双曲线及其标准方程定稿

双曲线及其标准方程 问题1 椭圆的定义是什么 平面内与两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫做椭圆 问题2 椭圆的标准方程是怎样的 关系如何 问题3 如果把椭圆定义中 距离的和 改为 距离的差 那么动点的轨迹会发生怎样的变化 复习引入 双曲线做图演示 gsp C DocumentsandSettings Administrator 桌面 选修2 1 拉链画双曲线演示动画 gsp 思考 1 上述过程中变化的量与不变的量分别是什么 2 把满足上述条件点的轨迹叫双曲线 你能类比椭圆的定义给出双曲线的定义吗 如图 A MF1 MF2 F2F 2a 如图 B MF2 MF1 2a 由 可得 MF1 MF2 2a 差的绝对值 上面两条曲线合起来叫做双曲线 每一条叫做双曲线的一支 看图分析动点M满足的条件 平面内与两个定点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数 小于 F1F2 且不等于0 的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做双曲线的焦点 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 通常情况下 我们把 F1F2 记为2c c 0 常数记为2a a 0 问题4 定义中为什么强调常数要小于 F1F2 且不等于0 即0 2a 2c 如果不对常数加以限制 动点的轨迹会是什么 问题3 定义中为什么强调距离差的绝对值为常数 一 双曲线的定义 若2a 2c 则轨迹是什么 若2a 2c 则轨迹是什么 若2a 0 则轨迹是什么 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线 此时轨迹不存在 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线 F1 F2 F1 F2 分3种情况来看 二 双曲线标准方程的推导 建系 使轴经过两焦点 轴为线段的垂直平分线 设点 设是双曲线上任一点 焦距为 那么焦点又设 MF1 与 MF2 的差的绝对值等于常数 列式 即 将上述方程化为 移项两边平方后整理得 两边再平方后整理得 由双曲线定义知 即 设 代入上式整理得 两边同时除以得 化简 这个方程叫做双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在x轴上 焦点是F1 c 0 F2 c 0 其中c2 a2 b2 类比椭圆的标准方程 请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么 其中c2 a2 b2 这个方程叫做双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在y轴上 焦点是F1 0 c F2 0 c 三 双曲线两种标准方程的比较 方程用 号连接 分母是但大小不定 如果的系数是正的 则焦点在轴上 如果的系数是正的 则焦点在轴上 F c 0 F c 0 a 0 b 0 但a不一定大于b c2 a2 b2 a b 0 a2 b2 c2 四 双曲线与椭圆之间的区别与联系 MF1 MF2 2a MF1 MF2 2a F 0 c F 0 c 练一练 判断下列方程是否表示双曲线 若是 求出及焦点坐标 答案 题后反思 先把非标准方程化成标准方程 再判断焦点所在的坐标轴 例题 解 因为双曲线的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 因此 双曲线的标准方程为 题后反思 求标准方程要做到先定型 后定量 两条射线 轨迹不存在 例1 已知双曲线的焦点F1 5 0 F2 5 0 双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8 求双曲线的标准方程 1 若 PF1 PF2 8呢 2 若 PF1 PF2 10呢 3 若 PF1 PF2 12呢 所以2c 10 2a 8 即a 4 c 5 那么b2 c2 a2 25 16 9 根据已知条件 F1F2 10 PF1 PF2 8 使A B两点在x轴上 并且点O与线段AB的中点重合 解 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s 可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m 因为 AB 680m 所以爆炸点的轨迹是以A B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上 例2已知A B两地相距800m 在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s 且声速为340m s 求炮弹爆炸点的轨迹方程 如图所示 建立直角坐标系xOy 设爆炸点P的坐标为 x y 则 即2a 680 a 340 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 思考 若A B同时听到爆炸声 爆炸点在什么曲线上 MF1 MF