线性定常系统的稳定性.ppt

主讲 韩春艳邮箱 cse hancy 线性定常系统的稳定性 2012年9月 稳定的概念若线性控制系统在初始扰动的影响下 其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零 则系统渐近稳定 简称稳定 若在初始扰动影响下 系统的动态过程随时间推移而发散 则称系统不稳定 稳定的本质线性系统的稳定性是由闭环系统特征方程的根在S平面的位置所决定的 一 稳定性的本质 不稳定区 稳定区 临界稳定 系统稳定的充要条件 系统的全部特征根均具有负实部 或者说 闭环传递函数的极点均位于 s 的左半平面当特征根位于虚轴 临界稳定状态 只要求出系统的全部特征根 便可确定其稳定性 一 稳定性的本质 二 三类稳定状态 系统就其稳定性来说 可分为渐近稳定系统 临界稳定系统和发散不稳定系统 设系统闭环传递函数为 1 将分子分母在复数域内因式分解成一次因子之积 可写成 2 式中 闭环系统的零点 闭环系统的极点 亦称系统特征方程的根 假设 式 2 中没有极点和零点相消因子 系统稳定性如何 可用理想单位脉冲响应的形态来判别 二 三类稳定状态 理想单位脉冲响应的复数域形式 3 将式 3 在复数域内分解成部分分式之和 再取拉氏反变换 可求出单位脉冲响应的时域形式 二 三类稳定状态 当中 含有因式时 其脉冲响应含有如下分量 4 5 二 三类稳定状态 当含有因式时 其脉冲响应含有如下分量 当含有因式时 其脉冲响应含有如下分量 6 当含有因式时 其脉冲响应含有如下分量 7 二 三类稳定状态 系统的稳定性 按其单位脉冲响应的形态可划分为三类 1 如果系统所有的极点都严格位于左半s平面 则单位脉冲响应由式 5 7 可得 8 二 三类稳定状态 系统是渐近稳定系统 2 如果系统有单极点位于轴上 而其余极点都严格位于左半s平面 则单位脉冲响应由式 4 6 可得 9 任意大实数 系统是临界稳定系统 二 三类稳定状态 3 如果系统有极点严格位于右半s平面 或有重极点位于轴上 则单位脉冲响应由式 4 7 可知 对于任意大的正数M 总存在某足够大的使下式成立 10 系统响应无界 该系统发散不稳定 二 三类稳定状态 劳斯阵列 劳斯表 三 稳定性代数判据 设系统的特征方程 11 1劳斯判据 注意 n阶系统的劳斯阵共有n 1行 三 稳定性代数判据 1 稳定的必要条件系统特征方程 稳定的必要条件 2 如果系统满足稳定必要条件 且劳斯阵列的第一列系数全部大于零 则系统稳定 3 劳斯阵列的第一列系数的符号改变的次数等于正实部根的个数 三 稳定性代数判据 4 特殊情况1 劳斯阵列中某导出行的第一项为零 而该行不全为零或没有余项则 方法1 以很小的正数 代替零项 继续计算劳斯阵列 令 0 检验劳斯阵列第一列符号的变化 有符号变化 符号变化次数为正实部根的个数 系统不稳定 无符号变化 有纯虚根存在 系统临界稳定 不稳定 方法2 用 s a 乘以原方程 其中a 0 再对新方程应用劳斯判据 三 稳定性代数判据 5 特殊情况2 劳斯阵列中某导出行全为零 用全零行上行各元素构造辅助多项式 并对辅助多项式求导 用的各项系数代替全为零行各元素 继续计算完 有等值反号根存在 且符号变化次数为正实部特征根的个数 系统不稳定 由辅助方程可求出这对等值反号的根 三 稳定性代数判据 6 劳斯稳定判据的应用 基本应用 已知系统的特征方程 判断系统的稳定性 确定系统特征根在s平面的位置 确定使系统满足稳定性要求的系统参数范围 确定使系统极点位于s平面某垂线左边的系统参数范围 