线性规划经典例题及详细解析

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系 最值问题精品资料1. 设变量 x、y 满足约束条件2 xyxy21 ，则 z2x3y 的最大值为。xy1二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系 最值问题x1,2. 已知xy2xy10,则 x220y2 的最小值是。xy+20y3. 已知变量x， y 满足约束条件x1，则的取值范围是（） .xxy-7099a.， 6b.（， 6 ，）55c.（，36 ，）d. 3 ，6三、 研究线性规划中的整点最优解问题4. 某公司招收男职员x 名，女职员 y 名，x 和 y 须满足约束条件值是。四、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题5x11y2x3y2x11.22,9,则 z10x10y 的最大5. 已知变量 x ， y 满足约束条件1xy2xy4。若目标函数zaxy（其中 a20 ）仅在点 (3,1) 处取得最大值，则a 的取值范围为。6. 已知 x、y 满足以下约束条件xy5xy50 ，使 z=x+ay(a0)取得最小值的最优解有无数个，则ax3的值为（）a. 3b. 3c. 1d. 1五、求可行域的面积7. 不等式组2xyxy6030表示的平面区域的面积为（）y2a. 4b. 1c. 5d.无穷大解析：1. 如图 1 ，画出可行域， 得在直线 2x-y=2 与直线 x-y=-1 的交点 a(3,4)处，目标函数z 最大值为 18 。图 12. 如图 2 ，只要画出满足约束条件的可行域，而x2y2 表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知a（ 1 ， 2 ）是满足条件的最优解。 x2y2 的最小值是为5。点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。图 2y3. 是可行域内的点m（ x，y）与原点 o（ 0，0 ）连线的斜率，当直线x59y9om 过点（， ）时，22取得最小值x；当直线om 过点（ 1，6 ）时，5y取得最大值6.答案 ax点评：当目标函数形如yaz时,可把 z 看作是动点xbp( x, y)与定点q(b, a) 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为pq连线斜率的最值。精品资料4. 如图，作出可行域，由z10x10yyxz，它表示为斜率为1 ，纵截距为10z的平行直线系，10精品资料要使 z10x10y 最得最大值。当直线z10x10y 通过11 9a(,)22z 取得最大值。因为 x, yn ，故点不是最优整数解。于是考虑可行域内a 点附近整点b（ 5， 4 ）、c（ 4， 4），经检验直线经过点时，zmax90.点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。5. 如图，作出可行域， 由 zaxyyaxz其表示为斜率为a ，纵截距为的平行直线系, 要使目标函数zaxy （其中 a0）仅在点 (3,1) 处取得最大值。则直线yaxz 过 a点且在直线xy4, x3 （不含界线）之间。即a1a1. 则 a 的取值范围为 (1,) 。点评： 本题通过作出可行域，在挖掘a与z 的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a 的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。6. 如图， 作出可行域， 作直线 l：x+ay 0 ，要使目标函数 z=x+ay (a0) 取得最小值的最优解有无数个， 则将 l 向右上方平移后与直线 x+y 5 重合，故 a=1 ，选 d 。y x + y = 5x y + 5 = 0ox= 3x7. 如图，作出可行域，abc 的面积即为所求，由梯形ombc 的面积y减去梯形