量子力学期末试卷A评分标准.doc

A卷20072008学年第二学期光信息、材料物理专业量子力学期末试卷评分标准 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 光电信息系 考试日期 2008.6.5 上午 9：4011：40题 号一二总分得 分阅卷人本套试卷共两大类题，11题，满分100分。最后一页有可能用到的数学公式。一、证明题（共30分）1（本题5分）证明方向动量算符为厄密算符。证明： （3分） （2分）命题得证。 2（本题5分）证明对易关系： 。 证明：做运算：，（3分）故有： 即 记为： （2分） 3（本题5分）证明对易关系：。 证明： （3分） （2分）4（本题5分）已知：，证明：证明： （5分）5（本题5分） 若为泡利矩阵，证明。 证明：由对易关系 及 反对易关系 ， 得 上式两边乘，得 （5分）6（本题5分） 是否为厄密算符？给出证明。不是厄密算符 （2分） （3分）二、计算题（共70分）7（本题10分）设粒子处于和的共同本征态态，试求和。注意到 即 （5分）利用 （5分）8（本题15分）设一体系未受微扰作用时只有两个非简并能级和，现在受到微扰的作用，体系的哈密顿算符为 其中为常数，用微扰公式求能量至二级近似，然后再用直接的方法求能量算符的本征值，并将能量本征值与微扰法得到的能量二级近似值进行比较（提示：做级数展开，保留到前三项）。解：对题给矩阵进行分解，有从矩阵知道一级修正量（用对角矩阵元）和二级修正量（用非对角矩阵元）仿前一题，直接写出两个能级（正确到二级修正量） （7分）严格求解法：这就是根据表象理论，分立表象中，本征方程可以书写成矩阵方程式形式，并可以求得本征值和本征矢（用单列矩阵表示）。 我们设算符H具有本征矢，本征值是，列矩阵方程式： 展开后成两式又假设本征矢是归一化的： 久期方程： （6分）后一式可展开 取级数展开的前三项可得： （2分）和前面用微扰方法所得的结果可以进行比较。9（本题15分）已知在表象中的矩阵形势为求：（1）其本征值和在表象中的正交归一化本征函数。（2）使对角化的幺正变换矩阵。解：（1）的久期方程为 的本征值为。（5分）设对应于本征值的本征函数为 由本征方程 ，得 由归一化条件 ，得 即 对应于本征值的本征函数为 设对应于本征值的本征函数为 由本征方程 由归一化条件，得 即 对应于本征值的本征函数为 （5分）（2）使对角化的幺正变换矩阵为 （5分）可以验证： 这步不计入总分10（本题15分）已知氢原子在时处于状态 求能量及自旋分量的各种可能取值及其概率与平均值，写出时的波函数。解 已知氢原子的本征值为 ， 将时的波函数写成矩阵形式 利用归一化条件 可得 于是，归一化后的波函数为 （5分）能量的可能取值为，相应的取值几率为 能量平均值为 （4分）自旋分量的可能取值为，相应的取值几率为自旋分量的平均值为 （4分） 时的波函数 （2分） 11（本题15分）设氢原子处在的态，为玻尔半径，求（1）r的平均值；（2）势能的平均值；（3）动能的平均值；（4）最概然半径。（波函数已归一化，不必检验。任选其中两问即可，多答不多得分）本题答对第一问10分，第二问5分（1）（2）这个结果和旧量子论中，氢原子的电子沿波尔半径所规定的轨道运动