳与水平面的夹角分别为 和 时 B车的速度是多少 图4 1 1 vB vB 练习2 如图所示 均匀直杆上连着两个小球A B 不计一切摩擦 当杆滑到如图位置时 B球水平速度为vB 加速度为aB 杆与竖