一比较法 (3).doc

河北饶阳中学学案 编制人 使用日期 审核高二数学组 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 2.1.1不等式的的证明(1)比较法 姓名 学习目标： 1. 理解并掌握证明不等式的基本方法-比较法; 2. 了解琴生不等式的及其背景知识情景： 1绝对值三角不等式： 定理1 如果, 那么. 当且仅当 时, 等号成立. 定理2 如果, 那么. 当且仅当 时, 等号成立.2. 含绝对值不等式的解法：设为正数, 则 10.; 20.;30. 设, 则.3实数大小必较法则： 案例学习： 例1 设，求证：. 例2 若实数，求证：例3已知求证 例4 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度行走，另一半时 间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走. 如果， 问甲、乙两人谁先到达指定地点. 例5 设 求证；对任意实数，恒有 “欲穷千里目,更上一层楼.” 10. 在例5中, 特别地, 令 , 则得 再结合函数的图象, 这数和形 20.琴生在1905年给出了一个定义：设函数定义域为，如果，都有 （1）则称为上的下凸函数. 若把(1)式的不等号反向，则称为上的 函数.30. 其推广形式是：若函数的是上的下凸函数，则，都有 （2） 当且仅当时等号成立. 一般称（2）式为琴生不等式.40.琴生不等式推广形式：设，是上的下凸函数， 则 都有：， 当且仅当时 .若是上凹函数，则上述不等式反向. 把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式.选修4-5练习 2.1.1不等式的的证明(1)比较法 姓名 1、比较下面各题中两个代数式值的大小：（1）与； （2）与. 2、已知 求证：（1） （2）3、若，求证4、已知a0，比较与的大小 5、已知函数有如下性质： 如果常数0，那么该函数在0，上是减函数，在，上是增函数（1）如果函数（0）的值域为6，求的值；（2）研究函数（常数0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数和（常数0）作出推广，使它们都是你所推广的函 数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数 （是正整数）在区间，2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论） 6、已知函数，其中，为常数（）当时，求函数的极值；（）当时，证明：对任意的正整数，当时，有 参考答案:例3本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设，从而原不等式得证。2）商值比较法：设 故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是： 作差（或作商）、变形、判断符号。例4分析：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为。 要回答题目中的问题，只要比较的大小就可以了。解：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为，根据题意有，可得，从而，其中都是正数，且。于是，即。从而知甲比乙首先到达指定地点。讨论：如果，甲、乙两人谁先到达指定地点？ 例5证明 考虑（1）式两边的差。 （2） 即（1）成立。6（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）已知函数有如下性质：如果常数0，那么该函数在0，上是减函数，在，上是增函数（1）如果函数（0）的值域为6，求的值；（2）研究函数（常数0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数和（常数0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（是正整数）在区间，2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）解（1）函数y=x+(x0)的最小值是2，则2=6, b=log29. (2) 设0x1x2,y2y1=. 当x1y1, 函数y=在,+)上是增函数； 当0x1x2时y20),其中n是正整数. 当n是奇数时,函数y=在(0,上是减函数,在,+) 上是增函数, 在(,上是增函数, 在,0)上是减函数； 当n是偶数时,函数y=在(0,上是减函数,在,+) 上是增函数, 在(,上是减函数, 在,0)上是增函数； F(x)=+ = 因此F(x) 在 ,1上是减函数,在1,2上是增函数 所以，当x=或x=2时，F(x)取得最大值()n+()n当x=1时F(x)取得最小值2n+1；6. 已知函数其中nN*,a为常数. （）当n=2时，求函数f(x)的极值；（）当a=1时，证明：对任意的正整数n, 当x2时，有f(x)x-1.（）解：由已知得函数f(x)的定义域为x|x1， 当n=2时， 所以 （1）当a0时，由f(x)=0得1，1，此时 f（x）=.当x（1，x1）时，f（x）0,f(x)单调递减；当x（x1+）时，f（x）0, f(x)单调递增.（2）当a0时，f（x）0恒成立，所以f(x)无极值.综上所述，n=2时，当a0时，f(x)在处取得极小值，极小值为当a0时，f(x)无极值.（）证法一：因为a=1,所以 当n为偶数时，令则 g（x）=1+0（x2）.所以当x2,+时，g(x)单调递增，又 g(2)=0, 因此g(2)=0恒成立， 所以f(x)x-1成立.当n为奇数时， 要证x-1,由于0，所以只需证ln(x-1) x-1, 令 h(x)=x-1-ln(x-1), 则 h（x）=1-0（x2）, 所以 当x2，+时，单调递增，又h(2)=10， 所以当x2时，恒有h(x) 0,即ln（x-1）x-1命题成立.综上所述，结论成立.证法二：当a=1