江苏苏州第五中学高考数学总复习第2讲利用导数研究函数的单调性、极值与最值课件

第2讲利用导数研究函数的单调性 极值与最值 1 函数的单调性与导数的关系已知函数f x 在某个区间 a b 内可导 1 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内 2 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内 单凋递增 单调递减 2 函数的极值 1 判断f x0 是极值的方法一般地 当函数f x 在点x0处连续时 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 f x 0 f x 0 2 求可导函数极值的步骤 求f x 求方程f x 0的根 检查f x 在方程f x 0的根左右值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右两侧符号一样 那么这个根不是极值点 极大值 3 函数的最值与导数设函数f x 在 a b 上连续且在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤如下 求f x 在 a b 内的极值 将f x 的各极值与比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 f a f b 感悟 提升 1 一点提醒函数最值是 整体 概念 而函数极值是个 局部 概念 极大值与极小值没有必然的大小关系 2 两个条件一是f x 0在 a b 上成立 是f x 在 a b 上单调递增的充分不必要条件 如 1 二是对于可导函数f x f x0 0是函数f x 在x x0处有极值的必要不充分条件 如 4 3 三点注意一是求单调区间时应遵循定义域优先的原则 二是函数的极值一定不会在定义域区间的端点处取到 三是求最值时 应注意极值点和所给区间的关系 关系不确定时分类讨论 不可想当然认为极值就是最值 考点一利用导数研究函数的单调性 例1 2013 广东卷改编 设函数f x x 1 ex kx2 1 当k 1时 求函数f x 的单调区间 2 若f x 在x 0 上是增函数 求实数k的取值范围 解 1 当k 1时 f x x 1 ex x2 f x ex x 1 ex 2x x ex 2 令f x 0 即x ex 2 0 x ln2或x 0 令f x 0 即x ex 2 0 0 x ln2 因此函数f x 的递减区间是 0 ln2 递增区间是 0 和 ln2 规律方法 1 利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号 而解答本题 2 问时 关键是分离参数k 把所求问题转化为求函数的最小值问题 2 若可导函数f x 在指定的区间D上单调递增 减 求参数范围问题 可转化为f x 0 或f x 0 恒成立问题 从而构建不等式 要注意 是否可以取到 训练1 已知函数f x x3 ax2 3x 1 若f x 在 1 上是增函数 求实数a的取值范围 2 若x 3是f x 的极值点 求f x 的单调区间 审题路线 1 由f 1 0 求a的值 2 确定函数定义域 对f x 求导 并求f x 0 判断根左 右f x 的符号 确定极值 规律方法 1 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧f x 的符号不同 2 若f x 在 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在某区间上单调增或减的函数没有极值 训练2 已知a b是实数 1和 1是函数f x x3 ax2 bx的两个极值点 1 求a和b的值 2 设函数g x 的导函数g x f x 2 求g x 的极值点 2 由 1 知 f x x3 3x g x x3 3x 2 由g x 0 得 x 1 2 x 2 0 g x 0的根为x 2或1 当x0 x 2是函数g x 的极小值点 当 21时 g x 0 故1不是g x 的极值点 所以g x 的极小值点为 2 无极大值点 考点三利用导数求函数的最值 例3 2012 重庆卷 已知函数f x ax3 bx c在x 2处取得极值为c 16 1 求a b的值 2 若f x 有极大值28 求f x 在 3 3 上的最小值 2 由 1 知f x x3 12x c f x 3x2 12 令f x 0 得x 2或2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由表知f x 在x 2处取得极大值f 2 16 c f x 在x 2处取得极小值f 2 c 16 由题设条件知 16 c 28 解得c 12 此时f 3 9 c 21 f 3 9 c 3 f 2 c 16 4 因此f x 在 3 3 上的最小值为f 2 4 规律方法在解决类似的问题时 首先要注意区分函数最值与极值的区别 求解函数的最值时 要先求函数y f x 在 a b 内所有使f x 0的点 再计算函数y f x 在区间内所有使f x 0的点和区间端点处的函数值 最后比较即得 训练3 设函数f x x ax2 blnx 曲线y f x 过P 1 0 且在P点处的切线斜率为2 1 求a b的值 2 令g x f x 2x 2 求g x 在定义域上的最值 1 注意单调函数的充要条件 尤其对于已知单调性求参数值 范围 时 隐含恒成立思想 2 求极值 最值时 要求步骤规范 表格齐全 区分极值点与导数为0的点 含参数时 要讨论参数的大小 3 求函数最值时 不可想当然地认为极值点就是最值点 要通过认真比较才能下结论 一个函数在其定义域内最值是唯一的 可以在区间的端点取得 创新突破3 导数在创新定义与不等式中的应用 典例 2013 安徽卷 设函数f x ax 1 a2 x2 其中a 0 区间I x f x 0 1 求I的长度 注 区间 的长度定义为 2 给定常数k 0 1 当1 k a 1 k时 求I长度的最小值 反思感悟 1 本题以不等式的解集构成的区间长度为命题背景 将导数求最值和含参数的不等式解法交汇 命题情境创新 2 解法创新 从不等式出发 构造函数利用导数判断函数的单调性 根据单调性确定最值d 1 k 与d 1 k 并借助不