二次函数的图像和性质5

26 1二次函数图象和性质 5 1 的顶点坐标是 对称轴是 2 怎样把的图象移动 便可得到的图象 h k 复习提问 直线x h 3 的顶点坐标是 对称轴是 2 5 直线x 2 4 在上述移动中图象的开口方向 形状 顶点坐标 对称轴 哪些有变化 哪些没有变化 有变化的 抛物线的顶点坐标 对称轴 没有变化的 抛物线的开口方向 形状 我们复习了将抛物线向左平移2个单位再向下平移5个单位就得到的图象 将化为一般式为 那么如何将抛物线的图像移动 得到的图像呢 新课 的图象怎样平移就得到 那么一般地 函数 的图象呢 解 顶点坐标为 3 2 对称轴为x 3 答案 顶点坐标是 1 5 对称轴是直线x 1 的形式 求出顶点坐标和对称轴 练习1用配方法把 化为 的方法和我们前面学过的用配方法解二次方程 类似 具体演算如下 化为 的形式 2 用公式法把抛物线 把 变形为 所以抛物线 的顶点坐标是 对称轴是直线 的形式 求出对称轴和顶点坐标 例2用公式法把 化为 解 在 中 顶点为 1 2 对称轴为直线x 1 的形式 并求出顶点坐标和对称轴 答案 顶点坐标为 2 2 对称轴是直线x 2 练习2用公式法把 化成 3 图象的画法 步骤 1 利用配方法或公式法把 化为 的形式 2 确定抛物线的开口方向 对称轴及顶点坐标 3 在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图 的图像 利用函数图像回答 例3画出 1 x取什么值时 y 0 2 x取什么值时 y 0 3 x取什么值时 y 0 4 x取什么值时 y有最大值或最小值 分析 我们可以用顶点坐标公式求出图象的顶点 过顶点作平行于y轴的直线就是图象的对称轴 在对称轴的一侧再找两个点 则根据对称性很容易找出另两个点 这四个点连同顶点共五个点 过这五个点画出图像 1 用顶点坐标公式 可求出顶点为 2 2 对称轴是x 2 2 当x 1时 y 0 即图象与x轴交于点 1 0 根据轴对称 很容易知道 1 0 的轴对称点是点 3 0 又当x 0时 y 6 即图象与y轴交于点 0 6 根据轴对称 很容易知道 0 6 的轴对称点是点 4 6 用光滑曲线把五个点 2 2 1 0 3 0 0 6 4 6 连结起来 就是 的图象 解 列表 2 2 1 0 0 6 3 0 4 6 2 2 x 2 0 6 1 0 3 0 4 6 由图像知 当x 1或x 3时 y 0 2 当1 x 3时 y 0 3 当x 1或x 3时 y 0 4 当x 2时 y有最大值2 x y 练习3画出 的图像 x 1 y x2 2x 2 3 开口方向 当a 0时 抛物线开口向上 当a 0时 抛物线开口向下 1 顶点坐标 2 对称轴是直线 如果a 0 当 时 函数有最小值 如果a 0 当 时 函数有最大值 4 最值 若a 0 当 时 y随x的增大而增大 当 时 y随x的增大而减小 若a 0 当 时 y随x的增大而减小 当 时 y随x的增大而增大 5 增减性 与y轴的交点坐标为 0 c 6 抛物线 与坐标轴的交点 抛物线 抛物线 与x轴的交点坐标为 其中 为方程 的两实数根 所以当x 2时 解法一 配方法 例5当x取何值时 二次函数有最大值或最小值 最大值或最小值是多少 因为所以当x 2时 因为a 2 0 抛物线有最低点 所以y有最小值 总结 求二次函数最值 有两个方法 1 用配方法 2 用公式法 解法二 公式法 又 例6已知函数 当x为何值时 函数值y随自变量的值的增大而减小 解法一 抛物线开口向下 对称轴是直线x 3 当x 3时 y随x的增大而减小 例7已知二次函数 的最大值是0 求此函数的解析式 解 此函数图象开口应向下 且顶点纵坐标的值为0 所以应满足以下的条件组 由 解方程得 所求函数解析式为 用待定系数法求解析式 1 求一次函数解析式的方法是什么 复习提问 待定系数法 2 二次函数的一般形式是什么 它有几个待定系数 y ax2 bx c a 0 有3个待定系数a b c 3 二次函数的顶点式是什么 它有几个待定系数 y a x h 2 k a 0 有3个待定系数a h k 一般地 函数y ax2 bx c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2 bx c 0的解x1 x2 所以 已知抛物线与x轴的两个交点坐标为 