导数在经济分析中的应用.doc

导数在经济分析中的应用摘要：本文主要通过常见的一些函数及生活中的实例，探讨了导数在经济分析中的应用，并给出解决这些问题的一般方法。关键词：导数 边际分析 弹性分析 最值分析The application of derivative in the economic analysisAbtract: This paper mainly introduces the application of derivative in the economic analysis using some common functions and life examples, ,and gives a general method to solve these problems.Keyword:derivative marginal analysis elastic analysis the value analysis 在经济理论研究中恰当地运用数学方法，可以使正确的理论和科学的研究成果表达地更为准确和精确，可以更好地检验结论和前提是否一致或矛盾，可以更有力地增强研究成果中的结论。大量的数学思想应用到经济研究中，也产生了很多新的研究理论，出现了很多有用成果。边际分析、回归分析、博弈论分析、均衡分析、经济模型等都广泛地被做为解释、研究经济问题的数学工具。 本文主要讨论导数在经济分析中的应用问题。我们采用四步骤来分析叙述：第一，简单解释专业名词、叙述概念；第二，根据实际问题用抽象分析方法，构建数学模型；第三，采用适当的数学方法求解数学模型；第四，解释模型中有关变量的实质意义，作出具体回答。1.导数的概念导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度，即是一种变化率，在经济生活中也存在许多变化率的问题，因此我们可以把经济生活中的很多问题归结到数学中来，利用我们学过的导数知识加以研究并解决。数学分析中导数的定义：设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在处可导，并称该极限为函数在处的导数，记作.令，,则可改写为，所以，导数是函数增量与自变量增量之比的极限，这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率，而导数则为在处关于的变化率。从这里也就可以看出，导数是一种特殊的极限。2.边际分析在经济学中，经常会用到“边际”的概念，边际概念是经济学中一非常重要概念，它用来描述某一经济变量对于另一经济变量的变化，即表示当自变量增量时，因变量的相应增量与的比值变化，即当x在某一给定值附近有微小变化时y的瞬时变化率。经济学中，经济函数的导数称为边际，将达到前一个单位时的变化称为边际变化。如果设某经济指标y与影响指标值的因素x之间成立函数关系式，那么称导数为的边际函数，记作My.值得说明：随着,含义不同，边际函数的含义也不同。而利用导数研究经济变量边际变化的方法，就是边际分析方法。2.1 边际成本函数 产品数量和相应的成本之间的依存关系称为成本函数，边际成本是每增加或减少一单位产量所增加或减少的总成本，边际成本是总成本对产量的导数。设生产某产品单位时所需要的总成本函数为，则称为边际成本函数，称为当产量为时的边际成本，其经济含义是：当产量为时，再生产一个单位该产品所增加的总成本为.例1 某企业生产一种产品，所花总成本函数为（单位：百元）其中为产量（单位：千克）。试求：（1）边际成本函数， （2）千克时的边际成本值，并解释其经济意义。解：（1）所谓边际成本就是成本函数的导函数，即成本函数是边际成本函数的一个原函数。所以，边际成本函数为.（2）千克时的边际成本值就是边际成本函数在的函数值，故.经济含义是：表示生产50个产品后的第51个产品所花的成本为17.5百元。说明:边际成本是极限意义下的平均成本，即产量的增量时，总成本的瞬时变化率，该值只与产量有关。2.2 边际利润函数 利润=收益-成本，则利润函数为，其中是收益函数，是成本函数。边际利润函数为，而称为当产量为时的边际利润，其经济意义是：当产量达到时，如果增加（或减少）一单位产品，则利润将相应地增加（或减少）个单位。 例2 某工厂每月生产吨某种产品的总成本千元是的函数，如过每吨产品销售价格为2万元。求每月生产5吨、10吨、15吨、20吨的边际利润，并解释其经济含义。 解：要求边际利润，首先要建立利润与产量的函数关系，于是边际利润就是。依题意可知，每月生产吨产品的收益函数与成本函数分别为，, 因此，. 于是，边际利润函数为.则每月生产8吨、10吨、15吨、20吨时的边际利润值分别是千克吨;千克吨; 千克吨;千克吨;以上结果的经济含义表明：当月产量达到8吨时，再增产1吨，利润将增加1.4万元；当月产量到达10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量到达15吨时，再增产1吨，利润则不增不减；当月产量到达20吨时，再增产1吨，利润反而会减少1万元；明显地，边际利润函数为减函数,即随着产量的增加，厂商从增加产量中所获得的利润越来越少,当月产量到达15吨以上时，边际利润为负值。