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第六章：空间解析几何与向量微分本章内容简介在平面解析几何中，通过坐标把平面上的点与一对有序实数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题，空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。本章知识点1、几种常用的曲线。2、曲面极其方程示例。3、空间曲线（直线）极其方程示例。4、二次曲面示例。6.1 几种常见曲线：下一页上一页 下一页6.1 几种常见曲线：上一页 下一页6.1 几种常见曲线： 上一页 回第一页6.2 曲面方程6.2.1 曲面方程的概念及一般方程如果曲面S与三元方程F(x, y, z)=0 (1)有下述关系：1. 曲面S上任一点的坐标都满足方程(1)；2. 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1)，那末，方程(1)就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(1)的图形。6.2.2 平面方程的几种形式一般形式：Ax+By+Cy+D=0，其中A，B，C是平面法向，。点法式方程：。截距式方程：。三点式方程：已知平面过空间三点，则平面方程为1. 几种特殊的曲面方程1. 旋转曲面方程设平面曲线 l : 绕z轴旋转,则旋转曲线方程为 2. 柱面方程母线平行与坐标轴的柱面方程为不完全的三元方程,如F(y, z)=0就表示母线平行与x轴,准线为 的柱面.3. 二次曲面方程（见第七章知识点3）6.3 空间曲线6.3.1 空间曲线一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线。设F(x, y, z)=0 和 G(x, y, z)=0是两个曲面的方程，它们的交线为C如图。因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组（1）反过来，如果点M不在曲线C上，那末它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组（1）。因此，曲线C可以用方程组（1）来表示。方程组（1）叫做空间曲线C的一般方程。1. 为空间曲线的一般方程，空间曲线的参数方程为 t为参数.1. 方程组 表示怎样的曲线?方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面,其准线是xOy面上的圆，圆心在原点O，半径为1。方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面，由于它的准线是zOx面上的直线，因此它是一个平面。方程组就表示上述平面与圆柱面的交线，如图。2. 方程组 表示怎样的曲线？方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O ，半径为a的上半球面。第二个方程表示母线平行于z 轴的圆柱面，它的准线是xOy面上的圆，这圆的圆心在点（a/2，0），半径为a/2。方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线，如图。6.3.2 空间曲线在坐标上的投影设空间曲线C的一般方程为由上述方程组消去变量z，x，y后所得的方程分别为：H( x , y )=0 R( y , z )=0 T( x , z )=0表示曲线C在xOy面上的投影,表示曲线C在yOz面上的投影,表示曲线C在xOz面上的投影。例 已知两球面的方程为（a） 和 (b)求它们的交线C在xOy面上的投影方程。解 先求包含交线C而母线平行于z轴的柱面方程。因此要由方程(a) , (b)消去z，为此可先从（a）式减去(b) 式并化简，得到y + z = 1再以z = 1 y 代入方程（a）或（b）即得所求的柱面方程为容易看出，这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程，于是两球面的交线在xOy面上的投影方程是注：在重积分和曲线积分的计算中，往往需要确定一个立体或曲面在坐标面上的投影，这时要利用投影柱面和投影曲线。 6.4 二次曲面我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。为了了解三元方程F (x , y ,z )=0所表示得的曲面的形状，我们通常采用截痕法。即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲线相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。同学们可试用截痕法考察下面的二次曲面。6.4.1 椭球面方程 所表示的曲面叫做椭球面，截痕法演示。6.4.2 抛物面方程 （p 和q 同号）所表示的曲面叫做抛物面，截痕法演示。6.4.3 双曲抛物面