x1 0 x2 0 时 二次函数解析式y ax2 bx c又可以写为y a x x1 x x2 其中x1 x2为两交点的横坐标 4 二次函数的交点式 两根式 y a x x1 x x2 其中x1 x2为两交点的横坐标 它有3个待定系数a x1 x2 今天学习用待定系数法求二次函数的解析式 例1已知一个二次函数的图象过点 1 10 1 4 2 7 三点 求这个函数的解析式 解 设所求的二次函数为y ax2 bx c 由条件得 a b c 10a b c 44a 2b c 7 解方程组得 a 2 b 3 c 5 因此 所求二次函数是 y 2x2 3x 5 待定系数法 练习 已知关于x的二次函数 当x 1时 函数值为10 当x 1时 函数值为4 当x 2时 函数值为7 求这个二次函数的解析试 已知抛物线上任意三点时 通常设为一般式 例2 已知抛物线的顶点是 1 2 且过点 2 3 求出对应的二次函数解析式 练习 已知二次函数的图象经过点 4 3 并且当x 3时有最大值4 求出对应的二次函数解析式 又过点 2 3 a 2 1 2 2 3 a 1 解 设所求的二次函数为y a x h 2 k 顶点是 1 2 y a x 1 2 2 y x 1 2 2 即y x2 2x 3 已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时 通常设为顶点式 已知条件中的当x 3时有最大值4也就是抛物线的顶点坐标为 3 4 所以设为顶点式较方便 y 7 x 3 2 4也就y 7x2 42x 59 例3 已知抛物线与x轴两交点横坐标为1 3且图像过 0 3 求出对应的二次函数解析式 解 设所求的二次函数为y a x x1 x x2 已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时 通常设为交点式 两根式 由抛物线与x轴两交点横坐标为1 3 y a x 1 x 3 又过 0 3 a 0 1 0 3 3 a 1 y x 1 x 3 即y x2 4x 3 练习 已知二次函数y ax2 bx c的图象过A 0 5 B 5 0 两点 它的对称轴为直线x 2 求这个二次函数的解析式 分析 因为抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称 又B 5 0 关于直线x 2的对称点坐标为 1 0 所以可以设为交点式 类似例3求解 当然也可以按一般式求解 y x 5 x 1 即y x2 4x 5 与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程 7 抛物线 的根的判别式判定 0 有两个交点 抛物线与x轴相交 0 有一个交点 抛物线与x轴相切 0 没有交点 抛物线与x轴相离 例4已知抛物线 k取何值时 抛物线经过原点 k取何值时 抛物线顶点在y轴上 k取何值时 抛物线顶点在x轴上 k取何值时 抛物线顶点在坐标轴上 所以k 4 所以当k 4时 抛物线顶点在y轴上 所以k 7 所以当k 7时 抛物线经过原点 抛物线顶点在y轴上 则顶点横坐标为0 即 解 抛物线经过原点 则当x 0时 y 0 所以 所以当k 2或k 6时 抛物线顶点在x轴上 抛物线顶点在x轴上 则顶点纵坐标为0 即 抛物线顶点在x轴上 则顶点纵坐标为0 即 整理得 解得 由 知 当k 4或k 2或k 6时 抛物线的顶点在坐标轴上 练习 如图 已知二次函数的图像经过点A和点B 1 求该二次函数的表达式 2 写出该抛物线的对称轴及顶点坐标 3 点P m m 与点Q均在该函数图像上 其中m 0 且这两点关于抛物线的对称轴对称 求m的值及点Q到x轴的距离 解 1 将x 1 y 1 x 3 y 9分别代入得 解得 二次函数的表达式为 2 对称轴为直线x 2 顶点坐标为 2 10 3 将 m m 代入 得 m 0 不合题意 舍去 m 6 点P与点Q关于对称轴x 2对称 点Q到x轴的距离为6 例题选讲 有一个抛物线形的立交桥拱 这个桥拱的最大高度为16m 跨度为40m 现把它的图形放在坐标系里 如图所示 求抛物线的解析式 例4 设抛物线的解析式为y ax2 bx c 解 根据题意可知抛物线经过 0 0 20 16 和 40 0 三点 可得方程组 通过利用给定的条件列出a b c的三元一次方程组 求出a b c的值 从而确定函数的解析式 过程较繁杂 评价 二次函数 27 2二次函数的性质 二次函数y ax bx c的图像与a b c的符号问题 知识点一 抛物线y ax2 bx c的符号问题 与y轴的正半轴相交 c 0 与y轴的负半轴相交 c 0 经过坐标原点 c 0 1 a的符号 由抛物线的开口方向确定 5 抛物线y ax2 bx c中a b c的作用 2 a和b共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线 若a b异号 对称轴在y轴右侧 故 若b 0 对称轴为y轴 若a b同号 对称轴在y轴左侧 5 抛物线y ax2 bx c中a b c的作用 3 c的大小决定抛物线y ax2 bx c与y轴交点的位置 当x 0时 y c 抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点 0 c c 0 抛物线经过原点 c 0 与y轴交于正半轴 c 0 与y轴交于负半轴 1 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o a 0 b0 0 练习 2 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o a 0 b 0 c 0 0 练习 3 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o a0 0 练习 4 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o a 0 b 0 c 0 0 练习 5 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o a 0 b 0 c 0 0 练习 6 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o a0 c 0 0 练习 7 已知 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 则点M a 在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 x o y a0 c 0 D 练习 8 已知 一次函数y ax c与二次函数y ax2 bx c 它们在同一坐标系中的大致图象是图中的 A B C D C 9 已知 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 下列结论中 abc 0 b 2a a b c 0 a b c 0 a b c 0正确的个数是 A 2个B 3个C 4个D 5个 C 练习 知识点二 抛物线y ax2 bx c的符号问题 5 a b c的符号 由x 1时抛物线上的点的位置确定 点在x轴上方 点在x轴下方 点在x轴上 a b c 0 a b c 0 a b c 0 6 a b c的符号 由x 1时抛物线上的点的位置确定 点在x轴上方 点在x轴下方 点在x轴上 a b c 0 a b c 0 a b c 0 10 已知 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 下列结论中 b 0 c 0 4a 2b c 0 a c 2 b2 其中正确的个数是 A 4个B 3个C 2个D 1个 B 练习 11 已知 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 下列结论中下不正确的是 A abc 0B b2 4ac 0C 2a b 0D 4a 2b c 0 D 练习 抛物线y ax2 bx c的符号问题 1 a的符号 由抛物线的开口方向确定 小结 例8已知如图是二次函数y ax2 bx c的图象 判断以下各式的值是正值还是负值 1 a 2 b 3 c 4 b2 4ac 5 2a b 6 a b c 7 a b c 分析 已知的是几何关系 图形的位置 形状 需要求出的是数量关系 所以应发挥数形结合的作用 解 1 因为抛物线开口向下 所以a 0 判断a的符号 2 因为对称轴在y轴右侧 所以 而a 0 故b 0 判断b的符