人员安排问题研究（数学建模）.doc

西南交通大学峨眉校区数学建模课程期末答辩组号：1姓名：xxx、xxx学号：2009xxxx，2009xxxx2011年1月4日人员安排问题研究摘要人员安排对于完成工程的作用是不可忽略的，好的人员安排不仅可以让工程高速高质量的，还可以使完成工程的费用达到最小。本文针对人员安排的实时计算的讨论，利用规划模型求解。在求解该问题的过程中，设定了一些常量和决策变量对问题中的已知和求解结果进行表示，以方便模型的建立和求解，其中运用Lingo软件进行求解。由于人员安排问题比较复杂，其中的变化比较多，本文仅仅只是对一些比较简单、容易求解的一些情况进行讨论和求解，比如说将项目的工作时间进行了简化（设定工程师的工作月数被划分为三个时期，每六个月为一时期）；将工程师的工作量进行了限定（工程师在六个月内只能被安排在一个项目）；对工资的计算方法进行了理想化（工程师在完成项目的过程中，即每六个月中即使已经提前完成了项目，在工资的计算上也按六个月进行计算）。最后将模型进行了推广，考虑一些更一般的情况，但由于现有知识的限制，没有进行求解。问题一中，问题是求解完成所有项目所需总费用的最小值的人员分配方案，此题没有考虑工程师本身的问题，且工程师在每6个月中只能被安排一个项目。先对问题进行合理的假设，使人员安排问题转化为我们熟悉的数学规划问题，建立一个具体的规划模型，然后运用Lingo软件对模型进行求解，求出了完成所有项目所需最小的总费用为198000元。问题二中，问题二是考虑了工程师在完成这项工程的十八个月中的空闲情况，即工程师甲在时期二中没有时间。其求解方法同问题一，建立适当的的规划模型，然后运用Lingo软件对模型进行求解，得出了最小的总费为203400元 用并且讨论当总费用怎样的情况会让工程师甲重新被安排到第二时期。问题三中，问题三是考虑了工程师之间关系的情况，由于工程师乙和丙之间存在个性冲突而不能被同时安排到同一个项目，即工程师乙和丙在同一时间内不能做同一的项目。利用0,1变量将其转化为数学表达式，建立适当的的规划模型，然后运用Lingo软件对模型进行求解，得出了最小的总费为19800元，并讨论这种情况对总费用的影响。问题四中，问题四在问题一的基础上，考虑了外部的因素对完成工期的总费用的影响。即考虑由于项目一能够在六个月内完成发奖金的情况，讨论其是否会对完成工期的总费用的最优解产生影响。在求解该问题时，分别讨论项目一在时期一、二、三中完成，讨论项目在不同时期内完成对最优解的影响，最终得出项目的安排时期对最优解不造成影响的结论。本文最大的特色是对原问题作出了合理假设，将问题转变成我们所熟悉的简单的线性规划问题。然后再逐渐考虑由于工程师空闲情况、工程师之间的关系情况、外部因素对工程影响等复杂的问题，有数学数据去分析在各种情况下的人员分配最优解。在问题的求解过程中我们运用LINGO软件对建立的规划模型求解，其求解结果非常全面，将人员安排到很具体的项目和时期。在问题四的求解过程中建立了三个模型对问题进行了讨论。在本文的最后，将模型进行了推广，考虑到更一般的情形（），使模型更符合日常生活中的人员安排。关键词：工程项目、时期、总费用、规划模型20一、问题提出问题 人员安排一位管理人员安排一些工程师完成三个项目A、B、C。项目A、B、C分别需要18、12和30人-月来完成。工程师甲、乙、丙和丁都可以完成这些项目。他们的月工资分别是3000元、3500元、3200元和3900元。假设工程师在每6个月中只能被安排一个项目，所有项目要求只能在18个月内完成。（1） 求完成所有项目的总费用最小的分配方案（分配工程师到具体项目）。（2） 假设由于早期的工作安排，工程师甲在时期2内没有时间。重复（1）的计算，这会影响最优解吗？多少费用会使管理人员认为应该将工程师甲重新安排到时期2中？（3） 假设由于个性冲突，工程师乙和丙不能同时在一个项目中工作。他们的个人矛盾会对人员的安排带来额外损失吗？（4） 如果项目A能够在6个月内完成，公司会发10000元的奖金。这会改变最优解吗？二、基本假设1、假设1；工程师在完成项目期间不能缺席，也不能由其它工程师顶替。2、假设2；工程师在这十八月类都有空，可以随便安排参加项目的时期。3、假设3；工程师之间无冲突，可以随机安排他们工作的项目。4、假设4；没有特殊情况影响工程进度。