内积、外积、混和积

向量的内积 外积 混和积 1 向量的内积 向量是一个具有很强的物理背景的概念 尤其在流体力学 电磁场理论等中有很多的应用 要利用向量及其运算来反映诸多物理现象中量的关系 仅仅只有向量的线性运算就远远不够了 还要不断充实向量的运算 这一节先引入向量的一种乘法 2 例 物体放在光滑水平面上 设力F以与水平线成 角的方向作用于物体上 物体产生位移S 求力F所作的功 于是功W为 W F cos S F S cos 为反映这一类物理现象 引入向量的内积 解 根据物理知识 F可以分解成水平方向分力和垂直方向分力 其中只有与位移平行的分力作功 而不作功 3 根据内积的定义 上例中的功可写作 内积及其运算规律 定义两个向量 与 的内积是一个数 它等于这两个向量的长度与它们夹角 余弦的乘积 记为 即有 4 1 向量的内积又称为点积或数量积 3 2 4 5 具有以下性质 5 证明 6 证明 因此 所以 7 例 证明 8 内积的坐标表示 对任意向量 1 证 9 2 3 10 向量的外积 上一节讨论了向量的一种乘法 两个向量的内积 其运算结果是一个数 为了反映另一物理现象 本节引入了两个向量的另一种乘法 叫做外积 它的运算结果是一个向量 11 定义两个向量 与 的外积 是一个向量 1 外积及其运算规律 满足 注 即 12 外积又叫叉积或向量积 具有以下性质 反交换律 13 2 外积的应用 1 用向量积来求平行四边形及三角形面积 2 用向量积来求点到直线的距离 3 用向量积来求证两个向量共线 14 例 已知 不共线 当k取何值时 向量k 9 与4 k 共线 解 又 因为 不平行 故有 据题设 k 9 4 k 因而 所以 即k 6 15 例 证明 所以 16 例 解 且 17 外积的坐标表示 由定义直接可以得到 18 因此 自己算 19 例 解法一 解法二 20 解 构造向量 以AB AC为边的平行四边形面积 所以三角形ABC的面积是 例 求以 为顶点的三角形ABC的面积 那么 21 例 求与垂直的单位向量 解 设 可见 是与 同方向的单位向量 因此 与 及 都垂直的单位向量是 设 则 与 及 都垂直 则有 而 22 向量的混合积 混合积的定义 定义三个向量 的混合积是一个数 它等于向量 先作向量积 然后再与 作数量积 记作 即 23 混合积的几何意义 注 24 混合积的性质 注 25 定理 三个向量 共面的充要条件是 0 证 当 时 当 不平行 时 必要性 如若 共面 自然有 0 垂直于 所在的平面 因而 仍有 0 26 充分性 当 0时 有 如若 0 有 故 共面 当 0时 从而 共面 又因 亦垂直于 及 27 例 证明 28 例 解 29 例 证明 30 混合积的坐标表示 注 设 31 分析 所以 D ABC的体积可用混合积求出 以AB AC AD为棱的平行六面体的体积是以三角形ABC为底面 AD为棱的三棱柱体积的2倍 而四面体的体积是三棱柱体积的三分之一 32 所以 解 构造向量 以