高考理科数学函数的奇偶性、周期性复习资料

1,第 讲,5,函数的奇偶性、周期性 （第一课时）,第二章 函数,2,3,4,一、奇(偶)函数的定义及图象特征1.若f(x)的定义域 ，且f(-x)=f(x) (或f(-x)=-f(x)，则函数f(x)叫做 (或 ).2. 奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称，反之亦然.,关于原点对称,偶函数,奇函数,原点,y轴,5,二、奇(偶)函数的性质1. 若f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)= .2. 若f(x)为偶函数，则f(x)= ，反之亦然.,0,f(|x|),6,3. 在定义域的公共部分，两奇函数的积(或商)为 函数；两偶函数的积(或商)为 函数；一奇一偶函数的积(或商)为 函数；两奇函数(或两偶函数)的和、差为 函数(或 函数).,偶,偶,奇,奇,偶,7,三、函数的周期性 1. 如果存在一个非零常数T，使得对于y=f(x)定义域内的每一个x值都有 成立，那么y=f(x)叫做周期函数，T叫做y=f(x)的一个周期，nT (nZ)均是该函数的周期，我们把周期中的 叫做函数的最小正周期.2. 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)，其中a0，则f(x)的最小正周期为 .,最小正数偶,f(x+T)=f(x),2a,8,1.若 是奇函数，则a= . 解法1：f(-x)=-f(x) 故解法2:,9,2.若函数f(x)=2sin(3x+)，x2-5,3为偶函数，其中(0,)，则-的值是 . 函数f(x)=2sin(3x+)，x2-5,3为偶函数，其中(0,) 2-5+3=0, ,10,3.函数f(x)对于任意实数x满足条件若f(1)=-5,则ff(5)= . 由得所以f(5)=f(1)=-5，则,11,题型一：函数奇偶性的判断1. 判断下列函数的奇偶性：(1) (2) (3)f(x)= x2+x (x0) x2-x (x0);,12,(4) (5) (6),13,(1) 得定义域为-1，1)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.(2)由 1-x20 |x-2|-20，得x(-1，0)(0，1).这时，显然，f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.,14,(3)当x0时，-x0，则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x);当x0时，-x0，则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x).综上，f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数.(4)由 1-x20 x2-10 x2=1 x=1.此时，f(x)=0，x=1.所以f(x)既是奇函数又是偶函数.,15,(5) 的定义域是R.又f(-x)+f(x)所以 是奇函数.,16,(6)因为 时，1+sinx+cosx=2; 时，1+sinx+cosx=0，所以 的定义域不对称，故 是非奇非偶函数.,17,点评：利用定义法判断函数的奇偶性的要点是：判断定义域是不是关于原点对称.若不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；比较f(-x)与f(x)是相等还是相反关系，有些函数有时须化简后才可判断.注意还有一类函数既是奇函数，也是偶函数，如第(4)小题中的函数.,18,19,20,题型二：利用函数的奇偶性求函数值2. 已知f(x)=ax3+bsinx+2(ab0)，若f(5)=5，则f(-5)= . 由f(x)=ax3+bsinx+2，得f(x)-2=ax3+bsinx为奇函数，又f(5)-2=3，所以f(-5)-2=-3，即得f(-5)=-1.,-1,21,点评：定义域为R的非奇非偶函数f(x)可以表示为一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和.在已知f(a)=g(a)+h(a)的情况下，则f(-a)=-g(a)+h(a)，可得出f(-a)=2h(a)-f(a).,22,23,24,25,题型三：函数的奇偶性质的应用3. 已知定义域为R的函数 是奇函数.(1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t2-2t) +f(2t2-k)0恒成立，求k的取值范围.,26,(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即所以又由f(1)=-f(-1)，知解得a=2.,27,(2)由(1)知易知f(x)在(-，+)上为减函数.又因为f(x)是奇函数，所以f(t2-2t)+f(2t2-k)0等价于f(t2-2t)-f(2t2-k)=f(k-2t2)，因为f(x)为减函数，由上式推得t2-2tk-2t2.即对一切tR有3t2-2t-k0恒成立，从而判别式=4+12k0，解得所以k的取值范围为,28,点评：若奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0，对定义域上任一非零自变量t，都有f(-t)=-f(t)，利用这两个性质常用来解决含参奇函数问题.,29,设定义在-2，2上的偶函数f(x)在区间0，2上单调递减，若f(1-m)f(m)，求实数m的取值范围.,30,因为f(x)是偶函数，所以f(-x)= f(x) =f(|x|)，所以不等式f(1-m)f(m) f(|1-m|)f(|m|).又当x0，2时，f(x)是减函数，所以 |1-m|m| -21-m2 -2m2，解得故实数m的取值范围是,31,1. 