5、假设5；项目完成顺序随机。6、假设6；项目可以间断完成。三、符号说明符号意义单位备注工程师甲、乙、丙、丁项目工作时期月工程师甲、乙、丙、丁的工资元项目的工作量人-月工程师在时期完成项目完成所有项目所需费用元四、问题分析该题为现实生活中的人员安排问题，求所需费用最小，在求解此问题时可以将其抽象为一个典型的规划问题。由于现实问题中存在着工期问题、项目的工作量问题、所需费用最小等问题，所以在建立模型的过程中，这些问题就构成了约束条件。根据题目要求，可以建立如下模型：求五、模型的建立与求解5.1 问题一模型建立与求解5.1.1 问题一的分析问题一中，我们要求完成所有项目的总费用最小的分配方案（分配工程师到具体项目），即让4个工程师甲、乙、丙、丁，每人分别在三个时间段内做某个项目，使得他们在完成所有项目所得的总工资达到最小的分配方案。根据题意我们可得到完成项目的总费用为：。根据题中内容：假设工程师在每6个月中只能被安排一个项目，所有项目要求只能在18个月内完成。则其约束条件为：，利用我们所学有关规划模型的知识和高数知识可以建立具体的规划模型。5.1.2 问题一模型的建立根据问题的分析，建立具体的规划模型：5.1.3 问题一模型的求解算法与步骤详见附录一。此规划模型我们采用Lingo软件来求解，结果如下：Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 198000.0 Variable Value Reduced Cost P( 1) 3000.000 0.000000 P( 2) 3500.000 0.000000 P( 3) 3200.000 0.000000 P( 4) 3900.000 0.000000 D( 1) 3.000000 0.000000 D( 2) 2.000000 0.000000 D( 3) 5.000000 0.000000 A( 1) 0.000000 0.000000 A( 2) 0.000000 0.000000 A( 3) 0.000000 0.000000由此我们得到了我们的全局最优解，即完成所有项目的总费用（元）。最优解分配方案：工程师项目甲乙丙丁其中，表示工程师在第个时期做某个项目。5.1.4 问题一结果的分析及验证总费用：符合最优解。我们注意到，四个工程师中丁的工资是最高的，在安排时应减少其的工期，才能尽量降低总费用。所以丁只做项目的安排是合理的。5.2 问题二模型建立与求解5.2.1 问题二的分析问题二中，由于工程师甲在时期2内没有时间，求出在问题一的基础上加上这个条件后，完成所有项目所需总费用最小，我们可以列出问题的目标函数，即完成项目的总费用为：。在问题一建立的模型的基础上增加一个约束条件：，则问题二的约束条件为：5.2.2 问题二模型的建立根据问题分析，建立出具体的规划模型为：5.2.3 问题二模型的求解算法与步骤详见附录二。此规划模型我们采用Lingo软件来求解，结果如下：Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 203400.0 Variable Value Reduced Cost P( 1) 3000.000 0.000000 P( 2) 3500.000 0.000000 P( 3) 3200.000 0.000000 P( 4) 3900.000 0.000000 D( 1) 3.000000 0.000000 D( 2) 2.000000 0.000000 D( 3) 5.000000 0.000000 A( 1) 0.000000 0.000000 A( 2) 0.000000 0.000000 A( 3) 0.000000 0.000000我们得到了我们的全局最优解，即完成所有项目的总费用为（元）。此时工程师的安排情况如下：工程师项目甲乙丙丁 其中，表示工程师在第个时期做某个项目。这种分配方案导致了最优解的改变，总费用增加了。第二时期缺少甲工程师，被乙丙丁三位做了。此时管理员不会考虑把甲安排回到工程中，这时候还没有达到甲工作半个时期的工资，即。若，则此时管理员就会让甲回到工期2中去了。5.2.4 问题二结果的分析及验证总的费用，符合最优解。由于工期2中甲的缺席，导致对丁的使用增加从而使得费用增加， ，符合求解结果。