2霍尔维茨判据 三 稳定性代数判据 则其渐近稳定的必要条件是各项系数同号 如均大于零 其渐近稳定的充分必要条件是且霍尔维茨行列式均大于零 11 设系统的特征方程 2霍尔维茨判据 三 稳定性代数判据 霍尔维茨行列式如下 12 2霍尔维茨判据 三 稳定性代数判据 2霍尔维茨判据 三 稳定性代数判据 这样 各阶系统渐近稳定的充分必要条件 1阶系统 2阶系统 并 3阶系统 并并 n阶系统 并并并 2霍尔维茨判据 三 稳定性代数判据 四 例题详解 例1 四 例题详解 证明 四 例题详解 证明 劳斯表中首列元素不变号是系统渐近稳定的充分必要条件 即当各项系数均大于零时 首列元素均大于零是系统渐近稳定的充分必要条件 四阶系统渐近稳定的充分必要条件 由劳斯表可得 如果 2 成立 则 1 必成立 那么渐近稳定的充分必要条件 四 例题详解 证明 欲使式 3 成立 则当 即当 成立是必要的 上式是渐近稳定的必要条件 四 例题详解 证明 当 即当 将式 10 11 可得 充分满足渐近稳定条件 即式 10 11 是系统渐近稳定的充分条件 四 例题详解 例2 已知系统特征方程 试用劳斯稳定判据判断该系统的稳定性 解 1 特征方程中各项系数 0 满足必要条件 2 构造劳斯阵列 15 3 5 由 到 符号变化1次 由 到 符号变化1次 注 某行同乘或同除一个正数 结果不变 第一列系数符号变化两次 系统不稳定即有两个不稳定特征根 四 例题详解 例3 已知系统特征方程 15 2 5 15 由 到 符号变化1次 由 到 符号变化1次 令 0 方法1 用 代替0 该系统不稳定 且符号变化两次 即有两个实部为正的特征根存在 四 例题详解 方法2 用s 1乘以原特征多项式 重新构造劳斯阵列 1516153925 223 315 5 25 2 29 215 74 29 15 该系统不稳定 由 到 符号变化1次 由 到 符号变化1次 符号变化两次 即有两个实部为正的特征根存在 四 例题详解 例4 某系统特征方程为 试确定特征根在严格s左平面 轴 严格s右半平面分布情况 并指出系统的稳定性 四 例题详解 解答 根据劳斯判据 四 例题详解 解答 劳斯表中首列的是无穷小正数 即 由劳斯表中首列各元素变号2次 故可知特征方程在右半S平面有两个根 则方程发散不稳定 实际上 原方程 四 例题详解 例5 某系统特征方程为 试确定特征方程的根在平面分布情况 并指出系统的稳定性 四 例题详解 解答 根据劳斯判据 四 例题详解 解答 表中首列各元素变号2次 故可知特征方程在右半S平面有两个根 由知 在轴上有对称于坐标原点的一对共轭虚根 由于在右半平面有两个根 故系统发散不稳定 实际上 原方程 四 例题详解 例6 某系统特征方程为 试确定系统的稳定性 四 例题详解 解答 根据劳斯判据 四 例题详解 解答 劳斯表中 首列在s右半平面无极点 由辅助方程解出 二重根 故系统发散不稳定 实际上原方程 四 例题详解 例7 某系统特征方程为 试分析特征根在平面的分布情况 四 例题详解 解答 根据劳斯判据 四 例题详解 解答 由劳斯表中首列各元素变号2次 故可知特征方程在右半S平面有两个根 由辅助方程 可求出四个对称坐标原点的根 实际上 原方程 四 例题详解 四 例题详解 四 例题详解 四 例题详解 四 例题详解 四 例题详解 例10 说明 1 稳定性问题 2 给定稳定度问题或称为相对稳定性问题 解答 1 确定K1闭环传递函数 四 例题详解 闭环特征方程 劳斯阵列 17500 34 6750