全国版高考数学第八章平面解析几何8.6.1椭圆的概念及其性质课时提升作业.docx

椭圆的概念及其性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知椭圆+=1(ab0)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为()A.(-3,0)B.(-4,0)C.(-10,0)D.(-5,0)【解析】选D.因为圆的标准方程为(x-3)2+y2=1,所以圆心坐标为(3,0),所以c=3.又b=4,所以a=5.因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的左顶点为(-5,0).2.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】选B.点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径,所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6|MN|,由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.3.已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(m0)的半径为2,椭圆C:+=1的左焦点为F(-c,0),若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切,则a的值为()A.B.1C.2D.4【解题提示】由圆的半径可求出m的值,再由直线l与圆相切可求出c的值,进而得出a的值.【解析】选C.圆M的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2,则由题意得m2+3=4,即m2=1(m0,m2+12mm(m0),所以a2=m2+1,b2=m,c2=a2-b2=m2-m+1,e2=1-=1-1-=,所以eb0),右焦点为F(c,0)(c0),方程ax2+bx-c=0的两实根分别为x1,x2,则P(x1,x2)()A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2外C.必在圆x2+y2=1外D.必在圆x2+y2=1与圆x2+y2=2形成的圆环之间【解析】选D.在椭圆中有a2=b2+c2,由方程ax2+bx-c=0的根与系数之间的关系有:x1+x2=-,x1x2=-,+=(x1+x2)2-2x1x2=+2=1-e2+2e=2-(e-1)2,又0e1,所以1+b0).因为c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=16.又点(,-)在所求椭圆上,所以+=1,即+=1.由得b2=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程为+=1.答案:+=18.设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为.【解析】|PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|,易知M点在椭圆外,连接MF2并延长交椭圆于P点,此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,故|PM|+|PF1|的最大值为10+|MF2|=10+=15.答案:15三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴与短轴长的比是2.(1)求椭圆C的方程.(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当|PM|最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.【解析】(1)由题意知解得所以椭圆方程为+=1.(2)设P(x0,y0),且+=1,所以|PM|2=(x0-m)2+=-2mx0+m2+12=-2mx0+m2+12=(x0-4m)2-3m2+12(-4x04).所以|PM|2为关于x0的二次函数,开口向上,对称轴为x0=4m.由题意知,当x0=4时,|PM|2最小,所以4m4,所以m1.又点M(m,0)在椭圆长轴上,所以1m4.10.如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.(1)若点C的坐标为,且|BF2|=,求椭圆的方程.(2)若F1CAB,求椭圆离心率e的值.【解析】(1)由题意,F2(c,0),B(0,b),|BF2|=a=,又C,所以+=1,解得b=1.所以椭圆方程为+y2=1.(2)直线BF2的方程为+=1,与椭圆方程+=1联立组成方程组,解得A点坐标为,则C点坐标为,=.又kAB=-,由F1CAB得=-1,即b4=3a2c2+c4,所以(a2-c2)2=3a2c2+c4,化简得e=.(20分钟40分)1.(5分)(2016太原模拟)已知圆锥曲线mx2+4y2=4m的离心率e为方程2x2-5x+2=0的根,则满足条件的圆锥曲线的个数为()A.4B.3C.2D.1【解析】选B.因为e是方程2x2-5x+2=0的根,所以e=2或e=.mx2+4y2=4m可化为+=1,当它表示焦点在x轴上的椭圆时,有=,所以m=3;当它表示焦点在y轴上的椭圆时,有=,所以m=;当它表示焦点在x轴上的双曲线时,可化为-=1,有=2,所以m=-12.所以满足条件的圆锥曲线有3个.2.(5分)已知椭圆+=1(ab0)的右焦点为F1,左焦点为F2,若椭圆上存在一点P,满足线段PF1相切于以椭圆的短轴为直径的圆,切点为线段PF1的中点,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】选A.如图所示,设线段PF1与圆切于点M,则|OM|=b,|OF1|=c,故|MF1|=,所以|PF1|=2|MF1|=2.又O为F1F2的中点,M为PF1的中点,所以|PF2|=2|OM|=2b.由椭圆的定义,得2+2b=2a,即=a-b,即=a-,即=1-,两边平方,整理得3e2-3=-2,再次平方,整理得9e4-14e2+5=0,解得e2=或e2=1(舍去),故e=.3.(5分)如图,OFB=,ABF的面积为2-,则以OA为长半轴,OB为短半轴,F为一个焦点的椭圆方程为.【解析】设标准方程为+=1(ab0),由题可知,|OF|=c,|OB|=b,所以|BF|=a,因为OFB=,所以=,a=2b.SABF=|AF|BO|=(a-c)b=(2b-b)b=2-,所以b2=2,所以b=,所以a=2,所以椭圆的方程为+=1.答案:+=1【加固训练】已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,则椭圆的离心率的取值范围为.【解析】依题意及正弦定理,得=(注意到P不与F1F2共线),即=,所以-1=,所以=+1,即e+1,所以(e+1)22.又0e1,因此-1eb0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1)求椭圆C的方程.(2)已知点P(0,1),Q(0,2).设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T.求证:点T在椭圆C上.【解析】(1)由题意知,b=.因为离心率e=,所以=.所以a=2.所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意可设M,N的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),则直线PM的方程为y=x+1,直线QN的方程为y=x+2.联立解得x=,y=,即T.由+=1,可得=8-4.因为+=1,所以点T的坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.【一题多解】解答本题(2)还可以用如下方法:由题意可设M,N的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),则直线PM的方程为y=x+1,直线QN的方程为y=x+2.设T(x,y),联立解得x0=,y0=.因为+=1,所以+=1.整理得+=(2y-3)2,所以+-12y+8=4y2-12y+9,即+=1.所以点T坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.5.(13分)(2015重庆高考)如图,椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQPF1.(1)若=2+,=2-,求椭圆的标准方程.(2)若=,求椭圆的离心率e.【解题提示】(1)直接根据椭圆的定义即可求出椭圆的长轴长及焦距,从而可求出椭圆的方程,(2)根据椭圆的定义即可求解.【解析】(1)由椭圆的定义,2a=+=2+2-=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,因此2c=2,即c=,从而b=1,故所求椭圆的标准方程为+y2=1.(2)如图,设点P(x0,y0)在椭圆上,且PF1PF2,则+=1,+=c2,求得x0=,y0=.由=,得x00,从而=+=2(a2-b2)+2a=.由椭圆的定义,+=2a,+=2a.从而由=+,有=4a-2,因此(2+)=4a,即(2+)(a+)=4a,于是(2+)(1+)=4,解得e=-.【一题多解】解答本题还可以用如下方法:由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF