理论力学动量定理

第十一章动量定理 11 1动量与冲量 11 2动量定理 11 3质心运动定理小结思考题 Ch 11 动量定理 基本内容 动量定理 描述质点和质点系总体运动变化与作用力间的关系 用以求解质点系动力学问题 基本要求 理解动量 冲量 质点系质心的概念 会计算质点 质点系 刚体作各种运动时的动量和力的冲量 能熟练运用动量定理 质心运动定理及其守恒定律求解动力学问题 Ch 11 动量定理 11 1动量与冲量 1 动量 物体某瞬时机械运动的一种度量 质点的动量 质点系的动量 质心 质量中心 反映质点系质量分布的点 动量单位 SI kg m s 或者 Ch 11 动量定理 2 冲量 力在某时间间隔内作用效应的一种度量 常力的冲量 变力的冲量 元冲量 冲量单位 SI N s 质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积 Ch 11 动量定理 11 2动量定理 1 质点的动量定理 2 质点系的动量定理 微分形式 积分形式 第k个质点 外力 内力 质点系内力之和 Ch 11 动量定理 动量定理的微分形式 或者 动量定理的积分形式 或者 Ch 11 动量定理 3 质点系动量守恒定律 4 解题过程 Ch 11 动量定理 例11 1电动机的外壳固定在水平基础上 定子和机壳的质量为m1 转子质量为m2 如图所示 设定子的质心位于转轴的中心O1 但由于制造误差 转子的质心O2到O1的距离为e 已知转子匀速转动 角速度为 求基础的水平及铅直约束力 解 研究电动机外壳与转子组成质点系 动约束力 动约束力 静约束力 Ch 11 动量定理 例11 2图11 3表示水流流经变截面弯管的示意图 设流体是不可压缩的 流动是稳定的 求管壁的附加动约束力 解 定常流动流体的动约束力计算 基本假设 1 理想流体 不存在内摩擦的流体2 不可压缩 密度 与所受压力间的依从关系可略去3 定常流动 流体的速度场与时间无关 欧拉法 dt时间间隔 约束力 重力 Ch 11 动量定理 动量定理 附加动约束力 等截面直角形弯管实例 Ch 11 动量定理 例11 3物块A可沿光滑水平面自由滑动 其质量为mA 小球B的质量为mB 以细杆与物块铰接 如图所示 设杆长为l 质量不计 初始时系统静止 并有初始摆角 0 释放后 细杆近似以 0cos t规律摆动 为已知常数 求物块A的最大速度 解 取物块和小球为研究对象 Ch 11 动量定理 11 3质心运动定理 1 质量中心 质心 质量中心 反映质点系质量分布的点 或者 特例 在重力场中 质心与重心重合 Ch 11 动量定理 例11 4图示的曲柄滑块机构中 设曲柄OA受力偶作用以匀角速度 转动 滑块B沿x轴滑动 若OA AB l OA及AB皆为均质杆 质量皆为m1 滑块B的质量为m2 求此系统的质心运动方程 轨迹以及此系统的动量 解 设t 0时杆OA水平 则有 t 质心运动方程 Ch 11 动量定理 质心运动轨迹 动量的方向沿质心轨迹的切线方向 可用其方向余弦表示 动量投影 动量大小 Ch 11 动量定理 2 质心运动定理 质心运动定理 直角坐标上的投影式 自然轴上的投影式 质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和 即等于外力的主矢 这种规律称为质心运动定理 Ch 11 动量定理 两点说明 1 质点系质心的运动 可以看成为一个质点的运动 设想此质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力 2 质点系内力不影响质心的运动 只有外力才能改变质心的运动 Ch 11 动量定理 例11 5均质曲柄AB长为r 质量为m1 假设受力偶作用以不变的角速度 转动 并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D 如图所示 滑槽 连杆 活塞总质量为m2 质心在点C 在活塞上作用一恒力F 不计摩擦及滑块B的质量 求作用在曲柄轴A处的最大水平约束力Fx 解 研究整个机构 注意力偶不影响质心运动 Ch 11 动量定理 3 质心运动守恒定律 Ch 11 动量定理 例11 6如图所示 设例11 1中的电动机没用螺栓固定 各处摩擦不计 初始时电动机静止 求转子以匀角速度 转动时电动机外壳的运动 解 研究电动机外壳与转子组成质点系 已知 t Ch 11 动量定理 例11 7 已知A B的质量分别为mA mB 且mA 3mB 各处摩擦不计 初始时系统静止 求三棱柱A运动的加速度及地面对三棱柱的约束力 解 由 得 Ch 11 动量定理 也即 再研究物块B 得 从而可得 由 Ch 11 动量定理 例11 8 质量为m的滑块 可以在水平光滑槽中运动 具有刚度系数为k的弹簧一端与滑块相连接 另一端固定 杆AB长度为l 质量忽略不计 A端与滑块A铰接 B端装有质量m1 在铅直平面内可绕A点旋转 设在力偶M作用下转动角速度 为常数 求滑块A的运动微分方程 解 以弹簧原长处和铅垂处为x和 的起始位置 由题意可得 得 代入 Ch 11 动量定理 例11 9已知 水的体积流量为qVm3 s 密度为 kg m3 水冲击叶片的速度为v1m s 方向沿水平向左 水流出叶片的速度为v2m s 与水平线成 角 求图示水柱对涡轮固定叶片作用力的水平分力 解 设附加水平动约束力如图 有 因此 水柱对涡轮固定叶片作用力的水平分力为 Ch 11 动量定理 1 动量定理 小结 质点系动量守恒定律 质点的动量定理 质点系的动量 质点系的动量定理 Ch 11 动量定理 2 质心运动定理 maC F e 质点系的质心 质心运动守恒定律 或者 Ch 11 动量定理 思考题 思11 1求图11 11所示各均质物体的动量 设各物体质量皆为m 瞬心法 Ch 11 动量定理 Ch 11 动量定理 思11 2在光滑的水平面上放置一静止的均质圆盘 当它受一力偶作用时 盘心将如何运动 盘心运动情况与力偶作用位置有关吗 如果圆盘面内受一大小和方向都不变的力作用 盘心将如何运动 盘心运动情况与此力的作用点有关吗 解答 由质心运动定理maC F e 可知 在力偶作用下盘心不动 盘心运动情况与力偶作用位置无关 在力的作用下盘心加速运动 盘心加速度方向与力的方向相同 加速度大小等于力的大小除以圆盘质量 盘心的运动情况与此力的作用点无关 思11 3两物块A和B 质量分别为mA和mB 初始静止 如A沿斜面下滑的相对速度为vr 如图11 12所示 设B向左的速度为v 根据动量守恒定律 有mAvrcos mBv 对吗 解答 不对 动量定理中使用的是绝对速度mA vrcos v mBv Ch 11 动量定理 思11 4两均质直杆AC和CB 长度相同 质量分别为m1和m2 两杆在点C由铰链连接 初始时维持在铅垂面内不动 如图11 13所示