这也就是说，厂商不能完全依靠增加产量来提高自己的利润。这里需要强调：边际利润与利润是两个完全不同的概念。，即边际利润小于零表明：当产量或销量为时，再变动一个单位的产量或销量总利润将会减少，此时，厂商可能亏损，也可能盈利，即总利润减少不能说明厂商一定是亏损的。然而，即利润小于零一定意味：当产量或销量为时，厂商一定亏损。3.弹性分析“弹性”是来自物理学中应用比较广泛的一个概念，它是指物体对外界作用力的反应能力。然而在经济分析中，现在也很普遍地使用这一概念，弹性概念成为经济学中另一个重要的概念，它是用来定量地描述某一经济变量对另一经济变量变化的反应敏感程度，或是说，某一经济变量变化百分之一会使另一经济变量变化百分之几。弹性分析方法作为一种数量分析方法，它与数学中的导数知识紧密相连。对于一元函数的弹性意义为：.若说导数是关于的绝对的瞬时变化率，则弹性就是关于的相对的瞬时变化率。3.1 需求价格弹性 需求价格弹性表示在一定时期内一种商品的需求量变动对于该商品的价格变动的反应程度。或者说，表示在一定时期内当一种商品的价格变化百分之一时所引起的该商品的需求量变化的百分比。其公式是：,数学表达式为：，其中是需求量，是价格。 例3 市场上某一商品的需求量与价格的关系为：, 求需求量对价格的弹性函数，计算并解释其经济意义。解：据弹性函数定义，则该商品需求量对价格的弹性函数,当时，代入上式，得.它的经济意义是：这里的弹性值,表明在价格时，若价格变动百分之一，将会引起对商品需求量有比较大的影响,则称它为富有弹性,对于此例具体来说，因为,所以价格时，若价格增加（或减少）1%，则相应需求量将减少（或增加）10%，而这个需求量相应改变的幅度是相当大的。一般而言，这时采取降价可增大需求量，从而增加收入。3.2 需求收入弹性 需求收入弹性表示在一定时期内消费者对某种商品的需求量的变动对于消费者收入量变动的反应程度。或者说，表示在一定时期内当消费者的收入变化百分之一时所引起的商品需求量变化的百分比。其公式是： ,数学表达式为：，其中是商品的需求量，是消费者的收入。例4 设某消费者对于某种商品的消费量与收入之间的函数关系为。求：当收入时的需求的收入弹性。解：由得，.据弹性函数定义，则所求需求的收入弹性为：,当收入时，代入上面式子得，.4.最值分析利用导数知识来求函数的最大（小）值与社会经济生活的最优化问题有着密切联系，它可以用来分析社会经济中诸如生产者和销售者的最大经济效益、资源的合理利用、费用的节省等一系列问题。而解决这类现实问题首先考虑怎样可以将其转化为数学模型，再怎样利用导数知识去分析它、解决它。实用最值判定法：设函数在某区间上连续，且在该区间上只有一个极大（小）值，而无极小（大）值，根据实际问题函数在该区间内部确有最大（小）值，则此极大（小）值必为最大（小）值。4.1 最省材料问题节省材料是社会经济生产中经常受到关注的问题，经济社会里不管是生产者还是销售者，总想以最小的资金和劳动消耗去获得最大的经济效益。应用数学分析中导数的知识，能够使我们在条件允许的范围内做到消耗最少的生产材料。例5 要造一个体积为2立方米的有盖长方体木箱，如何设计长、宽、高的尺寸，才能使所用的材料最省？解：首先，建立数学模型。要想这个长方体制作所花的材料最省，就是要设计出它的长、宽、高尺寸做成的长方体六个面的面积总和最小。根据这一思路，制作木箱所花材料最省问题，就转化成一个求该木箱表面积最小的几何问题了。设木箱的长为米，宽为米，则高为米，木箱的底和盖的面积之和为平方米，木箱四周的面积之和为（）平方米,又设木箱的表面积为，则，即.其次，求解数学模型。利用二元函数“实用最值判定法”，求解此数学问题。令，即,解出此方程组，得唯一驻点.而本实际问题又一定存在最小值问题，故此驻点使取得最小值。最后，得出结论。因为高为，即，当木箱的长、宽、高相等，均为米时，所用材料最省。4.2 最优批量问题厂商生产中，常会遇到物资存储问题。如果厂商每批订购数量多，能减少订货次数，节省手续等费用，但这却增加了库存费用；如果每批订购数量少，虽减少了库存费用，但却又增加了订购手续等费用。因此解决这类问题的关键在于如何确定使总费用为最小的批量数，即求最优经济批量数的问题。实际问题中，可以寻找到总费用与进货批量的函数关系，若设进货批量为，总费用为,则这一函数可表示为，由导数意义可知，使达到极小值的必须满足两个条件：（1）；（2）.由此厂商可确定出使某种货物的总费用达到最小的订货批量数。通过以上分析，我们知道，数学是辅助经济理论研究的一种很有益的途径。马克思说过：“一种科学只有成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”我们学习数学的目的，不仅仅是学数学的知识，更重要的是学会用数学的思维方式，去观察周围的事物；用数学的思维方法，去分析、解决实际问题。参考文献1华东师范大学数学系 .数学分析（上）M.北京：高等教育出版社.2001.