甲在第2时期缺席造成了总费用的上升，这时候的管理员应该叫甲回来。管理员可以通过加薪的方式，叫回甲。虽然加薪会导致总费用的增加。但从长远来，是实惠的。5.3 问题三模型建立与求解5.3.1 问题三的分析问题三中，由于个性冲突，工程师乙和丙不能同时在一个项目中工作，要求在这个条件下完成所有项目所需总费用最小的分配方案。列出的目标函数，即完成项目的总费用为：。工程师乙和丙工程师在工作安排中，不能分到同一项目，设立变量，可得对应的数学表达式为。则问题三的约束条件为：5.3.2 问题三模型的建立5.3.3 问题三模型的求解算法与步骤详见附录三。此规划模型我们采用Lingo软件来求解，结果如下：Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 198000.0 Variable Value Reduced Cost C( 1) 3000.000 0.000000 C( 2) 3500.000 0.000000 C( 3) 3200.000 0.000000 C( 4) 3900.000 0.000000 D( 1) 3.000000 0.000000 D( 2) 2.000000 0.000000 D( 3) 5.000000 0.000000 A( 1) 0.000000 0.000000我们得到了全局最优解，完成所有项目的总费用为。此时工程师的安排情况如下：工程师项目甲乙丙丁 其中，表示为工程师在第个时期做某个项目。从运算出来的结果我们知道，乙与丙的性格冲突并未造成损失。5.3.4 问题三结果的分析及验证总费用，符合最优解。由表格中的安排方案我们知道，乙丙未被安排到同一个项目工作中，符合题目要求。5.4 问题四模型建立与求解5.4.1 问题四的分析问题四中，由于项目能够在六个月内完成，则公司将发10000元的奖金，在此情况下求工资最小分配方案。此问题在问题一的基础上增加了一个约束条件即项目的完成时期必须在一个时期内。在求解该问题的过程中，可以将问题分为三种情况进行讨论即项目在第一时期、第二时期和第三时期（）分别进行计算，求出其最佳方案。5.4.2 问题四模型的建立模型四：；模型五：；模型六：；5.4.3 问题四模型的求解算法与步骤详见附录四。规划模型我们采用Lingo软件来求解，结果如下：模型四的运行结果：Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 208000.0 Variable Value Reduced Cost P( 1) 3000.000 0.000000 P( 2) 3500.000 0.000000 P( 3) 3200.000 0.000000 P( 4) 3900.000 0.000000 D( 1) 3.000000 0.000000 D( 2) 2.000000 0.000000 D( 3) 5.000000 0.000000 A( 1) 0.000000 0.000000 A( 2) 0.000000 0.000000 A( 3) 0.000000 0.000000模型五的运行结果：Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 208000.0 Variable Value Reduced Cost P( 1) 3000.000 0.000000 P( 2) 3500.000 0.000000 P( 3) 3200.000 0.000000 P( 4) 3900.000 0.000000 D( 1) 3.000000 0.000000 D( 2) 2.000000 0.000000 D( 3) 5.000000 0.000000 A( 1) 0.000000 0.000000 A( 2) 0.000000 0.000000 A( 3) 0.000000 0.000000模型六的运行结果：Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 208000.0 Variable Value Reduced Cost P( 1) 3000.000 0.000000 P( 2) 3500.000 0.000000 P( 3) 3200.000 0.000000 P( 4) 3900.000 0.000000 D( 1) 3.000000 0.000000 D( 2) 2.000000 0.000000 D( 3) 5.000000 0.000000 A( 1) 0.000000 0.000000 A( 2) 0.000000 0.000000 A( 3) 0.000000 0.000000由此我们得到了最优解，完成所有项目的总费用为。