判定函数奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再分析f(-x)与f(x)的关系，必要时可对函数解析式进行化简、变形.,32,2. 判定或证明函数的奇偶性，必须以定义为依据，不能取特殊值推断.若说明一个函数不具有奇偶性，只需举出反例就可以.3. 分析函数的奇偶性，有时可通过其等价形式：f(-x)f(x)=0或f(-x)f(x)=1 (f(x)0)进行处理.,33,第 讲,5,函数的奇偶性、周期性 （第二课时）,第二章 函数,34,题型四：函数周期性的定义1. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0，则f(x)的周期是( )A. 1 B. 2C. 4 D. 6,35,由已知，f(x+2)=-f(x)，所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，显然，f(x)的周期为4，选C.,点评：由本题可知，若定义域为R的函数f(x)满足：f(x+a)=-f(x)(a0)，则f(x)是周期为2a的周期函数.相应地还有：若 或 则f(x)是周期为2a的周期函数.,答案：C,36,已知定义在R上的奇函数f(x)满足：对任意实数x都有f(x+2)+f(x)=0，且当x0，1时，f(x)=3x，则 的值为( )A. 1 B. -1C. D.,37,由已知f(x+2)=-f(x) f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数.又f(x)为奇函数，所以故选B.,38,题型五：抽象函数奇偶性、周期性的判定与证明2. 定义在R上的函数f(x)满足：f(x)=f(4-x)且f(2-x)+f(x-2)=0.(1)证明：这个函数既是奇函数，又是周期函数；(2)若f(-3)=1，求f(2011)的值.,39,(1)证明：因为f(2-x)+f(x-2)=0，令t=x-2代入，有f(-t)+f(t)=0，所以f(x)为奇函数.所以f(4-x)=-f(x-4)，即有f(x)=-f(x-4)，所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，故f(x)是周期为8的周期函数.(2)f(2011)=f(2518+3)=f(3)=-f(-3)=-1.,40,点评：处理抽象函数的奇偶性和周期性的关键是对其抽象性质进行变形、配凑，如本题中观察到2-x与x-2是互为相反数，则可判断其奇偶性，然后利用奇偶性将f(4-x)变换为-f(x-4).,41,已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数y=f(x)的图象关于直线x=a (a0，为常数)对称，证明：f(x)是周期函数.,42,证明：由已知f(-x)=-f(x)， 且f(a+x)=f(a-x)，所以f(2a+x)=fa+(a+x) =fa-(a+x)=f(-x)=-f(x)，所以f(4a+x)=-f(2a+x)=f(x)，所以f(x)是周期函数，且周期为4a.,43,题型六：函数的对称与周期3. 若y=f(2x)的图象关于直线 和 对称，则f(x)的一个周期为( )A. B. 2(b-a)C. D. 4(b-a),44,因为y=f(2x)关于直线 对称，所以f(a+2x)=f(a-2x)，所以f(2a-2x)=fa+(a-2x)=fa-(a-2x) =f(2x).同理，f(b+2x)=f(b-2x)，,45,所以f(2b-2x)=f(2x).所以f(2b-2a+2x)=f2b-(2a-2x)=f(2a-2x) =f(2x).所以f(2x)的一个周期为2b-2a，故知f(x)的一个周期为4(b-a).故选D.,答案：D,46,点评：本题考查函数的对称性以及周期性，类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则处理即可.若函数y=f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称(ab)，则这个函数是周期函数，其周期为2(b-a)；若函数y=f(x)的图象关于直线x=a和点(b,0)对称(ab)，则这个函数是周期函数，其周期为4(b-a);若函数y=f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称(ab)，则这个函数是周期函数，其周期为2(b-a).,47,已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，且f(4-x)=f(x)，当0x1f(5)f(15.5)Bf(5)f(6.5)f(15.5)Cf(5)f(5)f(6.5),C,48,由定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，且f(4-x)=f(x)，得函数f(x)的图象关于直线x=2对称，且周期是4；又由当0x1x22时，都有f(x1)f(x2)，得函数f(x)在区间0,2上单调递增所以，f(6.5)=f(2.5)=f(1.5)，f(5)=f(1)，f(15.5)=f(3.5)=f(0.5)而00.511.52，所以f(0.5)f(1)f(1.5)，从而f(15.5)f(5)f(6.5)故选A.,49,已知定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意实数x都有f(x+2)=f(x)成立，且当x2，3时，f(x)=x，则当x-1，0时，f(x)的解析式为( )A. x+4 B. x-2C. 3-|x+1| D. 2+|x+1|,50,当x-1，0时，2-x2，3.由已知f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x=3-|x+1|，故选C.,答案：C,51,1. 证明抽象函数的周期性，关键是找出其周期，一般通过尝试变形或类比三角函数获得.2. 求周期函数在某个区间内的解析式，先要在该区间内选取自变量，再通过周