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第二章 Z变换与离散时间傅立叶变换（DTFT）1. 对于下列每一序列，确定他们的z变换及其收敛区域：（a）。（b）。（c）。（d）。（e）。（f）。（g）。解 （a） X（z）= 。 （b） X（z）= ，。（c） X（z）= ，。（d） X（z）= =1，整个z平面。（e） X（z）= = ，|z|0。（f） X（z）= z，。（g） X（z）= ，。2. 考察序列,其中和。序列是否必定有界？解 因为 = 当时 = = 所以序列不是必定有界。例如当时（满足），无界。如果从z平面上看问题，因为是因果的。所以的收敛区域为，不包括单位园。只要输入信号的z变换在 1+j 处没有零点，则Y（z）的收敛区域不可能包括单位圆，因而|无界。3. 令表示z的两个多项式之比，即 试证明如果 在处有一个一阶极点，则 式中表示的导数在处的值。证 已知在处一个一阶极点，故 =0因此 =由于 ()=故 =（）=。4. 令表示一个因果序列，即时，此处假设，（a） 试证明在处没有极点或零点。（b） 试证明有限z平面上的极点数等于有限z平面上的零点数。（凡不包括点的z平面都是有限z平面。）证 （a） 因为 = 所以 应此在处没有极点和零点。（c） 假设 式中N为零点数，P为极点数，利用（a）的结果，当时，不趋于无限大，故;当时，不趋于零，故，所以N=P，即零点数等于极点数。5. 对于时等于序列，证明。如果时序列为零，相应的定理是什么？解 对于时等于零的序列，其中z变换为 =应此 如果时为零，则 = =所以 6. 讨论一个序列，其z变换是 = 此序列的收敛区域包括单位圆。利用上面题目中的定理求x（0）。解 因为的第一项在z=处有极点，收敛区域包括单位圆，在极点的外部，所以它对应于一个因果序列，故可以习题5（a）中的结果来求（见下图）。 因为的第二项在z=2处有极点，收敛区域包括单位圆，在极点的内部，所以它对应于一个非因果序列。故可以利用习题5（b）中的结果来求。 因此 7. 一个实序列，其z变换的所有极点和零点皆位于单位圆之内。试利用求出一个不等于的实序列，对于此序列，且z变换的所有极点和零点均位于单位圆之内。解 不等于的实序列可取为 = 满足题目的要求，即 显然，的所有零、极点位于的零极点对于原点的对称点上，故的所有零极点也位于单位圆内。 事实上，取可满足本题的几乎全部要求，但为了使为实序列，必须取的整数倍；而要使，则=，所以只能取。8 求以下序列的频谱： （1） （2） （3） （4）分析有两种方法：（a）先求序列的z变换，在求频率响应。即为单位圆上的z变换。（b）直接求序列的傅立叶变换 解对于题中所给的先进行z变换，再求频谱，得 （1）= = （2）= = （3）= （4）= 9 已知有傅立叶变换，用表示下列信号的傅立叶变换：（1） （2）（3）分析利用序列翻褶后的序列移位关系以及频域的取导数关系式来求解 ， ，解（
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