此时工程师的安排情况如下：模型四：工程师项目甲乙丙丁 模型五：工程师项目甲乙丙丁 模型六：工程师项目甲乙丙丁 其中，表示工程师在第个时期做某个项目。以上3个模型的最优解一样，均为208000元。从运算结果我们可以得到，发放奖金并不会影响最优解和工期。5.4.4 问题四结果的分析及验证分别对3个模型的分配方案进行计算，符合题意。六、模型的评价与推广6.1 模型的评价关于我们建立的有关人员安排的规划模型，是将复杂的人员安排问题进行抽象化，对其作出一些合理的假设。即将工程师作业情况进行理想化，在不考虑完成工程的质量问题，项目完成的时间只与人数和时间有关。假设四个工程师的作业速度和技术水平在完成工程的时间内一致且稳定不变。工程师在一个工程的项目未完成的情况下不能去做下一个项目，且工程师在每6个月中只能被安排一个项目，工程师无缺席、早退等情况。把复杂问题转化为简单的线性规划问题，然后利用我们掌握的高数知识和线性规划知识对问题进行分析，建立数学规划模型。利用lingo软件对模型进行求解，用求解出的数据得到最优的人员安排方案。使人员安排方案更加合理，更具说服力。但我们所建立的模型也有一些不足之处，例如由于为了问题的简单化，我们对问题的假设，将工程完成的质量、完成项目所需的时间、各工程师作业速度和技术水平，空闲等情况理想化。而且关于工程项目的成本仅仅只是考虑了工程师的总工资，没有考虑其他的成本问题。对于在完成工程期间考虑的外在因数只是对完成部分项目的奖励，没有考虑由于天气、交通、物价、政府政策以及工程师的身体情况等对工程师的影响，所以该模型不能更好的反应实际情况。6.2 模型的推广本模型解决的是一个有关于人员安排方案最优化问题。在现实的生活中，对完成一项工程的人员进行合理安排，是为了使工程的成本达到最小，完成工程的时间最短和所完成的工程的质量达标。然而现实中人员安排问题是受到许多的条件的限制的。我们应该考虑到更多的限制条件。考虑到更一般的情况：1：工作时期不被划分为三个时期，即以月份为单位将其划分为十八个时间段，该问题将更加复杂；2：工程师的技术条件造成工作的速度和质量，以及影响工程师之间的组合情况和项目情况。七、参考文献1 姜启源等, 数学模型（第三版），高等教育出版社，2003年8月八、附录8.1 附录清单附录1：求解问题一的LINGO程序及运行结果。附录2：求解问题二的LINGO程序及运行结果。附录3：求解问题一的LINGO程序及运行结果。附录4：求解问题四的LINGO程序及运行结果。8.2 附录正文附录1：求解问题一的LINGO程序及运行结果model:sets:SI/1.4/:p;!工程师的工资;SJ/1.3/:d;!项目所需的时期;SK/1.3/:a;!工程的三个时期数;SIK(SI,SK):y;SIJK(SI,SJ,SK):x;!工程师的安排情况;endsetsmin=6*Sum(SIJK(i,j,k):x(i,j,k)*p(i);!总的费用;For(SJ(j):Sum(SIK(i,k):x(i,j,k)=d(j);!完成所有项目的时间约束;For(SIK(i,k):Sum(SJ(j):x(i,j,k)=0);!人的工作能力的约束;For(SIK(i,k):Sum(SJ(j):x(i,j,k)=0);!人的工作能力的约束;For(SIK(i,k):Sum(SJ(j):x(i,j,k)=1);For(SJ(j):x(1,j,2)=0);For(SIJK(i,j,k):Bin(x(i,j,k);!某工程师在某段时期内被安排的情况;data:p=3000 3500 3200 3900;d=3 2 5;enddataendGlobal optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 203400.0 Variable Value Reduced Cost P( 1) 3000.000